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8. 某小组计划做一批“中国结”。如果每人做 6 个，就比计划多做 8 个；如果每人做 5 个，就比计划少做 2 个。该小组一共有多少人？他们计划做多少个“中国结”？
答案
8. 解：设该小组一共有$x$人。
根据题意，得$6x - 8 = 5x + 2$。
解这个方程，得$x = 10$。
$6x - 8 = 6×10 - 8 = 60 - 8 = 52$。
因此，该小组一共有$10$人，他们计划做$52$个“中国结”。
根据题意，得$6x - 8 = 5x + 2$。
解这个方程，得$x = 10$。
$6x - 8 = 6×10 - 8 = 60 - 8 = 52$。
因此，该小组一共有$10$人，他们计划做$52$个“中国结”。
解析
【分析】
本题是一元一次方程的实际应用问题，核心是找到不变量——计划做的“中国结”总个数。设小组人数为未知数，分别用两种做中国结的情况表示计划总个数，利用“计划总个数相等”的等量关系列方程，先求出人数，再计算计划做的中国结数量。
【解析】
解：设该小组一共有$ x $人。
根据两种情况下计划做的中国结总数相等，可列方程：$ 6x - 8 = 5x + 2 $。
移项得：$ 6x - 5x = 2 + 8 $，
解得：$ x = 10 $。
将$ x = 10 $代入$ 6x - 8 $，得计划做的中国结数量为：$ 6×10 - 8 = 52 $（个）。
【答案】
该小组一共有10人，他们计划做52个“中国结”。
【知识点】
一元一次方程的应用、列方程解应用题
【点评】
本题是典型的盈亏类应用题，通过寻找不变量建立等量关系，用一元一次方程解决实际问题，步骤清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
本题是一元一次方程的实际应用问题，核心是找到不变量——计划做的“中国结”总个数。设小组人数为未知数，分别用两种做中国结的情况表示计划总个数，利用“计划总个数相等”的等量关系列方程，先求出人数，再计算计划做的中国结数量。
【解析】
解：设该小组一共有$ x $人。
根据两种情况下计划做的中国结总数相等，可列方程：$ 6x - 8 = 5x + 2 $。
移项得：$ 6x - 5x = 2 + 8 $，
解得：$ x = 10 $。
将$ x = 10 $代入$ 6x - 8 $，得计划做的中国结数量为：$ 6×10 - 8 = 52 $（个）。
【答案】
该小组一共有10人，他们计划做52个“中国结”。
【知识点】
一元一次方程的应用、列方程解应用题
【点评】
本题是典型的盈亏类应用题，通过寻找不变量建立等量关系，用一元一次方程解决实际问题，步骤清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
9. 某校六年级的学生要乘车去科技馆。若单独租 45 座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租 60 座客车，则可少租 1 辆，且余 45 个座位。
(1)该校六年级有多少名学生？
(2)如果 45 座客车的租金为 5 000 元/辆，60 座客车的租金为 6 000 元/辆，且只租一种客车，那么租哪种客车更合算？
(1)该校六年级有多少名学生？
(2)如果 45 座客车的租金为 5 000 元/辆，60 座客车的租金为 6 000 元/辆，且只租一种客车，那么租哪种客车更合算？
答案
9. 解：(1)设单独租$45$座客车需租$x$辆。
根据题意，得$45x = 60(x - 1) - 45$。
解这个方程，得$x = 7$。
$45x = 45×7 = 315$。
因此，该校六年级有$315$名学生。
(2)由(1)知，需租$7$辆$45$座客车或$6$辆$60$座客车。
租$7$辆$45$座客车的费用：$7×5000 = 35000$(元)。
租$6$辆$60$座客车的费用：$6×6000 = 36000$(元)。
因为$36000 ＞ 35000$，
所以租$7$辆$45$座客车更合算。
根据题意，得$45x = 60(x - 1) - 45$。
解这个方程，得$x = 7$。
$45x = 45×7 = 315$。
因此，该校六年级有$315$名学生。
(2)由(1)知，需租$7$辆$45$座客车或$6$辆$60$座客车。
租$7$辆$45$座客车的费用：$7×5000 = 35000$(元)。
租$6$辆$60$座客车的费用：$6×6000 = 36000$(元)。
因为$36000 ＞ 35000$，
所以租$7$辆$45$座客车更合算。
解析
【分析】
要解决这道题，分两步思考：
1. 第(1)问求学生人数：两种租车方式下学生总人数不变，设单独租45座客车需$x$辆，那么$45x$就是总人数；单独租60座客车少租1辆（即$x-1$辆）且余45个座位，所以总人数也可表示为$60(x-1)-45$，据此列一元一次方程求解$x$，再计算总人数。
2. 第(2)问比较租车合算：先根据第(1)问的结果，算出两种客车分别需要租的数量，再分别计算各自的租金，比较租金大小，选费用低的方案。
【解析】
(1) 设单独租45座客车需租$x$辆。
根据学生总人数不变，列方程：
$45x = 60(x - 1) - 45$
展开右边得：$45x = 60x - 60 - 45$
移项合并同类项：$15x = 105$
解得：$x = 7$
则学生人数为：$45×7 = 315$（名）
(2) 由(1)知，租45座客车需7辆，租60座客车需$7 - 1 = 6$辆。
租45座客车的费用：$7×5000 = 35000$（元）
租60座客车的费用：$6×6000 = 36000$（元）
因为$35000 ＜ 36000$，所以租45座客车更合算。
【答案】
(1) 该校六年级有315名学生；(2) 租45座客车更合算。
【知识点】
一元一次方程的应用；方案选择问题
【点评】
本题是一元一次方程在实际租车问题中的典型应用，通过找等量关系列方程求解总人数，再计算不同方案的费用进行比较，考查学生运用数学知识解决实际生活问题的能力，步骤清晰，贴近生活。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，分两步思考：
1. 第(1)问求学生人数：两种租车方式下学生总人数不变，设单独租45座客车需$x$辆，那么$45x$就是总人数；单独租60座客车少租1辆（即$x-1$辆）且余45个座位，所以总人数也可表示为$60(x-1)-45$，据此列一元一次方程求解$x$，再计算总人数。
2. 第(2)问比较租车合算：先根据第(1)问的结果，算出两种客车分别需要租的数量，再分别计算各自的租金，比较租金大小，选费用低的方案。
【解析】
(1) 设单独租45座客车需租$x$辆。
根据学生总人数不变，列方程：
$45x = 60(x - 1) - 45$
展开右边得：$45x = 60x - 60 - 45$
移项合并同类项：$15x = 105$
解得：$x = 7$
则学生人数为：$45×7 = 315$（名）
(2) 由(1)知，租45座客车需7辆，租60座客车需$7 - 1 = 6$辆。
租45座客车的费用：$7×5000 = 35000$（元）
租60座客车的费用：$6×6000 = 36000$（元）
因为$35000 ＜ 36000$，所以租45座客车更合算。
【答案】
(1) 该校六年级有315名学生；(2) 租45座客车更合算。
【知识点】
一元一次方程的应用；方案选择问题
【点评】
本题是一元一次方程在实际租车问题中的典型应用，通过找等量关系列方程求解总人数，再计算不同方案的费用进行比较，考查学生运用数学知识解决实际生活问题的能力，步骤清晰，贴近生活。
【难度系数】
0.6
10. 我国宋代著名科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载过有关古代行军后勤方面的情况，其大意为每个民夫最多可以携带 6 斗(1 斗 = 10 升)粮食；每个士兵除了武器装备外，最多可以携带 10 升粮食；每个士兵和每个民夫平均每天各消耗 2 升粮食。
(1)如果一个士兵雇佣一个民夫随其行军，那么他们携带的粮食最多可以维持多少天的行军？
(2)如果要维持 25 天的行军，那么一个士兵至少需要雇佣多少个民夫随其行军？
(1)如果一个士兵雇佣一个民夫随其行军，那么他们携带的粮食最多可以维持多少天的行军？
(2)如果要维持 25 天的行军，那么一个士兵至少需要雇佣多少个民夫随其行军？
答案
10. 解：(1)一个士兵雇佣一个民夫随其行军，则他们携带的粮食共有$60 + 10 = 70$(升)。
因为$70÷(2 + 2) = 17.5$(天)，
所以最多可以维持$17.5$天的行军。
(2)设要维持$25$天的行军，一个士兵至少需要雇佣$x$个民夫随其行军。
根据题意，得$25×2(x + 1) = 60x + 10$。
解这个方程，得$x = 4$。
因此，要维持$25$天的行军，一个士兵至少需要雇佣$4$个民夫随其行军。
因为$70÷(2 + 2) = 17.5$(天)，
所以最多可以维持$17.5$天的行军。
(2)设要维持$25$天的行军，一个士兵至少需要雇佣$x$个民夫随其行军。
根据题意，得$25×2(x + 1) = 60x + 10$。
解这个方程，得$x = 4$。
因此，要维持$25$天的行军，一个士兵至少需要雇佣$4$个民夫随其行军。
解析
【分析】
第(1)问：先统一单位，将民夫携带的6斗换算为60升，再计算士兵和1个民夫携带的总粮食量；接着计算士兵与1个民夫每天总共消耗的粮食量，用总粮食量除以每天总消耗量，即可得到维持的行军天数。
第(2)问：设需要雇佣x个民夫，先表示总携带粮食量（x个民夫携带量+士兵携带量），再表示25天的总消耗量（总人数×每人每天消耗量×25），根据总携带量等于总消耗量列一元一次方程，求解后取整数解即可。
【解析】
(1) 因为1斗=10升，所以1个民夫携带的粮食为：6×10=60（升）
士兵和1个民夫携带的总粮食：60 + 10 =70（升）
士兵和1个民夫每天共消耗粮食：2 +2=4（升）
可维持的行军天数：70÷4=17.5（天）
(2) 设需要雇佣x个民夫，根据题意列方程：
60x + 10 = 2×25×(x + 1)
化简得：60x +10=50x +50
移项得：10x=40
解得：x=4
【答案】
(1)17.5天；(2)4个
【知识点】
一元一次方程的应用、有理数的运算
【点评】
本题是实际生活中的数学应用问题，需准确理解题意，理清各量关系，正确进行单位换算和列方程，难度适中，考查学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.6
第(1)问：先统一单位，将民夫携带的6斗换算为60升，再计算士兵和1个民夫携带的总粮食量；接着计算士兵与1个民夫每天总共消耗的粮食量，用总粮食量除以每天总消耗量，即可得到维持的行军天数。
第(2)问：设需要雇佣x个民夫，先表示总携带粮食量（x个民夫携带量+士兵携带量），再表示25天的总消耗量（总人数×每人每天消耗量×25），根据总携带量等于总消耗量列一元一次方程，求解后取整数解即可。
【解析】
(1) 因为1斗=10升，所以1个民夫携带的粮食为：6×10=60（升）
士兵和1个民夫携带的总粮食：60 + 10 =70（升）
士兵和1个民夫每天共消耗粮食：2 +2=4（升）
可维持的行军天数：70÷4=17.5（天）
(2) 设需要雇佣x个民夫，根据题意列方程：
60x + 10 = 2×25×(x + 1)
化简得：60x +10=50x +50
移项得：10x=40
解得：x=4
【答案】
(1)17.5天；(2)4个
【知识点】
一元一次方程的应用、有理数的运算
【点评】
本题是实际生活中的数学应用问题，需准确理解题意，理清各量关系，正确进行单位换算和列方程，难度适中，考查学生的数学应用能力。
【难度系数】
0.6
