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13. 一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，D，F 在边AB 上，点C 在边DE 上，EF，AC 相交于点G，∠A＝30°，∠E＝45°，则∠FGA 的度数为。
答案
$\boldsymbol{15°}$
解析
解：
在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°，
∴∠EFD=90°-∠E=45°。
∵∠EFD是△AFG的外角，
∴∠EFD=∠A + ∠FGA。
已知∠A=30°，代入得：
∠FGA=∠EFD - ∠A=45°-30°=15°。
在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=45°，
∴∠EFD=90°-∠E=45°。
∵∠EFD是△AFG的外角，
∴∠EFD=∠A + ∠FGA。
已知∠A=30°，代入得：
∠FGA=∠EFD - ∠A=45°-30°=15°。
14.如图，$AB ⊥ AC$，$DC ⊥ DB$，垂足分别为$A$，$D$，$AC=DB$。若$∠ ACB=20°$，则$∠ ABD$的度数为。
答案
$\boldsymbol{50°}$
解析
解：
∵ $AB ⊥ AC$，$DC ⊥ DB$，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DCB$中，
$\begin{cases}AC = DB \\BC = CB\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DCB$（HL），
∴ $∠ ACB = ∠ DBC = 20°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A = 90°$，
∴ $∠ ABC = 90° - ∠ ACB = 90° - 20° = 70°$，
∴ $∠ ABD = ∠ ABC - ∠ DBC = 70° - 20° = 50°$。
∵ $AB ⊥ AC$，$DC ⊥ DB$，
∴ $∠ A = ∠ D = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ DCB$中，
$\begin{cases}AC = DB \\BC = CB\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ ABC ≌ \mathrm{Rt}△ DCB$（HL），
∴ $∠ ACB = ∠ DBC = 20°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A = 90°$，
∴ $∠ ABC = 90° - ∠ ACB = 90° - 20° = 70°$，
∴ $∠ ABD = ∠ ABC - ∠ DBC = 70° - 20° = 50°$。
15. 如图，已知∠AON＝56°，P是射线ON上一动点，∠AON的平分线OB与AP交于点B。当△BOP为直角三角形时，∠A的度数为。
答案
解：
∵ OB平分∠AON，∠AON=56°
∴ ∠AOB=∠BOP = $\frac{1}{2}$∠AON = 28°
分两种情况讨论：
① 当∠BPO=90°时：
∠OBP = 90° - ∠BOP = 90° - 28° = 62°
∵ ∠OBP是△AOB的外角
∴ ∠OBP = ∠A + ∠AOB
∴ ∠A = ∠OBP - ∠AOB = 62° - 28° = 34°
② 当∠OBP=90°时：
在Rt△BOP中，∠OPB = 90° - ∠BOP = 90° - 28° = 62°
在△AOP中，∠A = 180° - ∠AON - ∠OPB = 180° - 56° - 62° = 62°
∠BOP=28°≠90°，不存在直角在点O的情况。
综上，∠A的度数为$\boldsymbol{34°}$或$\boldsymbol{62°}$。
∵ OB平分∠AON，∠AON=56°
∴ ∠AOB=∠BOP = $\frac{1}{2}$∠AON = 28°
分两种情况讨论：
① 当∠BPO=90°时：
∠OBP = 90° - ∠BOP = 90° - 28° = 62°
∵ ∠OBP是△AOB的外角
∴ ∠OBP = ∠A + ∠AOB
∴ ∠A = ∠OBP - ∠AOB = 62° - 28° = 34°
② 当∠OBP=90°时：
在Rt△BOP中，∠OPB = 90° - ∠BOP = 90° - 28° = 62°
在△AOP中，∠A = 180° - ∠AON - ∠OPB = 180° - 56° - 62° = 62°
∠BOP=28°≠90°，不存在直角在点O的情况。
综上，∠A的度数为$\boldsymbol{34°}$或$\boldsymbol{62°}$。
16.已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD$是$AC$边上的高，$∠ ABD=32°$，则$∠ C$的度数为________。
答案
解：分两种情况讨论：
① 当△ABC为锐角三角形，BD在△ABC内部时：
∵ BD是AC边上的高，
∴ ∠ADB=90°，
∴ ∠A = 90° - ∠ABD = 90° - 32° = 58°，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C，
∴ ∠C = $\frac{1}{2} × (180° - ∠ A) = \frac{1}{2} × (180° - 58°) = 61°$。
② 当△ABC为钝角三角形，∠BAC为钝角，BD在△ABC外部时：
∵ BD是AC边上的高，
∴ ∠ADB=90°，
∴ ∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 32° = 58°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠BAD = 180° - 58° = 122°，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C，
∴ ∠C = $\frac{1}{2} × (180° - ∠ BAC) = \frac{1}{2} × (180° - 122°) = 29°$。
综上，∠C的度数为$61°$或$29°$。
① 当△ABC为锐角三角形，BD在△ABC内部时：
∵ BD是AC边上的高，
∴ ∠ADB=90°，
∴ ∠A = 90° - ∠ABD = 90° - 32° = 58°，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C，
∴ ∠C = $\frac{1}{2} × (180° - ∠ A) = \frac{1}{2} × (180° - 58°) = 61°$。
② 当△ABC为钝角三角形，∠BAC为钝角，BD在△ABC外部时：
∵ BD是AC边上的高，
∴ ∠ADB=90°，
∴ ∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 32° = 58°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠BAD = 180° - 58° = 122°，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C，
∴ ∠C = $\frac{1}{2} × (180° - ∠ BAC) = \frac{1}{2} × (180° - 122°) = 29°$。
综上，∠C的度数为$61°$或$29°$。
17. 若一个三角形的三边长分别为$a,b,c$，且满足$(a-13)^2 + |b-12| + \sqrt{c-5} = 0$，则这个三角形按角分类是三角形。
答案
直角
解析
解：
∵ $(a-13)^2≥0$，$|b-12|≥0$，$\sqrt{c-5}≥0$，且$(a-13)^2 + |b-12| + \sqrt{c-5} = 0$，
∴ $a-13=0$，$b-12=0$，$c-5=0$，
解得 $a=13$，$b=12$，$c=5$。
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，即 $c^2 + b^2 = a^2$，
∴ 这个三角形按角分类是直角三角形。
∵ $(a-13)^2≥0$，$|b-12|≥0$，$\sqrt{c-5}≥0$，且$(a-13)^2 + |b-12| + \sqrt{c-5} = 0$，
∴ $a-13=0$，$b-12=0$，$c-5=0$，
解得 $a=13$，$b=12$，$c=5$。
∵ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，即 $c^2 + b^2 = a^2$，
∴ 这个三角形按角分类是直角三角形。
18. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ B=∠ D=90°$，$AB=AD$。求证：$∠ 1=∠ 2$。
答案
证明：
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△ADC$中，
$\begin{cases}AB=AD \\AC=AC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC ≌ \mathrm{Rt}△ADC(\mathrm{HL})$
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△ADC$中，
$\begin{cases}AB=AD \\AC=AC\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ABC ≌ \mathrm{Rt}△ADC(\mathrm{HL})$
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$
