利用方程解决实际问题时，通过分析数量关系是一种有效方法。

知识点 表格

【分析】
这道题考查用方程解决实际问题的常用方法，解题思路是回忆列方程解应用题时，为清晰梳理已知量、未知量及它们之间的数量关系，常用的有效分析工具，其中表格是常用的方法之一，因此需填入表格。
【解析】
在利用方程解决实际问题时，为避免量的关系混淆，更清晰地分析数量关系，通过表格来整理各量是一种有效方法，所以此处应填表格。
【答案】
表格
【知识点】
方程应用 表格法
【点评】
本题考查用方程解决实际问题的基础方法，属于概念识记类题目，难度较低，帮助学生掌握列方程解应用题的常用分析工具。
【难度系数】
0.8

例 1 我国古代名作《增删算法统宗》中有这样一道题：林下牧童闹如簇，不知人数不知竹。每人六竿多十四，每人八竿恰齐足。题目大意：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和多少竹竿。每人 6 竿，多 14 竿；每人 8 竿，恰好用完。请用列方程的方法求出这个问题中的牧童人数。

设这个问题中的牧童人数为 $ x $。
根据题意，得 $ 6x + 14 = 8x $。
解这个方程，得 $ x = 7 $。
因此，这个问题中的牧童人数为 7。

【分析】本题是一元一次方程解决实际问题的题目，解题思路为：先设牧童人数为未知数$ x $，根据两种分竹竿的方式，竹竿总数量不变，分别用含$ x $的式子表示总竹竿数，再根据总竹竿数相等建立方程，最后解方程求出牧童人数。
【解析】设这个问题中的牧童人数为$ x $。根据两种分竹竿方式下竹竿总数量相等，可列方程：$ 6x + 14 = 8x $。移项得：$ 8x - 6x = 14 $，即$ 2x = 14 $，解得$ x = 7 $。
【答案】7
【知识点】一元一次方程应用、实际问题与方程
【点评】本题将古代数学问题转化为现代方程问题，核心是抓住“竹竿总数量不变”这一等量关系，适合学生掌握用方程解决实际问题的方法，难度适中。
【难度系数】0.6

【变式训练 1】我国古代名作《算法统宗》中有一道题，其大意为客人一起分银子，若每人分 7 两，则还剩 4 两；若每人分 9 两，则还差 8 两。问银子共有几两？设客人共有 $ x $ 人，则下面所列方程正确的是()

A.$ 7x + 4 = 9x - 8 $
B.$ 7x - 4 = 9x + 8 $
C.$ \frac{x + 4}{7} = \frac{x - 8}{9} $
D.$ \frac{x - 4}{7} = \frac{x + 8}{9} $

变式训练 1 A

设客人共有$x$人，根据银子总数不变，每人分7两剩4两时银子总数为$7x + 4$，每人分9两差8两时银子总数为$9x - 8$，所以方程为$7x + 4 = 9x - 8$。
A

例 2 《孙子算经》是一本十分著名的数学典籍，其中有这样一道题：今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。问木长几何？题目大意：用一根绳子去量长木，绳子还剩余 4.5 尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 1 尺。问长木有多少尺？请利用方程解决上述问题。

设长木有 $ x $ 尺。
根据题意，绳子长度为 $ x + 4.5 $ 尺，对折后绳子长度为 $ \frac{x + 4.5}{2} $ 尺，此时长木剩余1尺，可得方程：
$ \frac{x + 4.5}{2} + 1 = x $
解方程：
$ x + 4.5 + 2 = 2x $
$ x + 6.5 = 2x $
$ x = 6.5 $
答：长木有 6.5 尺。

【分析】
要解决这个问题，核心是抓住“绳子长度不变”这一关键等量关系。首先设长木的长度为未知数，再通过两种测量方式分别表示绳子的长度，进而建立方程求解。具体思路为：第一步，设长木长度为$ x $尺；第二步，根据“用绳子量木余4.5尺”，得出绳子长度为$ x+4.5 $尺；第三步，根据“对折绳子量木，木余1尺”，可知对折后绳子长度为$ x-1 $尺，因此原绳子长度为$ 2(x-1) $尺；第四步，利用绳子长度不变的等量关系，列出方程并求解。
【解析】
设长木有$ x $尺。
根据题意，绳子长度为$ x + 4.5 $尺；将绳子对折后，对折后的绳子长度为$ \frac{x + 4.5}{2} $尺，此时长木剩余1尺，说明对折后的绳子长度加上1尺等于长木的长度，因此可得方程：
$ \frac{x + 4.5}{2} + 1 = x $
解方程：
两边同乘2消去分母：$ x + 4.5 + 2 = 2x $
化简得：$ x + 6.5 = 2x $
移项得：$ 2x - x = 6.5 $
解得：$ x = 6.5 $
答：长木有6.5尺。
【答案】
6.5尺
【知识点】
一元一次方程的应用，古代数学问题建模
【点评】
本题是《孙子算经》中的经典数学问题，属于一元一次方程的基础应用题，解题关键是将古代测量问题转化为方程问题，抓住不变量建立等量关系，能帮助学生理解数学在古代典籍中的应用，难度适中。
【难度系数】
0.7

【变式训练 2】《孙子算经》中有这样一个问题：今有妇人河上荡杯。津吏问曰：“杯何以多？”妇人曰：“家有客。”津吏曰：“客几何？”妇人曰：“二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”其大意如下：一位妇人在河边洗碗。津吏问：“为什么要洗这么多碗？”妇人回答：“家里来客人了。”津吏问：“有多少客人？”妇人回答：“每 2 人合用一个饭碗，每 3 人合用一个汤碗，每 4 人合用一个肉碗，共用 65 个碗。不知道来了多少个客人？”若设来了 $ x $ 个客人，则下面所列方程正确的是()

A.$ 2x + 3x + 4x = 65 $
B.$ (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) = 65 $
C.$ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 65 $
D.$ (x - 2) + (x - 3) + (x - 4) = 65 $

变式训练 2 C

设来了$ x $个客人。
饭碗数量为$ \frac{x}{2} $，汤碗数量为$ \frac{x}{3} $，肉碗数量为$ \frac{x}{4} $。
因为共用65个碗，所以可列方程：$ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 65 $。
C