19. 如图，在$△ ABC$中，$BC$边的垂直平分线交$AC$边于点$D$，交$BC$边于点$E$，连接$BD$。若$CE＝4$，$△ BDC$的周长为$18$，求$BD$的长。

解：
∵ DE垂直平分BC，
∴ BD = CD，BE = CE。
∵ CE = 4，
∴ BC = 2CE = 8。
∵ △BDC的周长为18，
∴ BD + CD + BC = 18，
即 2BD + 8 = 18，
解得 BD = 5。
答：BD的长为5。

20.如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,直线$l$经过顶点$C$,过$A$,$B$两点分别作直线$l$的垂线$AE$,$BF$,$E$,$F$为垂足,且$AE=CF$。
(1)求证:$AC ⊥ BC$;
(2)求证:$AE+BF=EF$。

证明：
(1)
∵ $AE ⊥ l$，$BF ⊥ l$，
∴ $∠ E = ∠ BFC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AEC$和$\mathrm{Rt}△ CFB$中，
$\begin{cases}AC = BC \\AE = CF\end{cases}$
∴ $\mathrm{Rt}△ AEC ≌ \mathrm{Rt}△ CFB \ (\mathrm{HL})$。
∴ $∠ ACE = ∠ CBF$。
∵ 在$\mathrm{Rt}△ CFB$中，$∠ CBF + ∠ BCF = 90°$，
∴ $∠ ACE + ∠ BCF = 90°$，
∴ $∠ ACB = 180° - (∠ ACE + ∠ BCF) = 90°$，
即 $AC ⊥ BC$。
(2)
由$\mathrm{Rt}△ AEC ≌ \mathrm{Rt}△ CFB$，可得 $EC = BF$。
∵ $EF = EC + CF$，且已知 $AE = CF$，
∴ $EF = BF + AE$，
即 $AE + BF = EF$。

21.如图，小明利用一根长1 m的杆子CD来测量路灯AB的高度。他的方法如下：在路灯前选一点P，使$BP=1\ \mathrm{m}$，并测得$∠ APB$的度数，然后把竖直的杆子CD在BP的延长线上来回移动，使$∠ CPD$与$∠ APB$互余，此时测得$BD=6\ \mathrm{m}$。请根据这些数据，计算出路灯AB的高度。（杆子CD与路灯AB垂直于地面）

解：
由题意得，$CD⊥ DB$，$AB⊥ DB$，
$\therefore ∠ D = ∠ ABP = 90°$，
$\therefore ∠ CPD + ∠ DCP = 90°$。
$\because ∠ CPD$与$∠ APB$互余，
$\therefore ∠ CPD + ∠ APB = 90°$，
$\therefore ∠ DCP = ∠ APB$。
$\because BD=6\ \mathrm{m}$，$BP=1\ \mathrm{m}$，
$\therefore DP = BD - BP = 6 - 1 = 5\ \mathrm{m}$，
又$\because CD=1\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD = BP = 1\ \mathrm{m}$。
在$△ CDP$和$△ PBA$中：
$\begin{cases}∠ D = ∠ ABP \\CD = BP \\∠ DCP = ∠ APB\end{cases}$
$\therefore △ CDP ≌ △ PBA$（ASA），
$\therefore AB = DP = 5\ \mathrm{m}$。
答：路灯$AB$的高度为$5\ \mathrm{m}$。