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3. 如图是一组有规律的图案，第 1 个图案由 4 个基础图形组成，第 2 个图案由 7 个基础图形组成……设第 $ n $($ n $ 是正整数)个图案是由 $ y $ 个基础图形组成的，则 $ y $ 与 $ n $ 之间的关系式是(
A.$ y = 4n $
B.$ y = 3n $
C.$ y = 6n $
D.$ y = 3n + 1 $
D
)。A.$ y = 4n $
B.$ y = 3n $
C.$ y = 6n $
D.$ y = 3n + 1 $
答案
3. D
解析
当$n=1$时，$y=4$；当$n=2$时，$y=7$；当$n=3$时，$y=10$。
观察可得：$4=3×1 + 1$，$7=3×2 + 1$，$10=3×3 + 1$。
所以$y$与$n$之间的关系式是$y = 3n + 1$。
D
观察可得：$4=3×1 + 1$，$7=3×2 + 1$，$10=3×3 + 1$。
所以$y$与$n$之间的关系式是$y = 3n + 1$。
D
4. 一块长为 5 m、宽为 2 m 的长方形木板，现要在长边上截取一边长为 $ x $ m 的一小长方形(如图)，则剩余木板的面积 $ y $($ m^{2} $)与 $ x $(m)之间的关系式为(
A.$ y = 2x $
B.$ y = 10 - 2x $
C.$ y = 5x $
D.$ y = 10 - 5x $
B
)。A.$ y = 2x $
B.$ y = 10 - 2x $
C.$ y = 5x $
D.$ y = 10 - 5x $
答案
4. B
解析
长方形木板的面积为 $5 × 2 = 10 \, \mathrm{m}^2$。截取的小长方形面积为 $2x \, \mathrm{m}^2$，剩余木板面积 $y = 10 - 2x$。
B
B
5. 黑、白两种颜色的棋子按如图所示的规律排列，观察图形，完成填空。
(1) 第 6 行白棋子有
(2) 第 $ n $ 行黑、白棋子共有 $ y $ 个，则 $ y $ 与 $ n $ 的关系式为
(1) 第 6 行白棋子有
6
个，黑棋子有11
个；(2) 第 $ n $ 行黑、白棋子共有 $ y $ 个，则 $ y $ 与 $ n $ 的关系式为
$ y = 3n - 1 $
。答案
5. (1) 6 11 (2) $ y = 3n - 1 $
解析
【分析】
我们可以先逐行统计前几行的白棋子、黑棋子数量，分别推导两类棋子的排列规律：首先观察白棋子，能发现第1行白棋子1个，第2行白棋子2个，第3行白棋子3个，第4行白棋子4个，白棋子数量和行数相等；再观察黑棋子，第1行黑棋子1个，第2行黑棋子3个，第3行黑棋子5个，第4行黑棋子7个，黑棋子是连续递增的奇数，对应规律也很容易总结。得到两个规律后，代入n=6就能算出第6行的黑白棋子数，把每行黑白棋子数相加就能得到总数量y和n的关系式。
【解析】
1. 推导白棋子规律：
观察前4行可得，第n行的白棋子数量等于行数n，因此当n=6时，第6行白棋子数量为6。
2. 推导黑棋子规律：
第1行黑棋子数：$1=2×1-1$
第2行黑棋子数：$3=2×2-1$
第3行黑棋子数：$5=2×3-1$
第4行黑棋子数：$7=2×4-1$
总结得第n行黑棋子数量为$2n-1$，代入n=6，得黑棋子数为$2×6-1=11$。
3. 推导y与n的关系式：
第n行黑白棋子总数y = 白棋子数 + 黑棋子数，代入两个规律可得：
$y = n + (2n-1) = 3n-1$
【答案】
(1) 6 11 (2) $ y = 3n - 1 $
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题是非常典型的图形规律基础题，解题的核心是把黑白棋子分开统计规律，仅通过枚举前4行的数量就能快速总结通用结论，计算量很小，只要不混淆两类棋子的计数规律，就能顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.8
我们可以先逐行统计前几行的白棋子、黑棋子数量，分别推导两类棋子的排列规律：首先观察白棋子，能发现第1行白棋子1个，第2行白棋子2个，第3行白棋子3个，第4行白棋子4个，白棋子数量和行数相等；再观察黑棋子，第1行黑棋子1个，第2行黑棋子3个，第3行黑棋子5个，第4行黑棋子7个，黑棋子是连续递增的奇数，对应规律也很容易总结。得到两个规律后，代入n=6就能算出第6行的黑白棋子数，把每行黑白棋子数相加就能得到总数量y和n的关系式。
【解析】
1. 推导白棋子规律：
观察前4行可得，第n行的白棋子数量等于行数n，因此当n=6时，第6行白棋子数量为6。
2. 推导黑棋子规律：
第1行黑棋子数：$1=2×1-1$
第2行黑棋子数：$3=2×2-1$
第3行黑棋子数：$5=2×3-1$
第4行黑棋子数：$7=2×4-1$
总结得第n行黑棋子数量为$2n-1$，代入n=6，得黑棋子数为$2×6-1=11$。
3. 推导y与n的关系式：
第n行黑白棋子总数y = 白棋子数 + 黑棋子数，代入两个规律可得：
$y = n + (2n-1) = 3n-1$
【答案】
(1) 6 11 (2) $ y = 3n - 1 $
【知识点】
图形规律探究，代数式表示规律
【点评】
本题是非常典型的图形规律基础题，解题的核心是把黑白棋子分开统计规律，仅通过枚举前4行的数量就能快速总结通用结论，计算量很小，只要不混淆两类棋子的计数规律，就能顺利得到正确结果。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ BC $ 边上的高是定值。当三角形的顶点 $ C $ 沿底边所在直线由点 $ B $ 向右运动时，三角形的面积随之发生变化。设底边长 $ BC = x $ cm，$ △ ABC $ 的面积为 $ y $ $ cm^{2} $，变化情况如下表所示：
(1) 在这个变化过程中，自变量是
(2) 由上表可知，$ BC $ 边上的高为
(3) $ y $ 与 $ x $ 的关系式可以表示为
(4) 当底边长由 3 cm 变化到 12 cm 时，三角形的面积从
(1) 在这个变化过程中，自变量是
底边长 $ x $
，因变量是三角形面积 $ y $
；(2) 由上表可知，$ BC $ 边上的高为
6
cm；(3) $ y $ 与 $ x $ 的关系式可以表示为
$ y = 3x $
；(4) 当底边长由 3 cm 变化到 12 cm 时，三角形的面积从
9
$ cm^{2} $ 变化到36
$ cm^{2} $。答案
6. (1) 底边长 $ x $ 三角形面积 $ y $ (2) 6 (3) $ y = 3x $ (4) 9 36
解析
【分析】
我们可以按照小问的顺序逐步梳理思路：首先第一问，根据自变量和因变量的定义，主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而被动变化的量是因变量，结合题干描述“顶点C运动时BC边长x变化，面积y随之变化”就能直接判断。第二问利用三角形面积的通用公式，随便选取表格中一组对应的x、y数值代入，就能反推出BC边上的定值高。第三问把求出的高代入面积公式，整理后就能得到y和x的关系式。第四问只需要把x=3和x=12分别代入得到的关系式，就能算出对应的两个面积值，得到面积的变化范围。
【解析】
(1) 在这个变化过程中，底边长$x$是主动随点C运动发生改变的量，三角形面积$y$会随着$x$的变化而同步变化，因此自变量是底边长$x$，因变量是三角形面积$y$。
(2) 设BC边上的高为$h\ \mathrm{cm}$，根据三角形面积公式$y=\frac{1}{2}× x× h$，代入任意一组表格中对应的$x、y$值，例如取$x=2$时$y=6$，代入得$6=\frac{1}{2}×2× h$，解得$h=6$，即BC边上的高为$6\ \mathrm{cm}$。
(3) 将$h=6$代入面积公式，可得$y=\frac{1}{2}× x×6=3x$，因此$y$与$x$的关系式为$y=3x$。
(4) 把$x=3\ \mathrm{cm}$代入$y=3x$，得$y=3×3=9\ \mathrm{cm}^2$；把$x=12\ \mathrm{cm}$代入$y=3x$，得$y=3×12=36\ \mathrm{cm}^2$，因此三角形的面积从$9\ \mathrm{cm}^2$变化到$36\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 底边长 $ x $ 三角形面积 $ y $ (2) 6 (3) $ y = 3x $ (4) 9 36
【知识点】
自变量与因变量，三角形面积公式，一次函数基础
【点评】
本题属于变量与函数章节的基础应用题，结合三角形面积公式考察了变量的基本概念、简单函数关系式推导和代入求值，整体考点非常基础，只要理解变量的依赖关系、牢记三角形面积公式就可以顺利完成所有小问。
【难度系数】
0.9
我们可以按照小问的顺序逐步梳理思路：首先第一问，根据自变量和因变量的定义，主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而被动变化的量是因变量，结合题干描述“顶点C运动时BC边长x变化，面积y随之变化”就能直接判断。第二问利用三角形面积的通用公式，随便选取表格中一组对应的x、y数值代入，就能反推出BC边上的定值高。第三问把求出的高代入面积公式，整理后就能得到y和x的关系式。第四问只需要把x=3和x=12分别代入得到的关系式，就能算出对应的两个面积值，得到面积的变化范围。
【解析】
(1) 在这个变化过程中，底边长$x$是主动随点C运动发生改变的量，三角形面积$y$会随着$x$的变化而同步变化，因此自变量是底边长$x$，因变量是三角形面积$y$。
(2) 设BC边上的高为$h\ \mathrm{cm}$，根据三角形面积公式$y=\frac{1}{2}× x× h$，代入任意一组表格中对应的$x、y$值，例如取$x=2$时$y=6$，代入得$6=\frac{1}{2}×2× h$，解得$h=6$，即BC边上的高为$6\ \mathrm{cm}$。
(3) 将$h=6$代入面积公式，可得$y=\frac{1}{2}× x×6=3x$，因此$y$与$x$的关系式为$y=3x$。
(4) 把$x=3\ \mathrm{cm}$代入$y=3x$，得$y=3×3=9\ \mathrm{cm}^2$；把$x=12\ \mathrm{cm}$代入$y=3x$，得$y=3×12=36\ \mathrm{cm}^2$，因此三角形的面积从$9\ \mathrm{cm}^2$变化到$36\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 底边长 $ x $ 三角形面积 $ y $ (2) 6 (3) $ y = 3x $ (4) 9 36
【知识点】
自变量与因变量，三角形面积公式，一次函数基础
【点评】
本题属于变量与函数章节的基础应用题，结合三角形面积公式考察了变量的基本概念、简单函数关系式推导和代入求值，整体考点非常基础，只要理解变量的依赖关系、牢记三角形面积公式就可以顺利完成所有小问。
【难度系数】
0.9
7. 按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，1 张餐桌摆 6 把椅子，2 张餐桌摆 10 把椅子，3 张餐桌摆 14 把椅子……其中餐桌的数量用 $ x $（张）表示，椅子的数量用 $ y $（把）表示，椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化。
(1) 题中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2) 请写出椅子的数量 $ y $（把）和餐桌的数量 $ x $（张）之间的关系式；
(3) 按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐 80 人？请说明理由。
(1) 题中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2) 请写出椅子的数量 $ y $（把）和餐桌的数量 $ x $（张）之间的关系式；
(3) 按如图所示的方式摆放餐桌和椅子，能否刚好坐 80 人？请说明理由。
答案
7. 解：(1) 题中反映了餐桌的数量 $ x $ 和椅子的数量 $ y $ 之间的关系，其中餐桌的数量 $ x $ 是自变量，椅子的数量 $ y $ 是因变量。
(2) 当 $ x = 1 $ 时，$ y = 4 + 2 = 6 $；当 $ x = 2 $ 时，$ y = 8 + 2 = 10 $；当 $ x = 3 $ 时，$ y = 12 + 2 = 14 ··· ··· $
所以椅子的数量 $ y $ 和餐桌的数量 $ x $ 之间的关系式为 $ y = 4x + 2 $。
(3) 不能刚好坐 80 人。理由如下：
将 $ y = 80 $ 代入 $ y = 4x + 2 $，得 $ 4x + 2 = 80 $，
解得 $ x = 19.5 $。
因为餐桌的数量是整数，而 19.5 不是整数，所以不能刚好坐 80 人。
(2) 当 $ x = 1 $ 时，$ y = 4 + 2 = 6 $；当 $ x = 2 $ 时，$ y = 8 + 2 = 10 $；当 $ x = 3 $ 时，$ y = 12 + 2 = 14 ··· ··· $
所以椅子的数量 $ y $ 和餐桌的数量 $ x $ 之间的关系式为 $ y = 4x + 2 $。
(3) 不能刚好坐 80 人。理由如下：
将 $ y = 80 $ 代入 $ y = 4x + 2 $，得 $ 4x + 2 = 80 $，
解得 $ x = 19.5 $。
因为餐桌的数量是整数，而 19.5 不是整数，所以不能刚好坐 80 人。
解析
【分析】
首先明确解题的三步思路：第一问根据变量的定义，从题干“椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化”的描述，直接找出两个相关联的变化量，主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量。第二问观察给出的对应数值：1张桌6把椅，2张桌10把椅，3张桌14把椅，可发现每多1张餐桌，椅子就多4把，左右两端始终固定有2把椅子，由此归纳得到椅子数和餐桌数的关系式。第三问假设刚好坐80人，将y=80代入得到的关系式求解x，判断解是否为正整数，由于餐桌数量必须是正整数，若解不是整数就说明无法刚好坐80人。
【解析】
(1) 由题意可知，题中存在两个相关联的变化量：餐桌的数量x和椅子的数量y，椅子的数量会随着餐桌数量的改变而改变，因此餐桌的数量x是自变量，椅子的数量y是因变量。
(2) 观察已知对应关系：
当x=1时，y=6=4×1+2；
当x=2时，y=10=4×2+2；
当x=3时，y=14=4×3+2；
每增加1张餐桌，椅子数量增加4，两端固定的椅子总数为2，因此椅子数量y和餐桌数量x的关系式为：y=4x+2（x为正整数）。
(3) 不能刚好坐80人，理由如下：
将y=80代入关系式y=4x+2，可得方程：
$4x + 2 = 80$
解得$x=19.5$
由于餐桌的数量必须是正整数，19.5不是整数，不符合实际摆放的要求，因此不能刚好坐80人。
【答案】
(1) 题中反映了餐桌的数量 $ x $ 和椅子的数量 $ y $ 之间的关系，其中餐桌的数量 $ x $ 是自变量，椅子的数量 $ y $ 是因变量。
(2) 椅子的数量 $ y $ 和餐桌的数量 $ x $ 之间的关系式为 $ y = 4x + 2 $。
(3) 不能刚好坐80人，理由：将 $ y = 80 $ 代入 $ y = 4x + 2 $，解得 $ x = 19.5 $，餐桌的数量必须是正整数，19.5不是整数，不符合实际意义，因此不能刚好坐80人。
【知识点】
自变量与因变量，一次函数应用，规律探究
【点评】
本题是结合生活场景的基础函数探究题，重点考察学生对变量基本概念的理解，以及从给定数据中归纳数量规律的能力，解题时需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实约束，不能忽略餐桌数量必须为正整数的隐含条件。
【难度系数】
0.8
首先明确解题的三步思路：第一问根据变量的定义，从题干“椅子的数量随着餐桌数量的变化而变化”的描述，直接找出两个相关联的变化量，主动发生变化的量是自变量，随自变量变化而变化的量是因变量。第二问观察给出的对应数值：1张桌6把椅，2张桌10把椅，3张桌14把椅，可发现每多1张餐桌，椅子就多4把，左右两端始终固定有2把椅子，由此归纳得到椅子数和餐桌数的关系式。第三问假设刚好坐80人，将y=80代入得到的关系式求解x，判断解是否为正整数，由于餐桌数量必须是正整数，若解不是整数就说明无法刚好坐80人。
【解析】
(1) 由题意可知，题中存在两个相关联的变化量：餐桌的数量x和椅子的数量y，椅子的数量会随着餐桌数量的改变而改变，因此餐桌的数量x是自变量，椅子的数量y是因变量。
(2) 观察已知对应关系：
当x=1时，y=6=4×1+2；
当x=2时，y=10=4×2+2；
当x=3时，y=14=4×3+2；
每增加1张餐桌，椅子数量增加4，两端固定的椅子总数为2，因此椅子数量y和餐桌数量x的关系式为：y=4x+2（x为正整数）。
(3) 不能刚好坐80人，理由如下：
将y=80代入关系式y=4x+2，可得方程：
$4x + 2 = 80$
解得$x=19.5$
由于餐桌的数量必须是正整数，19.5不是整数，不符合实际摆放的要求，因此不能刚好坐80人。
【答案】
(1) 题中反映了餐桌的数量 $ x $ 和椅子的数量 $ y $ 之间的关系，其中餐桌的数量 $ x $ 是自变量，椅子的数量 $ y $ 是因变量。
(2) 椅子的数量 $ y $ 和餐桌的数量 $ x $ 之间的关系式为 $ y = 4x + 2 $。
(3) 不能刚好坐80人，理由：将 $ y = 80 $ 代入 $ y = 4x + 2 $，解得 $ x = 19.5 $，餐桌的数量必须是正整数，19.5不是整数，不符合实际意义，因此不能刚好坐80人。
【知识点】
自变量与因变量，一次函数应用，规律探究
【点评】
本题是结合生活场景的基础函数探究题，重点考察学生对变量基本概念的理解，以及从给定数据中归纳数量规律的能力，解题时需要注意实际问题中自变量的取值要符合现实约束，不能忽略餐桌数量必须为正整数的隐含条件。
【难度系数】
0.8
