8.(2025·扬州期末)如图,直线$CE// DF,∠CAB=125°,∠ABD=85°$,则$∠1+∠2=$ （）


A.$30°$
B.$35°$
C.$36°$
D.$40°$

8.A

【分析】
遇到平行线间求角度和的问题，可通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质将已知角和未知角建立关联求解。首先分别过点A、B作平行于CE、DF的直线，借助平行线的传递性得到四条直线互相平行，再利用内错角相等、同旁内角互补的性质，把已知的∠CAB、∠ABD拆分为含∠1、∠2的表达式，代入关系列式即可算出结果。
【解析】
解：过点A作$AG// CE$，过点B作$BH// DF$。
$\because CE// DF$（已知）
$\therefore AG// BH// CE// DF$（平行线的传递性）
$\therefore ∠ 1=∠ CAG$（两直线平行，内错角相等）
$∠ 2=∠ DBH$（两直线平行，内错角相等）
$∠ GAB+∠ ABH=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
已知$∠ CAB=125°$，$∠ ABD=85°$，且$∠ CAB=∠ CAG+∠ GAB$，$∠ ABD=∠ ABH+∠ DBH$
$\therefore ∠ GAB=125°-∠ CAG=125°-∠ 1$
$∠ ABH=85°-∠ DBH=85°-∠ 2$
将上述两式代入$∠ GAB+∠ ABH=180°$得：
$125°-∠ 1+85°-∠ 2=180°$
整理得$210°-(∠1+∠2)=180°$
$\therefore ∠1+∠2=30°$
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，角度和差计算
【点评】
本题核心考查平行线性质的灵活应用，作辅助线构造平行关系是解决此类角度计算问题的常用技巧，需要熟练掌握平行线的相关性质，学会将分散的已知角和未知角建立关联。
【难度系数】
0.65

9. 如果两个角的两条边分别平行，且其中一个角比另一个角的3倍少$20°$，那么这两个角的度数分别是________.

9.$10°,10°$或$130°,50°$

【分析】
首先根据平行线的性质可知，若两个角的两条边分别平行，则这两个角要么相等，要么互补。题目给出了两个角的数量关系：其中一个角比另一个角的3倍少$20°$，因此我们可以分“两个角相等”“两个角互补”两种情况，设未知数列一元一次方程求解，最后检验结果是否符合对应情况即可。
【解析】
设其中一个角的度数为$x$，则另一个角的度数为$3x-20°$，结合两个角的两边分别平行的性质分两种情况讨论：
1. 当两个角相等时：
列方程：$x=3x-20°$
移项合并得：$2x=20°$
解得：$x=10°$，此时另一个角为$3×10°-20°=10°$，符合两角相等的前提。
2. 当两个角互补（和为$180°$）时：
列方程：$x+(3x-20°)=180°$
去括号合并得：$4x=200°$
解得：$x=50°$，此时另一个角为$3×50°-20°=130°$，$50°+130°=180°$，符合两角互补的前提。
【答案】
$10°,10°$或$130°,50°$
【知识点】
平行线的性质、分类讨论思想、一元一次方程的应用
【点评】
本题的易错点是容易遗漏“两角互补”的情况，仅考虑两角相等从而漏解，解题时需要结合角的位置关系，全面讨论所有可能的数量关系。
【难度系数】
0.6

10. 如图，$AB// CD$.
(1)若$∠ B=105°$，求$∠ C$的度数；
(2)若$MN// EF$，试说明：$∠ 1=∠ 2$.

10.解:(1)因为$AB//CD$,所以$∠B+∠C=180°$.
因为$∠B=105°$,所以$∠C=180°−∠B=180°−105°=75°$.
(2)如答图,连接$EM$.
因为$AB//CD$,所以$∠CEM=∠AME$.
因为$MN//EF$,所以$∠FEM=∠NME$.
因为$∠1=∠CEM−∠FEM,∠2=∠AME−∠NME$,
所以$∠1=∠2$.

【分析】
(1) 已知$AB// CD$，观察可得$∠ B$和$∠ C$是平行线$AB$、$CD$被$BC$所截形成的同旁内角，根据平行线同旁内角互补的性质，可得到$∠ B$与$∠ C$的和为$180°$，代入已知的$∠ B$的度数即可求出$∠ C$。
(2) 要证明$∠ 1=∠ 2$，结合已知的两组平行线，可通过连接$EM$构造内错角：先利用$AB// CD$得到一组内错角相等，再利用$MN// EF$得到另一组内错角相等，最后观察$∠ 1$和$∠ 2$分别是两组等角的差，即可推导得出结论。
【解析】
(1) 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ B + ∠ C = 180°$。
已知$∠ B=105°$，代入得$∠ C=180°-∠ B=180°-105°=75°$。
(2) 如答图，连接$EM$。
因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ CEM=∠ AME$。
因为$MN// EF$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ FEM=∠ NME$。
又因为$∠ 1=∠ CEM-∠ FEM$，$∠ 2=∠ AME-∠ NME$，
所以$∠ 1=∠ 2$。
【答案】
10.解:(1)因为$AB//CD$,所以$∠B+∠C=180°$.
因为$∠B=105°$,所以$∠C=180°−∠B=180°−105°=75°$.
(2)如答图,连接$EM$.
因为$AB//CD$,所以$∠CEM=∠AME$.
因为$MN//EF$,所以$∠FEM=∠NME$.
因为$∠1=∠CEM−∠FEM,∠2=∠AME−∠NME$,
所以$∠1=∠2$.

【知识点】
平行线的性质，同旁内角互补，内错角相等
【点评】
本题是平行线性质的典型应用考题，第一问直接考查平行线同旁内角互补的计算，属于基础题型；第二问需要构造辅助线，结合两组平行线的内错角相等和角度差关系推导结论，能够锻炼几何逻辑推理能力和辅助线构造思维。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在三角形ABC中,$CD⊥AB$,垂足为D,点E在BC上,$EF⊥AB$,垂足为F.
(1)CD与EF平行吗?为什么?
(2)如果$∠1=∠2$,且$∠3=100^{\circ }$,求$∠ACB$的度数.

11.解:(1)$CD$与$EF$平行.理由如下:
因为$CD⊥AB,EF⊥AB$,
所以$∠BFE=∠BDC=90°$,
所以$CD//EF$.
(2)因为$CD//EF$,
所以$∠2=∠BCD$.
因为$∠1=∠2$,所以$∠BCD=∠1$,
所以$DG//BC$,
所以$∠ACB=∠3=100°$.

【分析】
(1) 判断两条直线是否平行，可结合已知条件寻找判定平行的依据：已知CD和EF都垂直于AB，可得二者与AB的夹角均为90°，即同位角相等，由此可判定CD与EF平行。
(2) 求∠ACB的度数，可先借助(1)的平行结论，由平行线的性质得到∠2与∠BCD相等，再结合∠1=∠2的条件等量代换得到∠1=∠BCD，进而判定DG与BC平行，最后利用平行线的性质得到∠ACB与∠3相等，代入∠3的度数即可求出结果。
【解析】
(1) CD与EF平行，理由如下：
因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以∠BFE=∠BDC=90°，根据同位角相等，两直线平行，可得CD//EF。
(2) 因为CD//EF，根据两直线平行，同位角相等，可得∠2=∠BCD。
已知∠1=∠2，所以∠BCD=∠1，根据内错角相等，两直线平行，可得DG//BC。
再根据两直线平行，同位角相等，可得∠ACB=∠3=100°。
【答案】
(1) CD//EF，理由见上述解析；
(2) ∠ACB=100°
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题侧重考查平行线判定和性质的综合应用，解题的关键是理清角的数量关系和直线位置关系之间的转化，整体逻辑链条清晰，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8

12.如图,点 E,F 在直线 AB 上,点 G 在线段 CD 上,ED 与 FG 交于点 H,∠C=∠EFG,∠CED=∠GHD.
(1)试说明:$CE// GF$;
(2)试判断$∠AED$与$∠D$之间的数量关系,并说明理由;
(3)若$∠EHF=80°,∠D=30°$,求$∠AEM$的度数.

12.解:(1)因为$∠CED=∠GHD$,
所以$CE//GF$.
(2)$∠AED+∠D=180°$.理由如下:
因为$CE//GF$,
所以$∠C=∠FGD$.
又因为$∠C=∠EFG$,所以$∠FGD=∠EFG$,
所以$AB//CD$,
所以$∠AED+∠D=180°$.
(3)因为$∠GHD=∠EHF=80°,∠D=30°$,
所以$∠FGD=180°−∠GHD−∠D=180°−80°−30°=70°$,
所以$∠C=∠FGD=70°$.
又因为$AB//CD$,所以$∠AEC=∠C=70°$,
所以$∠AEM=180°−∠AEC=180°−70°=110°$.

【分析】
(1) 要证明$CE// GF$，观察已知条件给出$∠ CED=∠ GHD$，这两个角是直线$CE$、$GF$被直线$ED$所截的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”即可直接得证；
(2) 要判断$∠ AED$与$∠ D$的数量关系，先结合(1)中$CE// GF$的结论，由平行线性质得$∠ C=∠ FGD$，结合已知$∠ C=∠ EFG$等量代换得$∠ FGD=∠ EFG$，这两个角是直线$AB$、$CD$被直线$GF$所截的内错角，内错角相等可推出$AB// CD$，再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得到两角的数量关系；
(3) 求$∠ AEM$的度数，先根据对顶角相等得$∠ GHD=∠ EHF=80°$，在$△ GHD$中利用三角形内角和为$180°$，结合$∠ D=30°$求出$∠ FGD$的度数，再结合平行关系得到$∠ C$的度数，再由$AB// CD$得内错角$∠ AEC=∠ C$，最后根据邻补角和为$180°$即可求出$∠ AEM$。
【解析】
(1) $\because ∠ CED=∠ GHD$，
$\therefore CE// GF$（同位角相等，两直线平行）。
(2) $∠ AED+∠ D=180°$，理由如下：
$\because CE// GF$，
$\therefore ∠ C=∠ FGD$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠ C=∠ EFG$，
$\therefore ∠ FGD=∠ EFG$（等量代换），
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ AED+∠ D=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
(3) $\because ∠ GHD=∠ EHF=80°$，$∠ D=30°$，
$\therefore ∠ FGD=180°-∠ GHD-∠ D=180°-80°-30°=70°$，
$\therefore ∠ C=∠ FGD=70°$，
又$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ AEC=∠ C=70°$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ AEM=180°-∠ AEC=180°-70°=110°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $∠ AED+∠ D=180°$；
(3) $∠ AEM=110°$
【知识点】
平行线的判定与性质，对顶角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是平行线相关知识的综合应用题，层层递进的设问考查了平行线判定、性质的灵活运用，解题时需结合已知条件逐步推导，注意前后结论的关联，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7