登录
1. 《孙子算经》中有这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问人与车各几何？题目大意：今有若干人乘车，每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车；若每 2 人共乘一车，最终剩余 9 人无车可乘。问共有多少人，多少辆车？设共有 $ x $ 人，则可得 $ x = $(
A.38
B.39
C.40
D.41
B
)A.38
B.39
C.40
D.41
答案
1. B
解析
设共有$x$人，车有$y$辆。
根据题意，每3人共乘一车，剩余2辆车，可列方程：$\frac{x}{3} = y - 2$；
每2人共乘一车，剩余9人无车可乘，可列方程：$\frac{x - 9}{2} = y$。
联立方程组：
$\begin{cases}\frac{x}{3} = y - 2 \\frac{x - 9}{2} = y\end{cases}$
将第二个方程$y = \frac{x - 9}{2}$代入第一个方程：
$\frac{x}{3} = \frac{x - 9}{2} - 2$
两边同乘6去分母：
$2x = 3(x - 9) - 12$
展开得：
$2x = 3x - 27 - 12$
移项：
$3x - 2x = 39$
解得：$x = 39$
B
根据题意，每3人共乘一车，剩余2辆车，可列方程：$\frac{x}{3} = y - 2$；
每2人共乘一车，剩余9人无车可乘，可列方程：$\frac{x - 9}{2} = y$。
联立方程组：
$\begin{cases}\frac{x}{3} = y - 2 \\frac{x - 9}{2} = y\end{cases}$
将第二个方程$y = \frac{x - 9}{2}$代入第一个方程：
$\frac{x}{3} = \frac{x - 9}{2} - 2$
两边同乘6去分母：
$2x = 3(x - 9) - 12$
展开得：
$2x = 3x - 27 - 12$
移项：
$3x - 2x = 39$
解得：$x = 39$
B
2. 某校组织学生春游。若每辆汽车坐 45 人，则有 28 人没有座位；若每辆汽车坐 50 人，则只有 1 辆汽车空 12 个座位无人坐，其余车辆全部坐满。设有 $ x $ 辆汽车，则下面所列方程正确的是(
A.$ 45x + 28 = 50x - 12 $
B.$ 45x - 28 = 50x + 12 $
C.$ 45x - 28 = 50x - 1 $
D.$ 45x + 28 = 50x + 12 $
A
)A.$ 45x + 28 = 50x - 12 $
B.$ 45x - 28 = 50x + 12 $
C.$ 45x - 28 = 50x - 1 $
D.$ 45x + 28 = 50x + 12 $
答案
2. A
解析
【分析】
这道题的核心是抓住两种租车方案下学生总人数不变这一等量关系。设汽车数量为$ x $辆，分别用含$ x $的式子表示两种方案的学生总人数，再根据总人数相等建立方程，即可选出正确选项。
【解析】
设共有$ x $辆汽车。
第一种租车方案：每辆汽车坐45人，有28人无座位，因此学生总人数为$ 45x + 28 $；
第二种租车方案：每辆汽车坐50人，空12个座位，说明学生总人数比$ x $辆车的总座位数少12，即学生总人数为$ 50x - 12 $；
由于学生总人数固定不变，因此可列方程：$ 45x + 28 = 50x - 12 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，关键在于准确找出“学生总人数不变”的等量关系，分别表示两种方案的总人数即可快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是抓住两种租车方案下学生总人数不变这一等量关系。设汽车数量为$ x $辆，分别用含$ x $的式子表示两种方案的学生总人数，再根据总人数相等建立方程，即可选出正确选项。
【解析】
设共有$ x $辆汽车。
第一种租车方案：每辆汽车坐45人，有28人无座位，因此学生总人数为$ 45x + 28 $；
第二种租车方案：每辆汽车坐50人，空12个座位，说明学生总人数比$ x $辆车的总座位数少12，即学生总人数为$ 50x - 12 $；
由于学生总人数固定不变，因此可列方程：$ 45x + 28 = 50x - 12 $，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用
【点评】
本题是一元一次方程应用的基础题型，关键在于准确找出“学生总人数不变”的等量关系，分别表示两种方案的总人数即可快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. 现准备把一些签字笔分给某班的学生。若每名学生分 2 支，则剩余 15 支；若每名学生分 3 支，则缺 27 支。设这个班有 $ x $ 名学生，则下面所列方程正确的是(
A.$ 2x + 15 = 3x - 27 $
B.$ 2x - 15 = 3x + 27 $
C.$ 2x + 15 = 3x + 27 $
D.$ 2x - 15 = 3x - 27 $
A
)A.$ 2x + 15 = 3x - 27 $
B.$ 2x - 15 = 3x + 27 $
C.$ 2x + 15 = 3x + 27 $
D.$ 2x - 15 = 3x - 27 $
答案
3. A
解析
设这个班有$x$名学生。
根据签字笔总数不变，每名学生分2支剩余15支，总数为$2x + 15$；每名学生分3支缺27支，总数为$3x - 27$。
所以方程为$2x + 15 = 3x - 27$。
A
根据签字笔总数不变，每名学生分2支剩余15支，总数为$2x + 15$；每名学生分3支缺27支，总数为$3x - 27$。
所以方程为$2x + 15 = 3x - 27$。
A
4. 我国古代名作《算学启蒙》中有这样一道题：良马日行二百里，驽马日行一百二十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？题目大意：跑得快的马每天跑 200 里，跑得慢的马每天跑 120 里。若慢马先跑 12 天，问快马几天可追上慢马？通过计算可知，快马
18
天可追上慢马。答案
4. 18
解析
设快马$x$天可追上慢马。
慢马先行12天的路程为$120×12$里，快马$x$天跑的路程为$200x$里，慢马在快马追赶的$x$天内跑的路程为$120x$里。
根据快马追上慢马时两者路程相等，可得方程：$200x = 120×12 + 120x$
解方程：
$200x - 120x = 1440$
$80x = 1440$
$x = 18$
18
慢马先行12天的路程为$120×12$里，快马$x$天跑的路程为$200x$里，慢马在快马追赶的$x$天内跑的路程为$120x$里。
根据快马追上慢马时两者路程相等，可得方程：$200x = 120×12 + 120x$
解方程：
$200x - 120x = 1440$
$80x = 1440$
$x = 18$
18
5. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，其中有一道题的大意是今有人合伙买宝石，每人出 3 钱，会多出 4 钱；每人出 2 钱，又差 3 钱。问人数、宝石的价格各是多少？设宝石的价格是 $ x $ 钱，可列出方程：
$\dfrac{x + 4}{3} = \dfrac{x - 3}{2}$
。答案
5. $\dfrac{x + 4}{3} = \dfrac{x - 3}{2}$
解析
【分析】本题的核心是抓住“合伙人数固定不变”这一等量关系，分别用含宝石价格的式子表示两种出钱方式下的人数，再根据人数相等列出方程。
【解析】设宝石的价格是$x$钱。当每人出3钱时，总钱数比宝石价格多4钱，因此合伙人数为$\frac{x + 4}{3}$；当每人出2钱时，总钱数比宝石价格少3钱，因此合伙人数为$\frac{x - 3}{2}$。由于人数不变，可列出方程：$\frac{x + 4}{3} = \frac{x - 3}{2}$。
【答案】$\dfrac{x + 4}{3} = \dfrac{x - 3}{2}$
【知识点】一元一次方程的应用、实际问题中等量关系的建立
【点评】本题结合古代数学名著《九章算术》的背景，考查一元一次方程的实际应用，关键是从题目中提炼出“人数不变”的核心等量关系，将两种出钱方式转化为人数的表达式，体现了数学建模的基本思路，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】设宝石的价格是$x$钱。当每人出3钱时，总钱数比宝石价格多4钱，因此合伙人数为$\frac{x + 4}{3}$；当每人出2钱时，总钱数比宝石价格少3钱，因此合伙人数为$\frac{x - 3}{2}$。由于人数不变，可列出方程：$\frac{x + 4}{3} = \frac{x - 3}{2}$。
【答案】$\dfrac{x + 4}{3} = \dfrac{x - 3}{2}$
【知识点】一元一次方程的应用、实际问题中等量关系的建立
【点评】本题结合古代数学名著《九章算术》的背景，考查一元一次方程的实际应用，关键是从题目中提炼出“人数不变”的核心等量关系，将两种出钱方式转化为人数的表达式，体现了数学建模的基本思路，难度适中。
【难度系数】0.6
6. 已知一个旅行团需要在某农庄住宿。如果每间房住 4 人，那么有 8 人无房可住；如果每间房住 5 人，那么有 1 间房空了 3 个床位。设这个旅行团一共有 $ x $ 人，可列出方程：
$\dfrac{x - 8}{4} = \dfrac{x + 3}{5}$
。答案
6. $\dfrac{x - 8}{4} = \dfrac{x + 3}{5}$
解析
【分析】本题是列一元一次方程的实际应用题，核心是找到不变量（房间总数）作为等量关系。解题思路：先分别根据两种住宿情况表示出农庄的房间数量，再令两个房间数相等，即可列出方程。第一种情况：每间住4人，8人无房，说明住下的人数为$x-8$，房间数为$\frac{x-8}{4}$；第二种情况：每间住5人，空3个床位，说明总床位比旅行团人数多3，即总床位为$x+3$，房间数为$\frac{x+3}{5}$，两者相等即可得到方程。
【解析】设旅行团总人数为$x$人，由于农庄的房间总数是固定的：
1. 当每间住4人时，有8人无房可住，因此住下的人数为$x-8$，房间数 = 住下人数÷每间住的人数，即$\frac{x-8}{4}$；
2. 当每间住5人时，空出3个床位，说明若总人数增加3人，刚好每间住5人，此时房间数 = （总人数+空床数）÷每间住的人数，即$\frac{x+3}{5}$；
3. 因为房间总数不变，所以两个房间数相等，可列出方程：$\frac{x - 8}{4} = \frac{x + 3}{5}$。
【答案】$\dfrac{x - 8}{4} = \dfrac{x + 3}{5}$
【知识点】一元一次方程的应用、实际问题中的等量关系
【点评】本题是一元一次方程应用的基础题型，重点考查学生从实际问题中提取等量关系的能力，找准不变量（房间数）是解题关键，难度适中，适合巩固列方程的核心方法。
【难度系数】0.6
【解析】设旅行团总人数为$x$人，由于农庄的房间总数是固定的：
1. 当每间住4人时，有8人无房可住，因此住下的人数为$x-8$，房间数 = 住下人数÷每间住的人数，即$\frac{x-8}{4}$；
2. 当每间住5人时，空出3个床位，说明若总人数增加3人，刚好每间住5人，此时房间数 = （总人数+空床数）÷每间住的人数，即$\frac{x+3}{5}$；
3. 因为房间总数不变，所以两个房间数相等，可列出方程：$\frac{x - 8}{4} = \frac{x + 3}{5}$。
【答案】$\dfrac{x - 8}{4} = \dfrac{x + 3}{5}$
【知识点】一元一次方程的应用、实际问题中的等量关系
【点评】本题是一元一次方程应用的基础题型，重点考查学生从实际问题中提取等量关系的能力，找准不变量（房间数）是解题关键，难度适中，适合巩固列方程的核心方法。
【难度系数】0.6
7. 某工人计划在一定时间内加工一批零件。他如果每天加工 44 个，就比任务量少加工 20 个；如果每天加工 50 个，就可超额加工 10 个。求该工人计划加工零件的天数。
能力提高
能力提高
答案
7. 解：设该工人计划加工零件$x$天。
根据题意，得$44x + 20 = 50x - 10$。
解这个方程，得$x = 5$。
因此，该工人计划加工零件$5$天。
根据题意，得$44x + 20 = 50x - 10$。
解这个方程，得$x = 5$。
因此，该工人计划加工零件$5$天。
解析
【分析】本题是一元一次方程的实际应用问题，解题核心是抓住不变量——计划加工的零件总数量。设计划加工零件的天数为$x$天，分别根据两种加工效率表示零件总数量，利用“总零件数相等”的等量关系列方程，解方程即可得到计划天数。
【解析】设该工人计划加工零件$x$天。
根据题意，两种加工方式下的零件总数量相等，可列方程：$44x + 20 = 50x - 10$。
移项得：$50x - 44x = 20 + 10$，
合并同类项得：$6x = 30$，
系数化为1得：$x = 5$。
【答案】该工人计划加工零件5天。
【知识点】一元一次方程的应用、等量关系的建立
【点评】本题属于一元一次方程应用题的基础题型，关键是通过不变量建立等量关系，考查学生对一元一次方程实际应用的掌握，难度适中，适合巩固相关知识点。
【难度系数】0.8
【解析】设该工人计划加工零件$x$天。
根据题意，两种加工方式下的零件总数量相等，可列方程：$44x + 20 = 50x - 10$。
移项得：$50x - 44x = 20 + 10$，
合并同类项得：$6x = 30$，
系数化为1得：$x = 5$。
【答案】该工人计划加工零件5天。
【知识点】一元一次方程的应用、等量关系的建立
【点评】本题属于一元一次方程应用题的基础题型，关键是通过不变量建立等量关系，考查学生对一元一次方程实际应用的掌握，难度适中，适合巩固相关知识点。
【难度系数】0.8
