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1. 小思和小博在解方程 $2x^{2}+4x+1=0$ 时，
对方程进行配方，图1是小思的解法，图2
是小博的解法，对于两人的解法，说法正确
的是（
A.两人都正确
B.小思正确，小博不正确
C.小思不正确，小博正确
D.两人都不正确
对方程进行配方，图1是小思的解法，图2
是小博的解法，对于两人的解法，说法正确
的是（
A
）A.两人都正确
B.小思正确，小博不正确
C.小思不正确，小博正确
D.两人都不正确
答案
A
解析
【分析】要判断两人的配方是否正确，需明确一元二次方程配方法的核心：将方程转化为完全平方形式，常见两种操作：一是先将二次项系数化为1，再在两边加上一次项系数一半的平方；二是直接对二次式整体配成完全平方（两边乘以系数后配方）。分别验证小思和小博的步骤即可得出结论。
【解析】小思的解法：原方程$2x^2 +4x=-1$，两边同时除以2，得$x^2 +2x=-\frac{1}{2}$；配方时，一次项系数为2，其一半的平方为$1^2=1$，两边同时加1，得$x^2+2x+1=-\frac{1}{2}+1$，即$(x+1)^2=\frac{1}{2}$，步骤正确。小博的解法：原方程两边同时乘以2，得$4x^2+8x=-2$；配方时，$4x^2+8x=(2x)^2 +2·2x·2$，需加$2^2=4$，两边同时加4，得$4x^2+8x+4=-2+4$，即$(2x+2)^2=2$，步骤正确。因此两人的解法都正确。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的配方法
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，两种不同的配方思路均符合配方法的本质，需掌握配方法的核心操作，避免错误。
【难度系数】0.7
【解析】小思的解法：原方程$2x^2 +4x=-1$，两边同时除以2，得$x^2 +2x=-\frac{1}{2}$；配方时，一次项系数为2，其一半的平方为$1^2=1$，两边同时加1，得$x^2+2x+1=-\frac{1}{2}+1$，即$(x+1)^2=\frac{1}{2}$，步骤正确。小博的解法：原方程两边同时乘以2，得$4x^2+8x=-2$；配方时，$4x^2+8x=(2x)^2 +2·2x·2$，需加$2^2=4$，两边同时加4，得$4x^2+8x+4=-2+4$，即$(2x+2)^2=2$，步骤正确。因此两人的解法都正确。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的配方法
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，两种不同的配方思路均符合配方法的本质，需掌握配方法的核心操作，避免错误。
【难度系数】0.7
2. 使得$2x^{2}+12x+m=2(x+3)^{2}-1$成立的$m$的值是
17
.答案
17
解析
【分析】要使两个关于x的二次式相等，可将右边的完全平方式展开，合并同类项后，根据代数式恒等的性质，对应项的系数相等，从而求出m的值。
【解析】先将等式右边的式子展开：
$2(x+3)^2 -1 = 2(x^2 + 6x + 9) -1 = 2x^2 +12x +18 -1 = 2x^2 +12x +17$
因为等式左边为$2x^2 +12x +m$，左右两边二次式相等，所以常数项相等，即$m=17$。
【答案】17
【知识点】完全平方公式，代数式恒等变形
【点评】本题考查完全平方公式的应用及代数式恒等的性质，解题关键是正确展开完全平方式，对应常数项即可求出m，属于基础题。
【难度系数】0.8
【解析】先将等式右边的式子展开：
$2(x+3)^2 -1 = 2(x^2 + 6x + 9) -1 = 2x^2 +12x +18 -1 = 2x^2 +12x +17$
因为等式左边为$2x^2 +12x +m$，左右两边二次式相等，所以常数项相等，即$m=17$。
【答案】17
【知识点】完全平方公式，代数式恒等变形
【点评】本题考查完全平方公式的应用及代数式恒等的性质，解题关键是正确展开完全平方式，对应常数项即可求出m，属于基础题。
【难度系数】0.8
3. 若代数式 $mx^{2}+2(3-2m)x+1(m ≠ 0)$ 是关于 $x$ 的完全平方式，则 $m$ 的值为
1或$\frac{9}{4}$
.答案
1或$\frac{9}{4}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确二次三项式为完全平方式的条件：对于二次三项式$ax^2+bx+c(a≠0)$，若它是关于$x$的完全平方式，则其判别式$\Delta = b^2 -4ac = 0$。接下来将题目中的代数式对应到该形式，代入判别式公式计算，即可求出$m$的值，同时注意题目中$m≠0$的限制条件。
【解析】
已知代数式$mx^2 + 2(3-2m)x +1(m≠0)$是关于$x$的完全平方式，根据完全平方式的判别条件，其判别式$\Delta = b^2 -4ac =0$，其中$a=m$，$b=2(3-2m)$，$c=1$，代入得：
$[2(3-2m)]^2 - 4 · m · 1 = 0$
展开并化简：
$4(9 -12m +4m^2) -4m =0 \\36 -48m +16m^2 -4m =0 \\16m^2 -52m +36 =0$
两边同时除以4，简化方程：
$4m^2 -13m +9 =0$
解该一元二次方程，因式分解得：
$(4m -9)(m -1)=0$
解得$m=1$或$m=\frac{9}{4}$，均满足$m≠0$的条件。
【答案】
1或$\frac{9}{4}$
【知识点】
完全平方式、一元二次方程的解法
【点评】
本题考查完全平方式的性质及一元二次方程的求解，核心是利用二次三项式为完全平方式时判别式为0的条件，转化为一元二次方程计算，需注意计算过程中的符号和系数，避免出错。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先明确二次三项式为完全平方式的条件：对于二次三项式$ax^2+bx+c(a≠0)$，若它是关于$x$的完全平方式，则其判别式$\Delta = b^2 -4ac = 0$。接下来将题目中的代数式对应到该形式，代入判别式公式计算，即可求出$m$的值，同时注意题目中$m≠0$的限制条件。
【解析】
已知代数式$mx^2 + 2(3-2m)x +1(m≠0)$是关于$x$的完全平方式，根据完全平方式的判别条件，其判别式$\Delta = b^2 -4ac =0$，其中$a=m$，$b=2(3-2m)$，$c=1$，代入得：
$[2(3-2m)]^2 - 4 · m · 1 = 0$
展开并化简：
$4(9 -12m +4m^2) -4m =0 \\36 -48m +16m^2 -4m =0 \\16m^2 -52m +36 =0$
两边同时除以4，简化方程：
$4m^2 -13m +9 =0$
解该一元二次方程，因式分解得：
$(4m -9)(m -1)=0$
解得$m=1$或$m=\frac{9}{4}$，均满足$m≠0$的条件。
【答案】
1或$\frac{9}{4}$
【知识点】
完全平方式、一元二次方程的解法
【点评】
本题考查完全平方式的性质及一元二次方程的求解，核心是利用二次三项式为完全平方式时判别式为0的条件，转化为一元二次方程计算，需注意计算过程中的符号和系数，避免出错。
【难度系数】
0.6
4. 运用配方法解决问题: 已知 $a^{2}-4ab+5b^{2}+$$c^{2}-6b-2c+10=0$, 则 $a+b+c=$
10
.答案
10 提示:因为$a^2-4ab+5b^2+c^2-6b-2c+10=0$,所以$(a-2b)^2+(b-3)^2+(c-1)^2=0$.又因为$(a-2b)^2≥0$,$(b-3)^2≥0$,$(c-1)^2≥0$,所以$a-2b=0$,$b-3=0$,$c-1=0$.所以$a=6$,$b=3$,$c=1$,所以$a+b+c=10$.
解析
【分析】要解决这个问题，需运用配方法将给定的等式转化为几个完全平方的和，利用完全平方数的非负性，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出a、b、c的值，进而计算a+b+c的结果。
【解析】对原式进行配方变形：
$a^2 -4ab +5b^2 +c^2 -6b -2c +10 =0$，
将$5b^2$拆分为$4b^2 +b^2$，常数项10拆分为$4+9+1$，整理得：
$(a^2 -4ab +4b^2) + (b^2 -6b +9) + (c^2 -2c +1) =0$，
即$(a-2b)^2 + (b-3)^2 + (c-1)^2 =0$。
因为平方数具有非负性，即$(a-2b)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，$(c-1)^2≥0$，
几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$a-2b=0$，$b-3=0$，$c-1=0$，
解得$b=3$，代入$a-2b=0$得$a=6$，$c=1$，
所以$a+b+c=6+3+1=10$。
【答案】10
【知识点】配方法、完全平方公式、非负数的性质
【点评】本题是配方法的典型应用，核心是通过代数变形构造完全平方，结合非负数的性质求解，属于初中代数的基础题型，需熟练掌握配方法的拆分技巧。
【难度系数】0.5
【解析】对原式进行配方变形：
$a^2 -4ab +5b^2 +c^2 -6b -2c +10 =0$，
将$5b^2$拆分为$4b^2 +b^2$，常数项10拆分为$4+9+1$，整理得：
$(a^2 -4ab +4b^2) + (b^2 -6b +9) + (c^2 -2c +1) =0$，
即$(a-2b)^2 + (b-3)^2 + (c-1)^2 =0$。
因为平方数具有非负性，即$(a-2b)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，$(c-1)^2≥0$，
几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此：
$a-2b=0$，$b-3=0$，$c-1=0$，
解得$b=3$，代入$a-2b=0$得$a=6$，$c=1$，
所以$a+b+c=6+3+1=10$。
【答案】10
【知识点】配方法、完全平方公式、非负数的性质
【点评】本题是配方法的典型应用，核心是通过代数变形构造完全平方，结合非负数的性质求解，属于初中代数的基础题型，需熟练掌握配方法的拆分技巧。
【难度系数】0.5
5. 用配方法解下列方程：
(1) $(2x+3)(x-6)=16$；
(2) $(2y+1)(2y-1)=2\sqrt{2}y.$
(1) $(2x+3)(x-6)=16$；
(2) $(2y+1)(2y-1)=2\sqrt{2}y.$
答案
解:(1) 原方程化为一般形式为$2x^2-9x-34=0$.二次项系数化为1,得$x^2-\frac{9}{2}x=17$.配方,得$x^2-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=17+\frac{81}{16}$,即$(x-\frac{9}{4})^2=\frac{353}{16}$.直接开平方,得$x-\frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$.所以$x_1=\frac{9+\sqrt{353}}{4}$,$x_2=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$.
(2) 整理,得$4y^2-2\sqrt{2}y=1$.二次项系数化为1,得$y^2-\frac{\sqrt{2}}{2}y=\frac{1}{4}$.配方,得$y^2-\frac{\sqrt{2}}{2}y+(\frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{1}{4}+(\frac{\sqrt{2}}{4})^2$,即$(y-\frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{3}{8}$.直接开平方,得$y-\frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{\sqrt{6}}{4}$.所以$y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$,$y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.
(2) 整理,得$4y^2-2\sqrt{2}y=1$.二次项系数化为1,得$y^2-\frac{\sqrt{2}}{2}y=\frac{1}{4}$.配方,得$y^2-\frac{\sqrt{2}}{2}y+(\frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{1}{4}+(\frac{\sqrt{2}}{4})^2$,即$(y-\frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{3}{8}$.直接开平方,得$y-\frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{\sqrt{6}}{4}$.所以$y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$,$y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方式后用直接开平方法求解，解题步骤为：①把原方程整理为一元二次方程的一般形式 $ax^2+bx+c=0$；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；③移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；④配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；⑤开平方求解，得到方程的根。
【解析】
(1) 原方程展开并整理为一般形式：
$(2x+3)(x-6)=16$，展开得 $2x^2 -12x +3x -18 =16$，合并同类项得 $2x^2 -9x -34=0$。
二次项系数化为1：两边同除以2，得 $x^2 - \frac{9}{2}x =17$。
配方：一次项系数为 $-\frac{9}{2}$，其一半的平方为 $(-\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，方程两边加 $\frac{81}{16}$，得：
$x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{81}{16}=17 + \frac{81}{16}$，即 $(x - \frac{9}{4})^2=\frac{353}{16}$。
直接开平方：$x - \frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$，解得 $x_1=\frac{9+\sqrt{353}}{4}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$。
(2) 原方程展开并整理：
$(2y+1)(2y-1)=2\sqrt{2}y$，利用平方差公式得 $4y^2 -1=2\sqrt{2}y$，移项得 $4y^2 -2\sqrt{2}y=1$。
二次项系数化为1：两边同除以4，得 $y^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}y=\frac{1}{4}$。
配方：一次项系数为 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$，其一半的平方为 $(-\frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$，方程两边加 $\frac{1}{8}$，得：
$y^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}y + \frac{1}{8}=\frac{1}{4} + \frac{1}{8}$，即 $(y - \frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{3}{8}$。
直接开平方：$y - \frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{\sqrt{6}}{4}$，解得 $y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，$y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{9+\sqrt{353}}{4}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$；(2) $y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，$y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程，需严格遵循配方法的操作步骤，重点注意配方时添加的常数项是一次项系数一半的平方，计算时要准确，避免符号和运算错误，是一元二次方程解法的基础题型。
【难度系数】
0.6
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方式后用直接开平方法求解，解题步骤为：①把原方程整理为一元二次方程的一般形式 $ax^2+bx+c=0$；②若二次项系数不为1，先将二次项系数化为1；③移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；④配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式；⑤开平方求解，得到方程的根。
【解析】
(1) 原方程展开并整理为一般形式：
$(2x+3)(x-6)=16$，展开得 $2x^2 -12x +3x -18 =16$，合并同类项得 $2x^2 -9x -34=0$。
二次项系数化为1：两边同除以2，得 $x^2 - \frac{9}{2}x =17$。
配方：一次项系数为 $-\frac{9}{2}$，其一半的平方为 $(-\frac{9}{4})^2=\frac{81}{16}$，方程两边加 $\frac{81}{16}$，得：
$x^2 - \frac{9}{2}x + \frac{81}{16}=17 + \frac{81}{16}$，即 $(x - \frac{9}{4})^2=\frac{353}{16}$。
直接开平方：$x - \frac{9}{4}=\pm\frac{\sqrt{353}}{4}$，解得 $x_1=\frac{9+\sqrt{353}}{4}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$。
(2) 原方程展开并整理：
$(2y+1)(2y-1)=2\sqrt{2}y$，利用平方差公式得 $4y^2 -1=2\sqrt{2}y$，移项得 $4y^2 -2\sqrt{2}y=1$。
二次项系数化为1：两边同除以4，得 $y^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}y=\frac{1}{4}$。
配方：一次项系数为 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$，其一半的平方为 $(-\frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$，方程两边加 $\frac{1}{8}$，得：
$y^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}y + \frac{1}{8}=\frac{1}{4} + \frac{1}{8}$，即 $(y - \frac{\sqrt{2}}{4})^2=\frac{3}{8}$。
直接开平方：$y - \frac{\sqrt{2}}{4}=\pm\frac{\sqrt{6}}{4}$，解得 $y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，$y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{9+\sqrt{353}}{4}$，$x_2=\frac{9-\sqrt{353}}{4}$；(2) $y_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$，$y_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程，需严格遵循配方法的操作步骤，重点注意配方时添加的常数项是一次项系数一半的平方，计算时要准确，避免符号和运算错误，是一元二次方程解法的基础题型。
【难度系数】
0.6
6. 试证明: 不论 $m$ 为何值, 关于 $x$ 的方程
$(3m^{2}+5m+3)x^{2}-(4m-1)x-7=0$
总为一元二次方程.
$(3m^{2}+5m+3)x^{2}-(4m-1)x-7=0$
总为一元二次方程.
答案
证明:$3m^2+5m+3=3(m^2+\frac{5}{3}m+\frac{25}{36}-\frac{25}{36})+3=3(m+\frac{5}{6})^2+\frac{11}{12}$.因为$(m+\frac{5}{6})^2≥0$,所以$3(m+\frac{5}{6})^2+\frac{11}{12}≥\frac{11}{12}＞0$.所以不论$m$为何值,关于$x$的方程$(3m^2+5m+3)x^2-(4m-1)x-7=0$总为一元二次方程.
解析
【分析】要证明关于$x$的方程是一元二次方程，需满足其二次项系数不为$0$，因此核心任务是证明二次项系数$3m^2 +5m +3$恒不为$0$。可通过配方法将二次式转化为“完全平方+正数”的形式，利用完全平方的非负性说明该式恒大于$0$，从而完成证明。
【解析】对二次项系数进行配方：
$\begin{aligned}3m^2 +5m +3&=3(m^2 +\frac{5}{3}m)+3\\&=3[(m^2 +\frac{5}{3}m +\frac{25}{36})-\frac{25}{36}]+3\\&=3(m+\frac{5}{6})^2 -3×\frac{25}{36}+3\\&=3(m+\frac{5}{6})^2 -\frac{25}{12}+\frac{36}{12}\\&=3(m+\frac{5}{6})^2 +\frac{11}{12}\end{aligned}$
因为$(m+\frac{5}{6})^2≥0$，所以$3(m+\frac{5}{6})^2≥0$，进而$3(m+\frac{5}{6})^2 +\frac{11}{12}≥\frac{11}{12}＞0$，即二次项系数恒大于$0$，不为$0$。因此，不论$m$为何值，方程$(3m^2 +5m +3)x^2-(4m-1)x-7=0$总为一元二次方程。
【答案】证明：$3m^2+5m+3=3(m^2+\frac{5}{3}m+\frac{25}{36}-\frac{25}{36})+3=3(m+\frac{5}{6})^2+\frac{11}{12}$。因为$(m+\frac{5}{6})^2≥0$，所以$3(m+\frac{5}{6})^2+\frac{11}{12}≥\frac{11}{12}＞0$。所以不论$m$为何值，关于$x$的方程$(3m^2+5m+3)x^2-(4m-1)x-7=0$总为一元二次方程。
【知识点】一元二次方程的定义、配方法的应用
【点评】本题是一元二次方程定义的基础应用，关键在于通过配方法证明二次项系数恒不为$0$，题型常规，注重代数变形能力的考查，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】对二次项系数进行配方：
$\begin{aligned}3m^2 +5m +3&=3(m^2 +\frac{5}{3}m)+3\\&=3[(m^2 +\frac{5}{3}m +\frac{25}{36})-\frac{25}{36}]+3\\&=3(m+\frac{5}{6})^2 -3×\frac{25}{36}+3\\&=3(m+\frac{5}{6})^2 -\frac{25}{12}+\frac{36}{12}\\&=3(m+\frac{5}{6})^2 +\frac{11}{12}\end{aligned}$
因为$(m+\frac{5}{6})^2≥0$，所以$3(m+\frac{5}{6})^2≥0$，进而$3(m+\frac{5}{6})^2 +\frac{11}{12}≥\frac{11}{12}＞0$，即二次项系数恒大于$0$，不为$0$。因此，不论$m$为何值，方程$(3m^2 +5m +3)x^2-(4m-1)x-7=0$总为一元二次方程。
【答案】证明：$3m^2+5m+3=3(m^2+\frac{5}{3}m+\frac{25}{36}-\frac{25}{36})+3=3(m+\frac{5}{6})^2+\frac{11}{12}$。因为$(m+\frac{5}{6})^2≥0$，所以$3(m+\frac{5}{6})^2+\frac{11}{12}≥\frac{11}{12}＞0$。所以不论$m$为何值，关于$x$的方程$(3m^2+5m+3)x^2-(4m-1)x-7=0$总为一元二次方程。
【知识点】一元二次方程的定义、配方法的应用
【点评】本题是一元二次方程定义的基础应用，关键在于通过配方法证明二次项系数恒不为$0$，题型常规，注重代数变形能力的考查，难度适中。
【难度系数】0.7
7. 先阅读下面的例题,再按要求解答问题.
例题:求代数式$y^{2}+4y+8$的最小值.
解:$y^{2}+4y+8=y^{2}+4y+4+4=(y+2)^{2}+$
4. 因为$(y+2)^{2} ≥ 0$,所以$(y+2)^{2}+4 ≥ 4$,所
以$y^{2}+4y+8$的最小值是 4.
(1) 求代数式$m^{2}+m+4$的最小值.
(2) 求代数式$4-x^{2}+2x$的最大值.
(3) 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个矩形花园ABCD,花园一边靠墙,另外三边用总长为 20 m 的栅栏围成. 如图,设 AB 的长为$x \ \mathrm{m}$. 请问:当$x$取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少?
例题:求代数式$y^{2}+4y+8$的最小值.
解:$y^{2}+4y+8=y^{2}+4y+4+4=(y+2)^{2}+$
4. 因为$(y+2)^{2} ≥ 0$,所以$(y+2)^{2}+4 ≥ 4$,所
以$y^{2}+4y+8$的最小值是 4.
(1) 求代数式$m^{2}+m+4$的最小值.
(2) 求代数式$4-x^{2}+2x$的最大值.
(3) 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个矩形花园ABCD,花园一边靠墙,另外三边用总长为 20 m 的栅栏围成. 如图,设 AB 的长为$x \ \mathrm{m}$. 请问:当$x$取何值时,花园的面积最大?最大面积是多少?
答案
解:(1)$m^2+m+4=(m+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}$.因为$(m+\frac{1}{2})^2≥0$,所以$(m+\frac{1}{2})^2+\frac{15}{4}≥\frac{15}{4}$,所以$m^2+m+4$的最小值是$\frac{15}{4}$.
(2)$4-x^2+2x=-(x-1)^2+5$.因为$-(x-1)^2≤0$,所以$-(x-1)^2+5≤5$,所以$4-x^2+2x$的最大值为5.
(3) 由题意,得花园的面积是$x(20-2x)=-2x^2+20x$.因为$-2x^2+20x=-2(x-5)^2+50$,且$-2(x-5)^2+50≤50$,所以$-2x^2+20x$的最大值是50.此时$x=5$,即当$x=5$时,花园的面积最大,最大面积是$50\ \mathrm{m^2}$.
(2)$4-x^2+2x=-(x-1)^2+5$.因为$-(x-1)^2≤0$,所以$-(x-1)^2+5≤5$,所以$4-x^2+2x$的最大值为5.
(3) 由题意,得花园的面积是$x(20-2x)=-2x^2+20x$.因为$-2x^2+20x=-2(x-5)^2+50$,且$-2(x-5)^2+50≤50$,所以$-2x^2+20x$的最大值是50.此时$x=5$,即当$x=5$时,花园的面积最大,最大面积是$50\ \mathrm{m^2}$.
解析
【分析】
本题核心是利用配方法求代数式的最值，思路是将二次多项式配方为“完全平方式+常数”的形式，再根据平方的非负性（任意实数的平方≥0）确定代数式的最值；对于实际问题，需结合题意确定自变量的取值范围，再结合二次函数性质求解。
【解析】
(1) 对$m^2+m+4$配方：
$m^2+m+4 = m^2 + m + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 4 = (m+\frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}$。
因为$(m+\frac{1}{2})^2 ≥ 0$，所以$(m+\frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4} ≥ \frac{15}{4}$，故$m^2+m+4$的最小值为$\frac{15}{4}$。
(2) 对$4-x^2+2x$配方：
$4-x^2+2x = -x^2 + 2x + 4 = -(x^2 - 2x) + 4 = -(x^2 - 2x +1 -1) +4 = -(x-1)^2 +5$。
因为$-(x-1)^2 ≤0$，所以$-(x-1)^2 +5 ≤5$，故$4-x^2+2x$的最大值为$5$。
(3) 设$AB=x \ \mathrm{m}$，则$BC=(20-2x) \ \mathrm{m}$，花园面积$S=x(20-2x)=-2x^2+20x$。
对面积配方：
$-2x^2+20x = -2(x^2-10x) = -2[(x-5)^2 -25] = -2(x-5)^2 +50$。
结合墙长15m，得$20-2x ≤15$，即$x≥2.5$；且边长为正，$20-2x＞0$即$x＜10$，故$x$范围为$2.5≤ x＜10$。
因为$-2(x-5)^2 ≤0$，所以$-2(x-5)^2 +50 ≤50$，当$x=5$时满足范围，此时面积最大为$50 \ \mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $\frac{15}{4}$；(2) $5$；(3) 当$x=5$时，花园面积最大，最大面积为$50 \ \mathrm{m^2}$
【知识点】
配方法求最值，二次函数的最值，实际问题中的二次函数应用
【点评】
本题通过配方法转化二次式，利用平方非负性求最值，第三问结合实际限制确定自变量范围，考查配方法和二次函数最值的应用，是初中数学常考题型，需注意实际问题中自变量的取值合理性。
【难度系数】
0.6
本题核心是利用配方法求代数式的最值，思路是将二次多项式配方为“完全平方式+常数”的形式，再根据平方的非负性（任意实数的平方≥0）确定代数式的最值；对于实际问题，需结合题意确定自变量的取值范围，再结合二次函数性质求解。
【解析】
(1) 对$m^2+m+4$配方：
$m^2+m+4 = m^2 + m + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 4 = (m+\frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4}$。
因为$(m+\frac{1}{2})^2 ≥ 0$，所以$(m+\frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4} ≥ \frac{15}{4}$，故$m^2+m+4$的最小值为$\frac{15}{4}$。
(2) 对$4-x^2+2x$配方：
$4-x^2+2x = -x^2 + 2x + 4 = -(x^2 - 2x) + 4 = -(x^2 - 2x +1 -1) +4 = -(x-1)^2 +5$。
因为$-(x-1)^2 ≤0$，所以$-(x-1)^2 +5 ≤5$，故$4-x^2+2x$的最大值为$5$。
(3) 设$AB=x \ \mathrm{m}$，则$BC=(20-2x) \ \mathrm{m}$，花园面积$S=x(20-2x)=-2x^2+20x$。
对面积配方：
$-2x^2+20x = -2(x^2-10x) = -2[(x-5)^2 -25] = -2(x-5)^2 +50$。
结合墙长15m，得$20-2x ≤15$，即$x≥2.5$；且边长为正，$20-2x＞0$即$x＜10$，故$x$范围为$2.5≤ x＜10$。
因为$-2(x-5)^2 ≤0$，所以$-2(x-5)^2 +50 ≤50$，当$x=5$时满足范围，此时面积最大为$50 \ \mathrm{m^2}$。
【答案】
(1) $\frac{15}{4}$；(2) $5$；(3) 当$x=5$时，花园面积最大，最大面积为$50 \ \mathrm{m^2}$
【知识点】
配方法求最值，二次函数的最值，实际问题中的二次函数应用
【点评】
本题通过配方法转化二次式，利用平方非负性求最值，第三问结合实际限制确定自变量范围，考查配方法和二次函数最值的应用，是初中数学常考题型，需注意实际问题中自变量的取值合理性。
【难度系数】
0.6
