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16. 在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BCD=90°，CD=2，且△ABD的面积为2，则AB的长为。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：过点D作DE⊥AB于点E。
∵ BD平分∠ABC，∠BCD=90°，即DC⊥BC，DE⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质可得：DE = CD = 2。
∵ S△ABD = $\frac{1}{2} · AB · DE = 2$，
代入DE=2得：$\frac{1}{2} × AB × 2 = 2$，
解得AB=2。
∵ BD平分∠ABC，∠BCD=90°，即DC⊥BC，DE⊥AB，
∴ 根据角平分线的性质可得：DE = CD = 2。
∵ S△ABD = $\frac{1}{2} · AB · DE = 2$，
代入DE=2得：$\frac{1}{2} × AB × 2 = 2$，
解得AB=2。
17.如图，$AB// CD$，$BP$，$CP$分别平分$∠ ABC$，$∠ DCB$，$AD$过点$P$，且与$AB$垂直，垂足为$A$，交$CD$于点$D$。若$AD=16$，则点$P$到$BC$的距离是。
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
解：过点P作PE⊥BC于点E。
∵ AB//CD，AD⊥AB，
∴ AD⊥CD，即PA⊥AB，PD⊥CD。
∵ BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴ PA = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴ PD = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ PA = PD = PE。
∵ AD = PA + PD = 16，
∴ PA = PD = 8，
∴ PE = 8，即点P到BC的距离是8。
∵ AB//CD，AD⊥AB，
∴ AD⊥CD，即PA⊥AB，PD⊥CD。
∵ BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，
∴ PA = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ CP平分∠DCB，PD⊥CD，PE⊥BC，
∴ PD = PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ PA = PD = PE。
∵ AD = PA + PD = 16，
∴ PA = PD = 8，
∴ PE = 8，即点P到BC的距离是8。
18.如图，点C在线段AB上，且不与端点重合，分别以AC，BC为边作等边三角形DAC和等边三角形EBC，且点D，E在AB同侧，连接AE，BD交于点P，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有以下四个结论：
①$△ ACE ≌ △ DCB$；
②若$AC≠BC$，在不添加字母与辅助线的情况下，图中只有两对全等三角形；
③$∠ APD＝60°$；
④$CP$平分$∠ APB$。
以上结论中正确的是（填序号）。
①$△ ACE ≌ △ DCB$；
②若$AC≠BC$，在不添加字母与辅助线的情况下，图中只有两对全等三角形；
③$∠ APD＝60°$；
④$CP$平分$∠ APB$。
以上结论中正确的是（填序号）。
答案
解：
1. 验证结论①：
∵△DAC和△EBC均为等边三角形，
∴$AC=DC$，$CE=CB$，$∠ACD=∠ECB=60°$，
∴$∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE$，即$∠ACE=∠DCB$，
在$△ ACE$和$△ DCB$中，
$\{\begin{array}{l}AC=DC \\∠ACE=∠DCB \\CE=CB\end{array} $
∴$△ ACE≌△ DCB$（SAS），故①正确。
2. 验证结论②：
当$AC≠BC$时，除$△ ACE≌△ DCB$外，
由$∠ACM=∠DCN=60°$，$AC=DC$，$∠CAM=∠CDN$，可得$△ ACM≌△ DCN$（ASA），
同理可证$△ MCE≌△ NCB$（ASA），共3对全等三角形，故②错误。
3. 验证结论③：
由$△ ACE≌△ DCB$得$∠CAM=∠CDP$，
∵$∠AMC=∠DMP$，
∴$∠APD=∠ACD=60°$，故③正确。
4. 验证结论④：
过点$C$作$CG⊥AE$于点$G$，$CH⊥BD$于点$H$，
∵$△ ACE≌△ DCB$，∴$S_{△ ACE}=S_{△ DCB}$，且$AE=BD$，
∴$\frac{1}{2}·AE·CG=\frac{1}{2}·BD·CH$，可得$CG=CH$，
根据角平分线的判定定理，点$C$到$∠APB$两边的距离相等，因此$CP$平分$∠APB$，故④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①③④}$。
1. 验证结论①：
∵△DAC和△EBC均为等边三角形，
∴$AC=DC$，$CE=CB$，$∠ACD=∠ECB=60°$，
∴$∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE$，即$∠ACE=∠DCB$，
在$△ ACE$和$△ DCB$中，
$\{\begin{array}{l}AC=DC \\∠ACE=∠DCB \\CE=CB\end{array} $
∴$△ ACE≌△ DCB$（SAS），故①正确。
2. 验证结论②：
当$AC≠BC$时，除$△ ACE≌△ DCB$外，
由$∠ACM=∠DCN=60°$，$AC=DC$，$∠CAM=∠CDN$，可得$△ ACM≌△ DCN$（ASA），
同理可证$△ MCE≌△ NCB$（ASA），共3对全等三角形，故②错误。
3. 验证结论③：
由$△ ACE≌△ DCB$得$∠CAM=∠CDP$，
∵$∠AMC=∠DMP$，
∴$∠APD=∠ACD=60°$，故③正确。
4. 验证结论④：
过点$C$作$CG⊥AE$于点$G$，$CH⊥BD$于点$H$，
∵$△ ACE≌△ DCB$，∴$S_{△ ACE}=S_{△ DCB}$，且$AE=BD$，
∴$\frac{1}{2}·AE·CG=\frac{1}{2}·BD·CH$，可得$CG=CH$，
根据角平分线的判定定理，点$C$到$∠APB$两边的距离相等，因此$CP$平分$∠APB$，故④正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①③④}$。
19. 如图，$∠ B=∠ C$，AD平分$∠ BAC$。求证：$△ ABD≌△ ACD$。
证明：$\because AD$平分$∠ BAC$(已知)，
$\therefore ∠$$=∠$(角平分线的定义)。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\{\begin{array}{l}∠\mathrm{\_\_\_\_\_\_}=∠\mathrm{\_\_\_\_\_\_(已知)}，\\∠\mathrm{\_\_\_\_\_\_}=∠\mathrm{\_\_\_\_\_\_(已证)}，\\\mathrm{\_\_\_\_\_\_}=\mathrm{\_\_\_\_\_\_(公共边)}，\end{array} $
$\therefore △ ABD≌△ ACD$()。
证明：$\because AD$平分$∠ BAC$(已知)，
$\therefore ∠$$=∠$(角平分线的定义)。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\{\begin{array}{l}∠\mathrm{\_\_\_\_\_\_}=∠\mathrm{\_\_\_\_\_\_(已知)}，\\∠\mathrm{\_\_\_\_\_\_}=∠\mathrm{\_\_\_\_\_\_(已证)}，\\\mathrm{\_\_\_\_\_\_}=\mathrm{\_\_\_\_\_\_(公共边)}，\end{array} $
$\therefore △ ABD≌△ ACD$()。
答案
证明: $\because AD$ 平分$∠ BAC$(已知),
$\therefore ∠ \boldsymbol{BAD}=∠ \boldsymbol{CAD}$(角平分线的定义)。
在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,
$\begin{cases}∠ \boldsymbol{B}=∠ \boldsymbol{C} \ (\mathrm{已知}), \\∠ \boldsymbol{BAD}=∠ \boldsymbol{CAD} \ (\mathrm{已证}), \\\boldsymbol{AD}=\boldsymbol{AD} \ (\mathrm{公共边}),\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\boldsymbol{AAS})$。
$\therefore ∠ \boldsymbol{BAD}=∠ \boldsymbol{CAD}$(角平分线的定义)。
在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,
$\begin{cases}∠ \boldsymbol{B}=∠ \boldsymbol{C} \ (\mathrm{已知}), \\∠ \boldsymbol{BAD}=∠ \boldsymbol{CAD} \ (\mathrm{已证}), \\\boldsymbol{AD}=\boldsymbol{AD} \ (\mathrm{公共边}),\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACD(\boldsymbol{AAS})$。
