登录
1. 填空。
(1)把一个底面直径是8 cm的圆锥形木块沿高切成相同的两半后,表面积比原来增加了72 $\mathrm{cm}^2$,原来这个圆锥的高是(
(2)一个长方体和一个正方体的棱长之和相等,已知正方体的棱长是4 cm,长方体的长是5 cm,宽是3 cm,它的高是(
(3)一个圆柱的侧面展开是一个边长为15.7 cm的正方形,这个圆柱的高是(
(4)右图是一个正方体的展开图,把它折叠成正方体后,数字“4”的对面是数字“(
(5)一个立体图形,从正面看是
,从左面看是
,搭这个立体图形最少需要(
(1)把一个底面直径是8 cm的圆锥形木块沿高切成相同的两半后,表面积比原来增加了72 $\mathrm{cm}^2$,原来这个圆锥的高是(
9
)cm。(2)一个长方体和一个正方体的棱长之和相等,已知正方体的棱长是4 cm,长方体的长是5 cm,宽是3 cm,它的高是(
4
)cm。(3)一个圆柱的侧面展开是一个边长为15.7 cm的正方形,这个圆柱的高是(
15.7
)cm,底面半径是(2.5
)cm。(4)右图是一个正方体的展开图,把它折叠成正方体后,数字“4”的对面是数字“(
3
)”。(5)一个立体图形,从正面看是
,从左面看是,搭这个立体图形最少需要(5
)个小正方体。答案
1. (1)9 (2)4 (3)15.7 2.5 (4)3 (5)5
解析
【分析】
1. 第(1)小题：圆锥沿高切成两半后，增加的表面积是两个完全相同的三角形面积之和，三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高。先求出单个三角形面积，再利用三角形面积公式逆推求出圆锥的高。
2. 第(2)小题：先根据正方体棱长和公式求出棱长总和，由于长方体与正方体棱长之和相等，再通过长方体棱长和公式的变形计算出长方体的高。
3. 第(3)小题：圆柱侧面展开为正方形时，圆柱的高与底面周长相等，先确定高的值，再依据圆的周长公式逆推求出底面半径。
4. 第(4)小题：利用正方体展开图“相对面间隔一个面”的规律，或通过想象折叠过程，判断数字“4”的对面数字。
5. 第(5)小题：要使小正方体数量最少，需让下层小正方体尽量共用，上层仅放置一个满足正面和左面视图要求的小正方体，据此计算最少数量。
【解析】
(1) 单个三角形面积：$72÷2=36\mathrm{cm}^2$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可得圆锥的高：
$h=2S÷ a=2×36÷8=9\mathrm{cm}$
(2) 正方体棱长总和：$12×4=48\mathrm{cm}$
长方体长+宽+高：$48÷4=12\mathrm{cm}$
长方体的高：$12-5-3=4\mathrm{cm}$
(3) 圆柱侧面展开是正方形，故高等于底面周长，即高为$15.7\mathrm{cm}$。
根据圆的周长公式$C=2π r$，底面半径：
$r=C÷(2π)=15.7÷(2×3.14)=2.5\mathrm{cm}$
(4) 观察正方体展开图，折叠后数字“4”的对面是数字“3”。
(5) 下层最少摆4个小正方体（前排3个，后排中间1个），上层在中间前排摆1个，总共$4+1=5$个。
【答案】
1. (1)9 (2)4 (3)15.7 2.5 (4)3 (5)5
【知识点】
立体图形特征计算
棱长和公式应用
视图与立体搭建
【点评】
本题涵盖多种立体图形的核心知识点，包括圆锥、长方体、正方体、圆柱的特征分析与计算，以及根据视图搭建立体图形，考查学生对立体图形基本概念、公式的掌握和空间想象能力，需要学生灵活运用公式解决问题。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)小题：圆锥沿高切成两半后，增加的表面积是两个完全相同的三角形面积之和，三角形的底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高。先求出单个三角形面积，再利用三角形面积公式逆推求出圆锥的高。
2. 第(2)小题：先根据正方体棱长和公式求出棱长总和，由于长方体与正方体棱长之和相等，再通过长方体棱长和公式的变形计算出长方体的高。
3. 第(3)小题：圆柱侧面展开为正方形时，圆柱的高与底面周长相等，先确定高的值，再依据圆的周长公式逆推求出底面半径。
4. 第(4)小题：利用正方体展开图“相对面间隔一个面”的规律，或通过想象折叠过程，判断数字“4”的对面数字。
5. 第(5)小题：要使小正方体数量最少，需让下层小正方体尽量共用，上层仅放置一个满足正面和左面视图要求的小正方体，据此计算最少数量。
【解析】
(1) 单个三角形面积：$72÷2=36\mathrm{cm}^2$
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，可得圆锥的高：
$h=2S÷ a=2×36÷8=9\mathrm{cm}$
(2) 正方体棱长总和：$12×4=48\mathrm{cm}$
长方体长+宽+高：$48÷4=12\mathrm{cm}$
长方体的高：$12-5-3=4\mathrm{cm}$
(3) 圆柱侧面展开是正方形，故高等于底面周长，即高为$15.7\mathrm{cm}$。
根据圆的周长公式$C=2π r$，底面半径：
$r=C÷(2π)=15.7÷(2×3.14)=2.5\mathrm{cm}$
(4) 观察正方体展开图，折叠后数字“4”的对面是数字“3”。
(5) 下层最少摆4个小正方体（前排3个，后排中间1个），上层在中间前排摆1个，总共$4+1=5$个。
【答案】
1. (1)9 (2)4 (3)15.7 2.5 (4)3 (5)5
【知识点】
立体图形特征计算
棱长和公式应用
视图与立体搭建
【点评】
本题涵盖多种立体图形的核心知识点，包括圆锥、长方体、正方体、圆柱的特征分析与计算，以及根据视图搭建立体图形，考查学生对立体图形基本概念、公式的掌握和空间想象能力，需要学生灵活运用公式解决问题。
【难度系数】
0.6
2. 选择。
(1)至少(
A. 4
B. 8
C. 9
(2)下面四幅图中,不能围成正方体的是(
A.
B.
C.
(3)一个大正方体由8个小正方体搭成,从中拿掉1个小正方体,它的表面积(
A. 变大
B. 变小
C. 不变
D. 无法判断
(1)至少(
B
)个完全一样的小正方体可以拼成一个稍大的正方体。A. 4
B. 8
C. 9
(2)下面四幅图中,不能围成正方体的是(
C
)。A.
B.
C.
(3)一个大正方体由8个小正方体搭成,从中拿掉1个小正方体,它的表面积(
C
),体积(B
)。A. 变大
B. 变小
C. 不变
D. 无法判断
答案
2. (1)B (2)C (3)C B
解析
【分析】
(1) 要确定拼成稍大正方体所需小正方体的最少数量，需结合正方体棱长相等的特征：稍大正方体的每条棱上至少需要2个小正方体，通过计算体积来推导个数，正方体体积=棱长×棱长×棱长，棱长为2个小正方体边长时，体积为$2×2×2=8$，因此至少需要8个小正方体。
(2) 判断能否围成正方体，需依据正方体展开图的常见类型（如1-4-1型、2-3-1型、2-2-2型等）：A是1-4-1型，B是2-2-2型，均符合正方体展开图特征；C的图形折叠后会出现面重叠的情况，无法围成正方体。
(3) 分析拿掉小正方体后的表面积和体积变化：由8个小正方体搭成的大正方体，每个小正方体都在顶点位置，拿掉1个时，原来小正方体外露的3个面被移除，但同时会露出原本被遮挡的3个面，所以表面积不变；而体积因减少了1个小正方体，因此体积变小。
【解析】
(1) 设小正方体棱长为1，稍大正方体棱长至少为2，其体积为$2×2×2=8$，单个小正方体体积为$1×1×1=1$，所需小正方体个数为$8÷1=8$，故选B。
(2) 根据正方体展开图的特征，A、B选项的图形均能折叠成正方体；C选项的图形折叠后存在面重合的问题，无法围成正方体，故选C。
(3) 拿掉顶点处的小正方体，外露面的数量不变，因此表面积不变；整体体积因减少一个小正方体而变小，故依次选C、B。
【答案】
(1)B (2)C (3)C B
【知识点】
正方体的特征；正方体展开图；正方体表面积与体积
【点评】
本题围绕正方体的拼接、展开图判断、表面积和体积变化展开，需要结合正方体的基本性质，同时具备一定的空间想象能力，对正方体相关概念的理解和应用进行综合考查。
【难度系数】
0.6
(1) 要确定拼成稍大正方体所需小正方体的最少数量，需结合正方体棱长相等的特征：稍大正方体的每条棱上至少需要2个小正方体，通过计算体积来推导个数，正方体体积=棱长×棱长×棱长，棱长为2个小正方体边长时，体积为$2×2×2=8$，因此至少需要8个小正方体。
(2) 判断能否围成正方体，需依据正方体展开图的常见类型（如1-4-1型、2-3-1型、2-2-2型等）：A是1-4-1型，B是2-2-2型，均符合正方体展开图特征；C的图形折叠后会出现面重叠的情况，无法围成正方体。
(3) 分析拿掉小正方体后的表面积和体积变化：由8个小正方体搭成的大正方体，每个小正方体都在顶点位置，拿掉1个时，原来小正方体外露的3个面被移除，但同时会露出原本被遮挡的3个面，所以表面积不变；而体积因减少了1个小正方体，因此体积变小。
【解析】
(1) 设小正方体棱长为1，稍大正方体棱长至少为2，其体积为$2×2×2=8$，单个小正方体体积为$1×1×1=1$，所需小正方体个数为$8÷1=8$，故选B。
(2) 根据正方体展开图的特征，A、B选项的图形均能折叠成正方体；C选项的图形折叠后存在面重合的问题，无法围成正方体，故选C。
(3) 拿掉顶点处的小正方体，外露面的数量不变，因此表面积不变；整体体积因减少一个小正方体而变小，故依次选C、B。
【答案】
(1)B (2)C (3)C B
【知识点】
正方体的特征；正方体展开图；正方体表面积与体积
【点评】
本题围绕正方体的拼接、展开图判断、表面积和体积变化展开，需要结合正方体的基本性质，同时具备一定的空间想象能力，对正方体相关概念的理解和应用进行综合考查。
【难度系数】
0.6
3. 分别画出下面立体图形从上面、正面和左面看到的形状。
上面 正面 左面
上面 正面 左面
答案
上面 正面 左面
解析
【分析】
要画出该立体图形的三视图，需分别从上面、正面、左面三个方向观察，明确每个方向能看到的正方形数量与排列：
1. 从上面观察：可看到4个正方形，后排横向排列2个，前排横向排列2个，且前排左侧的正方形在最左，前排右侧的正方形与后排左侧的正方形上下对齐。
2. 从正面观察：能看到两层，下层横向排列3个正方形，上层在最左侧有1个正方形。
3. 从左面观察：能看到两层，下层横向排列2个正方形，上层在最左侧有1个正方形。
【解析】
1. 绘制上面视图：在方格纸上画出4个正方形，排列为：第一行（后排）第2、3列各1个，第二行（前排）第1、2列各1个。
2. 绘制正面视图：在方格纸上画出4个正方形，排列为：上层第1列1个，下层第1、2、3列各1个。
3. 绘制左面视图：在方格纸上画出3个正方形，排列为：上层第1列1个，下层第1、2列各1个。
【答案】
上面 正面 左面
【知识点】
三视图的绘制，立体图形观察
【点评】
本题主要考查立体图形三视图的绘制，需要学生具备一定的空间想象能力，通过观察立体图形的不同面，确定视图的形状，有助于培养学生的空间观念，是空间几何的基础题型。
【难度系数】
0.7
要画出该立体图形的三视图，需分别从上面、正面、左面三个方向观察，明确每个方向能看到的正方形数量与排列：
1. 从上面观察：可看到4个正方形，后排横向排列2个，前排横向排列2个，且前排左侧的正方形在最左，前排右侧的正方形与后排左侧的正方形上下对齐。
2. 从正面观察：能看到两层，下层横向排列3个正方形，上层在最左侧有1个正方形。
3. 从左面观察：能看到两层，下层横向排列2个正方形，上层在最左侧有1个正方形。
【解析】
1. 绘制上面视图：在方格纸上画出4个正方形，排列为：第一行（后排）第2、3列各1个，第二行（前排）第1、2列各1个。
2. 绘制正面视图：在方格纸上画出4个正方形，排列为：上层第1列1个，下层第1、2、3列各1个。
3. 绘制左面视图：在方格纸上画出3个正方形，排列为：上层第1列1个，下层第1、2列各1个。
【答案】
上面 正面 左面
【知识点】
三视图的绘制，立体图形观察
【点评】
本题主要考查立体图形三视图的绘制，需要学生具备一定的空间想象能力，通过观察立体图形的不同面，确定视图的形状，有助于培养学生的空间观念，是空间几何的基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 【提优挑战】小赵和小李想用一袋长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的积木搭一个正方体。至少要用多少块这样的积木？
[4,3,2]=12 12÷4=3(块) 12÷3=4 (块) 12÷2=6(块) 3×4×6=72(块) 答:至少要用72块这样的积木。
答案
4. [4,3,2]=12 12÷4=3(块) 12÷3=4 (块) 12÷2=6(块) 3×4×6=72(块) 答:至少要用72块这样的积木。
解析
【分析】
要想用最少的积木搭成正方体，首先要确定正方体的棱长。由于正方体的棱长都相等，所以这个棱长必须是积木长、宽、高的公倍数，要使积木数量最少，棱长应取长、宽、高的最小公倍数。接下来分别计算正方体棱长中包含多少个积木的长、宽、高，得到长、宽、高方向各需要的积木块数，最后将三个方向的块数相乘，就能得到总共需要的积木数量。
【解析】
1. 求积木长、宽、高的最小公倍数：
因为4、3、2的最小公倍数是12，所以搭成的最小正方体的棱长为12cm。
2. 计算各方向所需积木块数：
长方向：$12÷4 = 3$（块）
宽方向：$12÷3 = 4$（块）
高方向：$12÷2 = 6$（块）
3. 计算总积木块数：
$3×4×6 = 72$（块）
答：至少要用72块这样的积木。
【答案】
72块
【知识点】
最小公倍数的应用，正方体棱长特征
【点评】
本题考查了最小公倍数在立体图形拼接中的实际应用，需要学生理解“搭成最小正方体”的核心是棱长为积木长宽高的最小公倍数，同时结合正方体棱长相等的特征，通过分步计算各方向所需块数得到总数，锻炼了学生的逻辑思维和知识应用能力。
【难度系数】
0.3
要想用最少的积木搭成正方体，首先要确定正方体的棱长。由于正方体的棱长都相等，所以这个棱长必须是积木长、宽、高的公倍数，要使积木数量最少，棱长应取长、宽、高的最小公倍数。接下来分别计算正方体棱长中包含多少个积木的长、宽、高，得到长、宽、高方向各需要的积木块数，最后将三个方向的块数相乘，就能得到总共需要的积木数量。
【解析】
1. 求积木长、宽、高的最小公倍数：
因为4、3、2的最小公倍数是12，所以搭成的最小正方体的棱长为12cm。
2. 计算各方向所需积木块数：
长方向：$12÷4 = 3$（块）
宽方向：$12÷3 = 4$（块）
高方向：$12÷2 = 6$（块）
3. 计算总积木块数：
$3×4×6 = 72$（块）
答：至少要用72块这样的积木。
【答案】
72块
【知识点】
最小公倍数的应用，正方体棱长特征
【点评】
本题考查了最小公倍数在立体图形拼接中的实际应用，需要学生理解“搭成最小正方体”的核心是棱长为积木长宽高的最小公倍数，同时结合正方体棱长相等的特征，通过分步计算各方向所需块数得到总数，锻炼了学生的逻辑思维和知识应用能力。
【难度系数】
0.3
