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12. 用A,B两种规格的长方形纸板无重合无缝隙地拼接,可得如图所示的周长为32 cm的正方形,已知A种长方形的宽为1 cm,则B种长方形的面积是
12
cm².答案
12 解析:设 A 种长方形的长是$x$ cm,则 B 种长方形的宽是$(32÷4-x)÷2=(4-\frac{1}{2}x)$cm.由题图可知,B 种长方形的长+B 种长方形的宽=8 cm,所以 B 种长方形的长=$8-(4-\frac{1}{2}x)=(4+\frac{1}{2}x)$cm.又 B 种长方形的长=B 种长方形的宽+4×A 种长方形的宽,所以 B 种长方形的长=$(4-\frac{1}{2}x)+4=(8-\frac{1}{2}x)$cm,所以$4+\frac{1}{2}x=8-\frac{1}{2}x$,解得$x=4$.所以 B 种长方形的面积=$(4-\frac{1}{2}x)·(8-\frac{1}{2}x)=(4-2)×(8-2)=2×6=12(\mathrm{cm}^2)$.
13. 如图所示,用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD,其中,GH=2 cm,GK=2 cm,设BF=x cm.
(1)用含x的代数式表示CM=
(2)求x的值;
(3)求长方形ABCD的面积.
(1)用含x的代数式表示CM=
$(x+2)$
cm, DM=$(2x+2)$
cm;(2)求x的值;
(3)求长方形ABCD的面积.
答案
(1)$(x+2)$ $(2x+2)$ 解析:由题意得$CM=(x+2)$cm,$DM=MK=2(x+2)-2=(2x+2)$cm.
(2)因为$AB=AF+BF=AE+x=FH+GK+x=3x+2+x=(4x+2)$cm,$CD=DM+MC=2x+2+x+2=(3x+4)$cm,又因为$AB=CD$,所以$4x+2=3x+4$,解得$x=2$,所以$x$的值为2.
(3)当$x=2$时,长方形的长为$x+x+x+x+2+x+2=5x+4=5×2+4=14(\mathrm{cm})$,宽为$3x+4=3×2+4=10(\mathrm{cm})$,所以长方形ABCD的面积为$14×10=140(\mathrm{cm}^2)$.
(2)因为$AB=AF+BF=AE+x=FH+GK+x=3x+2+x=(4x+2)$cm,$CD=DM+MC=2x+2+x+2=(3x+4)$cm,又因为$AB=CD$,所以$4x+2=3x+4$,解得$x=2$,所以$x$的值为2.
(3)当$x=2$时,长方形的长为$x+x+x+x+2+x+2=5x+4=5×2+4=14(\mathrm{cm})$,宽为$3x+4=3×2+4=10(\mathrm{cm})$,所以长方形ABCD的面积为$14×10=140(\mathrm{cm}^2)$.
14. (2026·北京校级月考)用“→”和“←”表示一种新运算:$(a→b)=a−b,(a←b)=b−a$,例如$(2→−3)=2−(−3)=5$.根据法则,若$(2024→x)←(2025←2026)=−x$,则$x$的值为
$\frac{2023}{2}$
.答案
$\frac{2023}{2}$ 解析:$(2025←2026)=2026-2025=1$,$(2024→x)=2024-x$;
则左边表达式为$(2024-x)←1=1-(2024-x)=x-2023$.
令$x-2023=-x$,解得$x=\frac{2023}{2}$.
则左边表达式为$(2024-x)←1=1-(2024-x)=x-2023$.
令$x-2023=-x$,解得$x=\frac{2023}{2}$.
15. 新题型 新定义 若关于x的一元一次方程化为$ax+b=0$的形式后，解恰好为$x=a-b$，则称这个方程为“恰解方程”（其中$a≠0,a,b$为常数，化简过程中一次项系数不变），例如：方程$2x+4=0$的解为$x=-2$，恰好为$x=2-4$，则方程$2x+4=0$为“恰解方程”。
(1)已知关于$x$的一元一次方程$3x+k=0$是“恰解方程”，则$k$的值为
(2)已知关于$x$的一元一次方程$-2x=mn+n$是“恰解方程”，且解为$x=n(n≠0)$，求$(m+n)(m-n)$的值；
(3)已知关于$x$的一元一次方程$3x=mn+n$和$-3x=mn+m$都是“恰解方程”，求代数式$4(mn+n)^2-6(mn+m)-(m-n)$的值。
(1)已知关于$x$的一元一次方程$3x+k=0$是“恰解方程”，则$k$的值为
$\frac{9}{2}$
；(2)已知关于$x$的一元一次方程$-2x=mn+n$是“恰解方程”，且解为$x=n(n≠0)$，求$(m+n)(m-n)$的值；
(3)已知关于$x$的一元一次方程$3x=mn+n$和$-3x=mn+m$都是“恰解方程”，求代数式$4(mn+n)^2-6(mn+m)-(m-n)$的值。
答案
(1)$\frac{9}{2}$ 解析:$3x+k=0$,解得$x=-\frac{k}{3}$,因为关于$x$的一元一次方程$3x+k=0$是“恰解方程”,所以$x=3-k$,所以$-\frac{k}{3}=3-k$,解得$k=\frac{9}{2}$.
(2)把$x=n$代入关于$x$的一元一次方程$-2x=mn+n$,所以$-2n=mn+n$,所以$mn=-3n$,所以$m=-3$,且$n≠0$.因为关于$x$的一元一次方程$-2x=mn+n$是“恰解方程”,即方程为$-2x-mn-n=0$,所以$x=-2-(-mn-n)=-2+mn+n$.因为关于$x$的一元一次方程$-2x=mn+n$的解为$x=n(n≠0)$,所以$-2+mn+n=n$,所以$mn=2$,所以$-3n=2$,解得$n=-\frac{2}{3}$.
因为$m=-3$,所以$(m+n)(m-n)=(-3-\frac{2}{3})×[-3-(-\frac{2}{3})]=-\frac{11}{3}×(-3+\frac{2}{3})=\frac{77}{9}$.
(3)解$3x=mn+n$,得$x=\frac{mn+n}{3}$,因为方程$3x=mn+n$是“恰解方程”,所以$x=3+mn+n$,所以$\frac{mn+n}{3}=3+mn+n$,所以$mn+n=-\frac{9}{2}$ ①. 解$-3x=mn+m$,得$x=-\frac{mn+m}{3}$,又因为方程$-3x=mn+m$是“恰解方程”,所以$x=-3+mn+m$,所以$-\frac{mn+m}{3}=-3+mn+m$,所以$mn+m=\frac{9}{4}$ ②,②-①得$m-n=\frac{27}{4}$,所以$4(mn+n)^2-6(mn+m)-(m-n)=4×(-\frac{9}{2})^2-6×\frac{9}{4}-\frac{27}{4}=\frac{243}{4}$.
(2)把$x=n$代入关于$x$的一元一次方程$-2x=mn+n$,所以$-2n=mn+n$,所以$mn=-3n$,所以$m=-3$,且$n≠0$.因为关于$x$的一元一次方程$-2x=mn+n$是“恰解方程”,即方程为$-2x-mn-n=0$,所以$x=-2-(-mn-n)=-2+mn+n$.因为关于$x$的一元一次方程$-2x=mn+n$的解为$x=n(n≠0)$,所以$-2+mn+n=n$,所以$mn=2$,所以$-3n=2$,解得$n=-\frac{2}{3}$.
因为$m=-3$,所以$(m+n)(m-n)=(-3-\frac{2}{3})×[-3-(-\frac{2}{3})]=-\frac{11}{3}×(-3+\frac{2}{3})=\frac{77}{9}$.
(3)解$3x=mn+n$,得$x=\frac{mn+n}{3}$,因为方程$3x=mn+n$是“恰解方程”,所以$x=3+mn+n$,所以$\frac{mn+n}{3}=3+mn+n$,所以$mn+n=-\frac{9}{2}$ ①. 解$-3x=mn+m$,得$x=-\frac{mn+m}{3}$,又因为方程$-3x=mn+m$是“恰解方程”,所以$x=-3+mn+m$,所以$-\frac{mn+m}{3}=-3+mn+m$,所以$mn+m=\frac{9}{4}$ ②,②-①得$m-n=\frac{27}{4}$,所以$4(mn+n)^2-6(mn+m)-(m-n)=4×(-\frac{9}{2})^2-6×\frac{9}{4}-\frac{27}{4}=\frac{243}{4}$.
