登录
1. (2024 无锡市宜兴市期中)一元二次方程
$x^{2}=x$的解是（
A.$x_{1}=x_{2}=1$
B.$x_{1}=1,x_{2}=0$
C.$x_{1}=x_{2}=0$
D.$x_{1}=-1,x_{2}=0$
$x^{2}=x$的解是（
B
）A.$x_{1}=x_{2}=1$
B.$x_{1}=1,x_{2}=0$
C.$x_{1}=x_{2}=0$
D.$x_{1}=-1,x_{2}=0$
答案
B
解析
【分析】解一元二次方程时，不能直接在方程两边除以含未知数的项（本题中为x），否则会丢失x=0这个根。正确思路是先移项将所有项移到等号左侧，再用因式分解法求解，确保得到方程的全部根。
【解析】解：移项，得$x^2 - x = 0$，
因式分解，得$x(x - 1) = 0$，
则$x = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 1$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的解法（因式分解法）、一元二次方程的解
【点评】本题是一元二次方程的基础题型，主要考察因式分解法解一元二次方程，解题时需注意避免直接除以含未知数的项导致漏根，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.8
【解析】解：移项，得$x^2 - x = 0$，
因式分解，得$x(x - 1) = 0$，
则$x = 0$或$x - 1 = 0$，
解得$x_1 = 0$，$x_2 = 1$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的解法（因式分解法）、一元二次方程的解
【点评】本题是一元二次方程的基础题型，主要考察因式分解法解一元二次方程，解题时需注意避免直接除以含未知数的项导致漏根，属于易得分的基础题。
【难度系数】0.8
2. 下列方程能用因式分解法解的有 （
①$x^{2}-x=0$；②$x^{2}-x+1=0$；③$x^{2}-2x+$$2=0$；④$(3x+2)^{2}-16=0$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①$x^{2}-x=0$；②$x^{2}-x+1=0$；③$x^{2}-2x+$$2=0$；④$(3x+2)^{2}-16=0$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
要判断一元二次方程能否用因式分解法求解，需明确：因式分解法的核心是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，这样可令每个因式为0得到解。接下来逐个分析4个方程：
1. 方程①$x^2 - x = 0$：可提取公因式$x$，转化为$x(x-1)=0$，满足因式分解的形式，可用；
2. 方程②$x^2 - x +1=0$：计算判别式$\Delta=(-1)^2 -4×1×1=-3＜0$，实数范围内无法分解为两个一次因式的乘积，不可用；
3. 方程③$x^2 -2x +2=0$：判别式$\Delta=(-2)^2 -4×1×2=-4＜0$，实数范围内无法分解，不可用；
4. 方程④$(3x+2)^2 -16=0$：符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，分解为$(3x+2-4)(3x+2+4)=0$，满足因式分解形式，可用；
综上，能用因式分解法的是①和④，共2个。
【解析】
解：因式分解法解一元二次方程的关键是将方程转化为$A·B=0$（$A、B$为一次式）的形式，逐一分析各方程：
1. 方程①$x^2 -x=0$，提取公因式得$x(x-1)=0$，符合要求，可用因式分解法；
2. 方程②$x^2 -x+1=0$，判别式$\Delta=(-1)^2 -4×1×1=-3＜0$，实数范围内无法因式分解，不可用；
3. 方程③$x^2 -2x+2=0$，判别式$\Delta=(-2)^2 -4×1×2=-4＜0$，实数范围内无法因式分解，不可用；
4. 方程④$(3x+2)^2 -16=0$，利用平方差公式分解得$(3x+2-4)(3x+2+4)=0$，即$(3x-2)(3x+6)=0$，符合要求，可用因式分解法；
因此能用因式分解法的方程共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的因式分解法、平方差公式、提公因式法
【点评】
本题考查一元二次方程因式分解法的适用条件，需掌握因式分解的基本方法及判别式的意义，属于基础题型，需仔细分析每个方程的可分解性。
【难度系数】
0.6
要判断一元二次方程能否用因式分解法求解，需明确：因式分解法的核心是将方程转化为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，这样可令每个因式为0得到解。接下来逐个分析4个方程：
1. 方程①$x^2 - x = 0$：可提取公因式$x$，转化为$x(x-1)=0$，满足因式分解的形式，可用；
2. 方程②$x^2 - x +1=0$：计算判别式$\Delta=(-1)^2 -4×1×1=-3＜0$，实数范围内无法分解为两个一次因式的乘积，不可用；
3. 方程③$x^2 -2x +2=0$：判别式$\Delta=(-2)^2 -4×1×2=-4＜0$，实数范围内无法分解，不可用；
4. 方程④$(3x+2)^2 -16=0$：符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，分解为$(3x+2-4)(3x+2+4)=0$，满足因式分解形式，可用；
综上，能用因式分解法的是①和④，共2个。
【解析】
解：因式分解法解一元二次方程的关键是将方程转化为$A·B=0$（$A、B$为一次式）的形式，逐一分析各方程：
1. 方程①$x^2 -x=0$，提取公因式得$x(x-1)=0$，符合要求，可用因式分解法；
2. 方程②$x^2 -x+1=0$，判别式$\Delta=(-1)^2 -4×1×1=-3＜0$，实数范围内无法因式分解，不可用；
3. 方程③$x^2 -2x+2=0$，判别式$\Delta=(-2)^2 -4×1×2=-4＜0$，实数范围内无法因式分解，不可用；
4. 方程④$(3x+2)^2 -16=0$，利用平方差公式分解得$(3x+2-4)(3x+2+4)=0$，即$(3x-2)(3x+6)=0$，符合要求，可用因式分解法；
因此能用因式分解法的方程共2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的因式分解法、平方差公式、提公因式法
【点评】
本题考查一元二次方程因式分解法的适用条件，需掌握因式分解的基本方法及判别式的意义，属于基础题型，需仔细分析每个方程的可分解性。
【难度系数】
0.6
3. 关于$x$的一元二次方程$(2x-3)(x+1)=0$的根为（
A.$x_{1}=\dfrac{3}{2},x_{2}=1$
B.$x_{1}=-\dfrac{3}{2},x_{2}=1$
C.$x_{1}=\dfrac{3}{2},x_{2}=-1$
D.$x_{1}=-\dfrac{3}{2},x_{2}=-1$
C
）A.$x_{1}=\dfrac{3}{2},x_{2}=1$
B.$x_{1}=-\dfrac{3}{2},x_{2}=1$
C.$x_{1}=\dfrac{3}{2},x_{2}=-1$
D.$x_{1}=-\dfrac{3}{2},x_{2}=-1$
答案
C
解析
【分析】
要解这个一元二次方程，可利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解后对应选项选出正确答案。
【解析】
对于方程$(2x-3)(x+1)=0$，根据“乘积为0的性质”，可得：
$2x - 3 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
解第一个方程：$2x - 3 = 0$，移项得$2x = 3$，解得$x = \dfrac{3}{2}$；
解第二个方程：$x + 1 = 0$，移项得$x = -1$；
因此方程的根为$x_1 = \dfrac{3}{2}, x_2 = -1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元一次方程的求解
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础题，核心考察因式分解法解一元二次方程的基本原理，只要掌握“乘积为0则至少一个因式为0”的知识点，即可快速得出正确结果，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
要解这个一元二次方程，可利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解后对应选项选出正确答案。
【解析】
对于方程$(2x-3)(x+1)=0$，根据“乘积为0的性质”，可得：
$2x - 3 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
解第一个方程：$2x - 3 = 0$，移项得$2x = 3$，解得$x = \dfrac{3}{2}$；
解第二个方程：$x + 1 = 0$，移项得$x = -1$；
因此方程的根为$x_1 = \dfrac{3}{2}, x_2 = -1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元一次方程的求解
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础题，核心考察因式分解法解一元二次方程的基本原理，只要掌握“乘积为0则至少一个因式为0”的知识点，即可快速得出正确结果，属于易得分题。
【难度系数】
0.8
4. 已知$(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-3)=18$,则$x^{2}+$$y^{2}=$
6
.答案
6 提示:原方程变形,可得$(x^{2}+y^{2})^{2}-3(x^{2}+y^{2})-18=0,(x^{2}+y^{2}+3)(x^{2}+y^{2}-6)=0$,所以$x^{2}+y^{2}+3=0$或$x^{2}+y^{2}-6=0$,所以$x^{2}+y^{2}=-3$或$x^{2}+y^{2}=6$. 因为无论x,y为何值,$x^{2}+y^{2}$不能为负数,所以$x^{2}+y^{2}=6.$
解析
【分析】这道题中$x^2+y^2$重复出现，可采用换元法简化计算：设$t=x^2+y^2$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程，解出$t$的值后，结合平方的非负性（$x^2$、$y^2$均为非负数，故它们的和$t≥0$），舍去不符合条件的解，即可得到结果。
【解析】设$t = x^2 + y^2$，因为$x^2 ≥ 0$，$y^2 ≥ 0$，所以$t ≥ 0$。
原方程变形为：$t(t - 3) = 18$，
展开整理得：$t^2 - 3t - 18 = 0$，
因式分解得：$(t + 3)(t - 6) = 0$，
解得$t = -3$或$t = 6$。
由于$t ≥ 0$，所以舍去$t = -3$，因此$t = 6$，即$x^2 + y^2 = 6$。
【答案】6
【知识点】换元法解一元二次方程，平方的非负性
【点评】本题通过换元法将复杂方程转化为简单的一元二次方程，结合平方的非负性筛选合理解，是代数中常用的解题技巧，属于基础题型，重点考查学生的换元思想和对平方性质的理解。
【难度系数】0.6
【解析】设$t = x^2 + y^2$，因为$x^2 ≥ 0$，$y^2 ≥ 0$，所以$t ≥ 0$。
原方程变形为：$t(t - 3) = 18$，
展开整理得：$t^2 - 3t - 18 = 0$，
因式分解得：$(t + 3)(t - 6) = 0$，
解得$t = -3$或$t = 6$。
由于$t ≥ 0$，所以舍去$t = -3$，因此$t = 6$，即$x^2 + y^2 = 6$。
【答案】6
【知识点】换元法解一元二次方程，平方的非负性
【点评】本题通过换元法将复杂方程转化为简单的一元二次方程，结合平方的非负性筛选合理解，是代数中常用的解题技巧，属于基础题型，重点考查学生的换元思想和对平方性质的理解。
【难度系数】0.6
5. 若$(x-2)(2x+1)=0$，则$2x+1$的值为
5或0
。答案
5或0
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的零乘积性质，分两种情况讨论方程的解，再代入计算$2x+1$的值，注意避免漏解。
【解析】
已知$(x-2)(2x+1)=0$，根据零乘积性质，分两种情况：
1. 当$x-2=0$时，解得$x=2$，此时$2x+1=2×2+1=5$；
2. 当$2x+1=0$时，$2x+1$的值直接为0。
综上，$2x+1$的值为5或0。
【答案】
5或0
【知识点】
零乘积性质、一元二次方程的解、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考察零乘积性质的应用，需注意分情况讨论，避免漏解，可帮助巩固一元二次方程的基础解法。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的零乘积性质，分两种情况讨论方程的解，再代入计算$2x+1$的值，注意避免漏解。
【解析】
已知$(x-2)(2x+1)=0$，根据零乘积性质，分两种情况：
1. 当$x-2=0$时，解得$x=2$，此时$2x+1=2×2+1=5$；
2. 当$2x+1=0$时，$2x+1$的值直接为0。
综上，$2x+1$的值为5或0。
【答案】
5或0
【知识点】
零乘积性质、一元二次方程的解、代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考察零乘积性质的应用，需注意分情况讨论，避免漏解，可帮助巩固一元二次方程的基础解法。
【难度系数】
0.8
6. 已知直角三角形两条边的长是方程 $x^{2}-$$7x+12=0$ 的两个根，则这个直角三角形的面积为
6或$\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$
。答案
6或$\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$ 提示:解方程$x^{2}-7x+12=0$,得$x=3$或$x=4$. 当3和4同为直角边长时,三角形的面积为$\dfrac{1}{2}×3×4=6$;当3为直角边长,4为斜边长时,另一条直角边长为$\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$,所以三角形的面积为$\dfrac{1}{2}×3×\sqrt{7}=\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$.
解析
【分析】
首先求解给定的一元二次方程，得到直角三角形两条边的可能长度；再结合直角三角形“斜边最长”的性质，对两个根作为边的情况进行分类讨论，避免漏解，最后根据三角形面积公式计算结果。
【解析】
1. 解方程 $x^2 -7x +12=0$，因式分解得 $(x-3)(x-4)=0$，解得 $x=3$ 或 $x=4$。
2. 分情况讨论：
当3和4均为直角边长时，根据直角三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab$（a、b为直角边），面积为 $\frac{1}{2}×3×4=6$；
当4为斜边长、3为直角边长时，由勾股定理得另一条直角边长为 $\sqrt{4^2 -3^2}=\sqrt{7}$，此时面积为 $\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
6或$\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法，直角三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合一元二次方程与直角三角形性质，考查分类讨论思想，需注意直角三角形斜边最长的特点，避免遗漏“4为斜边”的情况，是初中数学典型综合题。
【难度系数】
0.4
首先求解给定的一元二次方程，得到直角三角形两条边的可能长度；再结合直角三角形“斜边最长”的性质，对两个根作为边的情况进行分类讨论，避免漏解，最后根据三角形面积公式计算结果。
【解析】
1. 解方程 $x^2 -7x +12=0$，因式分解得 $(x-3)(x-4)=0$，解得 $x=3$ 或 $x=4$。
2. 分情况讨论：
当3和4均为直角边长时，根据直角三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab$（a、b为直角边），面积为 $\frac{1}{2}×3×4=6$；
当4为斜边长、3为直角边长时，由勾股定理得另一条直角边长为 $\sqrt{4^2 -3^2}=\sqrt{7}$，此时面积为 $\frac{1}{2}×3×\sqrt{7}=\frac{3\sqrt{7}}{2}$。
【答案】
6或$\dfrac{3\sqrt{7}}{2}$
【知识点】
一元二次方程解法，直角三角形性质，三角形面积计算
【点评】
本题结合一元二次方程与直角三角形性质，考查分类讨论思想，需注意直角三角形斜边最长的特点，避免遗漏“4为斜边”的情况，是初中数学典型综合题。
【难度系数】
0.4
7. 用因式分解法解下列方程：
(1) $(3x-1)^2=3x-1$；
(2) $(3x+2)^2-25x^2=0$；
(3) $(2x+1)^2+4(2x+1)+4=0$；
(4) $2x^2+1=3x$.
(1) $(3x-1)^2=3x-1$；
(2) $(3x+2)^2-25x^2=0$；
(3) $(2x+1)^2+4(2x+1)+4=0$；
(4) $2x^2+1=3x$.
答案
(1) $x_{1}=\dfrac{1}{3},x_{2}=\dfrac{2}{3}$.
(2) $x_{1}=1,x_{2}=-\dfrac{1}{4}$.
(3) $x_{1}=x_{2}=-\dfrac{3}{2}$.
(4) $x_{1}=\dfrac{1}{2},x_{2}=1$.
(2) $x_{1}=1,x_{2}=-\dfrac{1}{4}$.
(3) $x_{1}=x_{2}=-\dfrac{3}{2}$.
(4) $x_{1}=\dfrac{1}{2},x_{2}=1$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“几个因式乘积为0”的形式，再根据“若因式乘积为0，则至少一个因式为0”，将二次方程转化为一元一次方程求解。具体思路：(1)移项后提取公因式；(2)用平方差公式分解；(3)用完全平方公式分解；(4)整理为一般式后用十字相乘法分解。
【解析】
(1) 移项得：$(3x-1)^2 - (3x-1)=0$，提取公因式$(3x-1)$得：$(3x-1)(3x-1-1)=0$，即$(3x-1)(3x-2)=0$，则$3x-1=0$或$3x-2=0$，解得$x_1=\dfrac{1}{3},x_2=\dfrac{2}{3}$。
(2) 原方程变形为：$(3x+2)^2 - (5x)^2=0$，由平方差公式得：$(3x+2-5x)(3x+2+5x)=0$，化简得：$(-2x+2)(8x+2)=0$，进一步整理为$(x-1)(4x+1)=0$，则$x-1=0$或$4x+1=0$，解得$x_1=1,x_2=-\dfrac{1}{4}$。
(3) 原方程左边符合完全平方公式，得：$(2x+1+2)^2=0$，即$(2x+3)^2=0$，则$2x+3=0$，解得$x_1=x_2=-\dfrac{3}{2}$。
(4) 移项整理为一般式：$2x^2-3x+1=0$，十字相乘法分解得：$(2x-1)(x-1)=0$，则$2x-1=0$或$x-1=0$，解得$x_1=\dfrac{1}{2},x_2=1$。
【答案】
(1) $x_{1}=\dfrac{1}{3},x_{2}=\dfrac{2}{3}$；
(2) $x_{1}=1,x_{2}=-\dfrac{1}{4}$；
(3) $x_{1}=x_{2}=-\dfrac{3}{2}$；
(4) $x_{1}=\dfrac{1}{2},x_{2}=1$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题，涵盖提取公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法四种因式分解技巧，需注意移项符号处理，适合巩固一元二次方程解法的基础练习。
【难度系数】
0.6
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“几个因式乘积为0”的形式，再根据“若因式乘积为0，则至少一个因式为0”，将二次方程转化为一元一次方程求解。具体思路：(1)移项后提取公因式；(2)用平方差公式分解；(3)用完全平方公式分解；(4)整理为一般式后用十字相乘法分解。
【解析】
(1) 移项得：$(3x-1)^2 - (3x-1)=0$，提取公因式$(3x-1)$得：$(3x-1)(3x-1-1)=0$，即$(3x-1)(3x-2)=0$，则$3x-1=0$或$3x-2=0$，解得$x_1=\dfrac{1}{3},x_2=\dfrac{2}{3}$。
(2) 原方程变形为：$(3x+2)^2 - (5x)^2=0$，由平方差公式得：$(3x+2-5x)(3x+2+5x)=0$，化简得：$(-2x+2)(8x+2)=0$，进一步整理为$(x-1)(4x+1)=0$，则$x-1=0$或$4x+1=0$，解得$x_1=1,x_2=-\dfrac{1}{4}$。
(3) 原方程左边符合完全平方公式，得：$(2x+1+2)^2=0$，即$(2x+3)^2=0$，则$2x+3=0$，解得$x_1=x_2=-\dfrac{3}{2}$。
(4) 移项整理为一般式：$2x^2-3x+1=0$，十字相乘法分解得：$(2x-1)(x-1)=0$，则$2x-1=0$或$x-1=0$，解得$x_1=\dfrac{1}{2},x_2=1$。
【答案】
(1) $x_{1}=\dfrac{1}{3},x_{2}=\dfrac{2}{3}$；
(2) $x_{1}=1,x_{2}=-\dfrac{1}{4}$；
(3) $x_{1}=x_{2}=-\dfrac{3}{2}$；
(4) $x_{1}=\dfrac{1}{2},x_{2}=1$。
【知识点】
一元二次方程的解法、因式分解的应用
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题，涵盖提取公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法四种因式分解技巧，需注意移项符号处理，适合巩固一元二次方程解法的基础练习。
【难度系数】
0.6
8. 阅读下面的材料.
材料一: 当 $ab=0$ 时,$a=0$ 或 $b=0$.
材料二: 把等式 $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+$$b)x+ab$ 的左右两边交换位置后,得到$x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$,也就是说一个特殊形式的二次三项式可以进行因式分解,如 $x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$.所以在解方程 $x^{2}+3x+2=0$ 时,可以把方程变形为 $(x+1)(x+2)=0$, 所以 $x+1=0$或 $x+2=0$. 所以 $x_{1}=-1,x_{2}=-2$.
根据以上材料回答下列问题:
(1) 因式分解: $x^{2}+7x-18=$
(2) 解方程: $x^{2}-5x+4=0$.
(3) 若 $x^{2}-xy-12y^{2}=0$, 求 $x$ 与 $y$ 之间的关系.
材料一: 当 $ab=0$ 时,$a=0$ 或 $b=0$.
材料二: 把等式 $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+$$b)x+ab$ 的左右两边交换位置后,得到$x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$,也就是说一个特殊形式的二次三项式可以进行因式分解,如 $x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$.所以在解方程 $x^{2}+3x+2=0$ 时,可以把方程变形为 $(x+1)(x+2)=0$, 所以 $x+1=0$或 $x+2=0$. 所以 $x_{1}=-1,x_{2}=-2$.
根据以上材料回答下列问题:
(1) 因式分解: $x^{2}+7x-18=$
$(x+9)(x-2)$
.(2) 解方程: $x^{2}-5x+4=0$.
(3) 若 $x^{2}-xy-12y^{2}=0$, 求 $x$ 与 $y$ 之间的关系.
答案
(1) $(x+9)(x-2)$
(2) 方程分解,得$(x-1)(x-4)=0$,可得$x-1=0$或$x-4=0$,解得$x_{1}=1,x_{2}=4$.
(3) 等式左边分解,得$(x+3y)(x-4y)=0$,可得$x+3y=0$或$x-4y=0$,所以$x=-3y$或$x=4y$.
(2) 方程分解,得$(x-1)(x-4)=0$,可得$x-1=0$或$x-4=0$,解得$x_{1}=1,x_{2}=4$.
(3) 等式左边分解,得$(x+3y)(x-4y)=0$,可得$x+3y=0$或$x-4y=0$,所以$x=-3y$或$x=4y$.
解析
【分析】
本题利用材料给出的十字相乘法因式分解规则，以及“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质解题。对于二次三项式因式分解，需找到两个数，使它们的和等于一次项系数、积等于常数项，将二次式分解为两个一次式的乘积；对于方程或等式，分解后转化为一次式求解或推导变量关系。
【解析】
(1) 对$x^2 +7x -18$因式分解：寻找两个数，和为7、积为-18，这两个数是9和-2，因此：
$x^2 +7x -18=(x+9)(x-2)$
(2) 解方程$x^2 -5x +4=0$：先对左边因式分解，寻找和为-5、积为4的两个数，即-1和-4，得：
$(x-1)(x-4)=0$
根据“乘积为0则至少一因子为0”，得$x-1=0$或$x-4=0$，解得$x_1=1, x_2=4$
(3) 对$x^2 -xy -12y^2=0$因式分解：将其视为关于x的二次式，寻找和为$-y$、积为$-12y^2$的两个式子，即$3y$和$-4y$，得：
$(x+3y)(x-4y)=0$
根据性质，得$x+3y=0$或$x-4y=0$，即$x=-3y$或$x=4y$
【答案】
(1) $(x+9)(x-2)$；(2) $x_1=1, x_2=4$；(3) $x=-3y$或$x=4y$
【知识点】
十字相乘法因式分解，因式分解法解一元二次方程，二元变量关系推导
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，核心考查十字相乘法的掌握及“乘积为0则至少一因子为0”的性质，通过分解二次式简化问题，是代数运算的重要基础，适合巩固因式分解的应用能力。
【难度系数】
0.5
本题利用材料给出的十字相乘法因式分解规则，以及“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质解题。对于二次三项式因式分解，需找到两个数，使它们的和等于一次项系数、积等于常数项，将二次式分解为两个一次式的乘积；对于方程或等式，分解后转化为一次式求解或推导变量关系。
【解析】
(1) 对$x^2 +7x -18$因式分解：寻找两个数，和为7、积为-18，这两个数是9和-2，因此：
$x^2 +7x -18=(x+9)(x-2)$
(2) 解方程$x^2 -5x +4=0$：先对左边因式分解，寻找和为-5、积为4的两个数，即-1和-4，得：
$(x-1)(x-4)=0$
根据“乘积为0则至少一因子为0”，得$x-1=0$或$x-4=0$，解得$x_1=1, x_2=4$
(3) 对$x^2 -xy -12y^2=0$因式分解：将其视为关于x的二次式，寻找和为$-y$、积为$-12y^2$的两个式子，即$3y$和$-4y$，得：
$(x+3y)(x-4y)=0$
根据性质，得$x+3y=0$或$x-4y=0$，即$x=-3y$或$x=4y$
【答案】
(1) $(x+9)(x-2)$；(2) $x_1=1, x_2=4$；(3) $x=-3y$或$x=4y$
【知识点】
十字相乘法因式分解，因式分解法解一元二次方程，二元变量关系推导
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，核心考查十字相乘法的掌握及“乘积为0则至少一因子为0”的性质，通过分解二次式简化问题，是代数运算的重要基础，适合巩固因式分解的应用能力。
【难度系数】
0.5
