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9. 甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，其中作图正确的是 （）
答案
C
解析
解：根据角平分线的性质：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
要使点M在AB边上，且到AC和BC两边的距离相等，则点M是∠ACB的平分线与AB的交点。
逐一分析四位同学的作图：
1. 甲的作图得到的点M不在AB边上，不符合要求；
2. 乙的作图痕迹不是作∠ACB的平分线，CM不是∠ACB的角平分线，不符合要求；
3. 丙的作图是尺规作∠ACB的平分线，该平分线与AB的交点即为点M，满足点M在AB上且到AC、BC距离相等，符合要求；
4. 丁的作图痕迹不是作∠ACB的平分线，得到的点M不满足到AC、BC距离相等，不符合要求。
要使点M在AB边上，且到AC和BC两边的距离相等，则点M是∠ACB的平分线与AB的交点。
逐一分析四位同学的作图：
1. 甲的作图得到的点M不在AB边上，不符合要求；
2. 乙的作图痕迹不是作∠ACB的平分线，CM不是∠ACB的角平分线，不符合要求；
3. 丙的作图是尺规作∠ACB的平分线，该平分线与AB的交点即为点M，满足点M在AB上且到AC、BC距离相等，符合要求；
4. 丁的作图痕迹不是作∠ACB的平分线，得到的点M不满足到AC、BC距离相等，不符合要求。
10. 如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE//AB交BC于点E。若CE=4，DE=3，则边BC的长为（）
A.5
B.6
C.7
D.8
A.5
B.6
C.7
D.8
答案
C
解析
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBE。
∵DE//AB，∴∠ABD=∠BDE，
∴∠DBE=∠BDE，根据等角对等边可得BE=DE=3。
又∵CE=4，∴BC=BE+CE=3+4=7。
∵DE//AB，∴∠ABD=∠BDE，
∴∠DBE=∠BDE，根据等角对等边可得BE=DE=3。
又∵CE=4，∴BC=BE+CE=3+4=7。
11. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10 cm，BD=7 cm，则点D到AB的距离为cm。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
解：过点D作DE⊥AB于点E。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥AC。
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴ DE = DC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又∵ BC=10 cm，BD=7 cm，
∴ DC = BC - BD = 10 - 7 = 3 cm，
∴ DE = 3 cm，即点D到AB的距离为3 cm。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥AC。
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴ DE = DC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又∵ BC=10 cm，BD=7 cm，
∴ DC = BC - BD = 10 - 7 = 3 cm，
∴ DE = 3 cm，即点D到AB的距离为3 cm。
12.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ CAB$,且$∠ B=30°$,$AD=4$,$E$是$AB$上一动点,则点$D$,$E$之间的最小距离为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：
过点D作DE⊥AB于点E，根据垂线段最短，此时DE的长即为点D、E之间的最小距离。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴ ∠CAB = 90° - 30° = 60°，
∵ AD平分∠CAB，
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠CAB = 30°，
在Rt△ACD中，∠C=90°，∠CAD=30°，AD=4，
∴ CD = $\frac{1}{2}$AD = 2，
又∵ AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，根据角平分线的性质可得：DE = CD = 2。
过点D作DE⊥AB于点E，根据垂线段最短，此时DE的长即为点D、E之间的最小距离。
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴ ∠CAB = 90° - 30° = 60°，
∵ AD平分∠CAB，
∴ ∠CAD = $\frac{1}{2}$∠CAB = 30°，
在Rt△ACD中，∠C=90°，∠CAD=30°，AD=4，
∴ CD = $\frac{1}{2}$AD = 2，
又∵ AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，根据角平分线的性质可得：DE = CD = 2。
13. 如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$AB=8$，$AC=6$，则$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=$。
14. 的点在角的平分线上。
14. 的点在角的平分线上。
答案
解：过点D作$DE⊥ AB$于E，$DF⊥ AC$于F。
∵AD平分$∠ BAC$，
∴$DE=DF$。
$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· DF$，
$\therefore S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC=8:6=4:3$。
13. $\boldsymbol{4:3}$
14. 角的内部到角的两边距离相等
∵AD平分$∠ BAC$，
∴$DE=DF$。
$\because S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· DE$，$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}· AC· DF$，
$\therefore S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=AB:AC=8:6=4:3$。
13. $\boldsymbol{4:3}$
14. 角的内部到角的两边距离相等
15.已知点$P(2a - 3,6 - a)$在第一、三象限的角平分线上，则$a=$。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
解：
∵第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，
∴$2a - 3 = 6 - a$，
移项得：$2a + a = 6 + 3$，
合并同类项得：$3a = 9$，
系数化为1得：$a = 3$。
最终
∵第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，
∴$2a - 3 = 6 - a$，
移项得：$2a + a = 6 + 3$，
合并同类项得：$3a = 9$，
系数化为1得：$a = 3$。
最终
