登录
1. 若$9x^{2}+ax+4$是一个完全平方式，则$a$的值为（
A.12
B.$-12$
C.12或$-12$
D.6或$-6$
C
）A.12
B.$-12$
C.12或$-12$
D.6或$-6$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需利用完全平方式的结构特征：完全平方式有两种形式，即$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$和$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$，对应中间项的符号有正负两种。先将原式的首项和末项转化为平方形式，再根据中间项的公式计算，即可得到$a$的可能值。
【解析】
根据完全平方式的结构：
已知$9x^2=(3x)^2$，$4=2^2$，则原式可表示为$(3x\pm2)^2$。
展开两种情况：
1. $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$，对应$a=12$；
2. $(3x-2)^2=9x^2-12x+4$，对应$a=-12$。
因此$a$的值为12或$-12$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式，整式的乘法
【点评】
本题考查完全平方式的应用，核心是掌握完全平方式的两种形式，需注意中间项的正负两种情况，避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需利用完全平方式的结构特征：完全平方式有两种形式，即$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$和$(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$，对应中间项的符号有正负两种。先将原式的首项和末项转化为平方形式，再根据中间项的公式计算，即可得到$a$的可能值。
【解析】
根据完全平方式的结构：
已知$9x^2=(3x)^2$，$4=2^2$，则原式可表示为$(3x\pm2)^2$。
展开两种情况：
1. $(3x+2)^2=9x^2+12x+4$，对应$a=12$；
2. $(3x-2)^2=9x^2-12x+4$，对应$a=-12$。
因此$a$的值为12或$-12$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式，整式的乘法
【点评】
本题考查完全平方式的应用，核心是掌握完全平方式的两种形式，需注意中间项的正负两种情况，避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
2. (2025 连云港市东海县月考)用配方法解方程$3x^{2}-6x+1=0$,则方程可变形为（
A.$(x-3)^{2}=\dfrac{1}{3}$
B.$3(x-1)^{2}=\dfrac{1}{3}$
C.$(3x-1)^{2}=1$
D.$(x-1)^{2}=\dfrac{2}{3}$
D
）A.$(x-3)^{2}=\dfrac{1}{3}$
B.$3(x-1)^{2}=\dfrac{1}{3}$
C.$(3x-1)^{2}=1$
D.$(x-1)^{2}=\dfrac{2}{3}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路是按照配方法的步骤逐步变形：先将二次项系数化为1，再移项，接着在方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方，最终转化为完全平方形式，再对应选项得出答案。
【解析】
解：用配方法解方程$3x^2 -6x +1=0$，步骤如下：
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以3，得$x^2 -2x + \frac{1}{3}=0$；
2. 移项：将常数项移到方程右侧，得$x^2 -2x = -\frac{1}{3}$；
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方（一次项系数为-2，一半的平方为$(-1)^2=1$），得$x^2 -2x +1 = -\frac{1}{3} +1$；
4. 化简：左侧为完全平方$(x-1)^2$，右侧计算得$\frac{2}{3}$，即$(x-1)^2=\frac{2}{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心是掌握配方法的关键步骤（化二次项系数为1、配方时加一次项系数一半的平方），只要熟悉步骤即可正确解答。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解一元二次方程，解题思路是按照配方法的步骤逐步变形：先将二次项系数化为1，再移项，接着在方程两边加上一次项系数一半的平方完成配方，最终转化为完全平方形式，再对应选项得出答案。
【解析】
解：用配方法解方程$3x^2 -6x +1=0$，步骤如下：
1. 化二次项系数为1：方程两边同时除以3，得$x^2 -2x + \frac{1}{3}=0$；
2. 移项：将常数项移到方程右侧，得$x^2 -2x = -\frac{1}{3}$；
3. 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方（一次项系数为-2，一半的平方为$(-1)^2=1$），得$x^2 -2x +1 = -\frac{1}{3} +1$；
4. 化简：左侧为完全平方$(x-1)^2$，右侧计算得$\frac{2}{3}$，即$(x-1)^2=\frac{2}{3}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，核心是掌握配方法的关键步骤（化二次项系数为1、配方时加一次项系数一半的平方），只要熟悉步骤即可正确解答。
【难度系数】
0.8
3. 下列用配方法解方程$\dfrac{1}{2}x^{2}-x-2=0$的四个步骤中,出现错误的是 （
A.①
B.②
C.③
D.④
D
）A.①
B.②
C.③
D.④
答案
D
解析
【分析】
要判断配方法解方程的步骤是否正确，需明确配方法的操作逻辑：先将二次项系数化为1，再移项，接着在方程两边加上一次项系数一半的平方以配成完全平方式，最后开平方时需取正负两个根。依次检查四个步骤：步骤①将原方程两边乘2，正确；步骤②在移项后的方程两边加1（一次项系数-2的一半的平方），正确；步骤③将左边配成完全平方式，正确；步骤④开平方时仅取了正根，漏掉了负根，错误。
【解析】
配方法解方程$\frac{1}{2}x^2 -x -2=0$的过程：
1. 步骤①：方程两边同乘2，得$x^2 -2x -4=0$，移项后为$x^2 -2x=4$，操作正确；
2. 步骤②：在方程两边加1（一次项系数-2的一半的平方），得$x^2 -2x +1=5$，操作正确；
3. 步骤③：左边可写成完全平方式，即$(x-1)^2=5$，操作正确；
4. 步骤④：对$(x-1)^2=5$开平方时，应得$x-1=\pm\sqrt{5}$，解得$x=1\pm\sqrt{5}$，但图中仅得到$x=\sqrt{5}+1$，漏掉了负根，故步骤④错误。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的核心步骤，需注意开平方时要考虑正负两个根，避免漏解，属于基础题型，需熟练掌握配方法的关键操作。
【难度系数】
0.3
要判断配方法解方程的步骤是否正确，需明确配方法的操作逻辑：先将二次项系数化为1，再移项，接着在方程两边加上一次项系数一半的平方以配成完全平方式，最后开平方时需取正负两个根。依次检查四个步骤：步骤①将原方程两边乘2，正确；步骤②在移项后的方程两边加1（一次项系数-2的一半的平方），正确；步骤③将左边配成完全平方式，正确；步骤④开平方时仅取了正根，漏掉了负根，错误。
【解析】
配方法解方程$\frac{1}{2}x^2 -x -2=0$的过程：
1. 步骤①：方程两边同乘2，得$x^2 -2x -4=0$，移项后为$x^2 -2x=4$，操作正确；
2. 步骤②：在方程两边加1（一次项系数-2的一半的平方），得$x^2 -2x +1=5$，操作正确；
3. 步骤③：左边可写成完全平方式，即$(x-1)^2=5$，操作正确；
4. 步骤④：对$(x-1)^2=5$开平方时，应得$x-1=\pm\sqrt{5}$，解得$x=1\pm\sqrt{5}$，但图中仅得到$x=\sqrt{5}+1$，漏掉了负根，故步骤④错误。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的核心步骤，需注意开平方时要考虑正负两个根，避免漏解，属于基础题型，需熟练掌握配方法的关键操作。
【难度系数】
0.3
4. 将关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-px+q=0$ 变形为 $x^2=px-q$，就可以将 $x^2$ 表示为关于 $x$ 的一次多项式，从而达到“降次”的目的. 例如: $x^3=x· x^2=x(px-q)=···$. 我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式. 根据“降次法”，已知 $x^2-x-1=0$，且 $x＞0$，则代数式$x^4-2x^3+3x$ 的值为（
A.$1-\sqrt{5}$
B.$3-\sqrt{5}$
C.$1+\sqrt{5}$
D.$3+\sqrt{5}$
C
）A.$1-\sqrt{5}$
B.$3-\sqrt{5}$
C.$1+\sqrt{5}$
D.$3+\sqrt{5}$
答案
提示:因为 $x^2-x-1=0$,所以 $x^2=x+1$.所以$x^4-2x^3+3x=(x+1)^2-2x(x+1)+3x=x^2+2x+1-2x^2-2x+3x=1-x^2+3x=1-(x+1)+3x=2x$.用配方法解方程 $x^2-x-1=0$,得 $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.因为 $x＞0$,所以 $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.所以 $x^4-2x^3+3x=2x=2×\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\sqrt{5}$.
解析
【分析】
首先根据已知方程$x^2 -x -1=0$变形得到$x^2=x+1$，利用“降次法”将代数式中的高次项（$x^4$、$x^3$）转化为低次项（$x^2$、$x$），再继续替换二次项，逐步化简代数式得到仅含$x$的一次式；随后解一元二次方程$x^2 -x -1=0$，结合$x＞0$的条件确定$x$的取值，代入化简后的式子即可求出结果。
【解析】
解：由$x^2 -x -1=0$，得$x^2=x+1$。
对代数式$x^4 -2x^3 +3x$降次化简：
$x^4=(x^2)^2=(x+1)^2=x^2+2x+1$，
$x^3=x· x^2=x(x+1)=x^2+x$，
代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(x^2+2x+1)-2(x^2+x)+3x\\&=x^2+2x+1-2x^2-2x+3x\\&=-x^2+3x+1\end{aligned}$
将$x^2=x+1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-(x+1)+3x+1\\&=-x-1+3x+1\\&=2x\end{aligned}$
解方程$x^2 -x -1=0$，用配方法：
$x^2 -x=1$，$x^2 -x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$，即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}$，
开方得$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
因为$x＞0$，所以$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
则原式$=2x=2×\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
降次法化简代数式；一元二次方程的解
【点评】
本题核心是运用“降次法”简化高次代数式，通过已知一元二次方程的变形替换高次项，避免了直接计算高次幂的繁琐，关键在于掌握降次替换的思路，结合方程解的取值条件确定最终结果，是一元二次方程应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
首先根据已知方程$x^2 -x -1=0$变形得到$x^2=x+1$，利用“降次法”将代数式中的高次项（$x^4$、$x^3$）转化为低次项（$x^2$、$x$），再继续替换二次项，逐步化简代数式得到仅含$x$的一次式；随后解一元二次方程$x^2 -x -1=0$，结合$x＞0$的条件确定$x$的取值，代入化简后的式子即可求出结果。
【解析】
解：由$x^2 -x -1=0$，得$x^2=x+1$。
对代数式$x^4 -2x^3 +3x$降次化简：
$x^4=(x^2)^2=(x+1)^2=x^2+2x+1$，
$x^3=x· x^2=x(x+1)=x^2+x$，
代入原式：
$\begin{aligned}原式&=(x^2+2x+1)-2(x^2+x)+3x\\&=x^2+2x+1-2x^2-2x+3x\\&=-x^2+3x+1\end{aligned}$
将$x^2=x+1$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-(x+1)+3x+1\\&=-x-1+3x+1\\&=2x\end{aligned}$
解方程$x^2 -x -1=0$，用配方法：
$x^2 -x=1$，$x^2 -x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$，即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}$，
开方得$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$，
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
因为$x＞0$，所以$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
则原式$=2x=2×\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
降次法化简代数式；一元二次方程的解
【点评】
本题核心是运用“降次法”简化高次代数式，通过已知一元二次方程的变形替换高次项，避免了直接计算高次幂的繁琐，关键在于掌握降次替换的思路，结合方程解的取值条件确定最终结果，是一元二次方程应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
5. 将一个一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$ 化为
$(x-m)^{2}=\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$, 则 $m$ 的值为
$(x-m)^{2}=\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$, 则 $m$ 的值为
$-\frac{b}{2a}$
.答案
$-\frac{b}{2a}$
解析
【分析】要解决本题，需利用一元二次方程的配方法，将原方程配方为完全平方形式，再与题目给出的形式对比，即可求出m的值。具体思路：先对一元二次方程ax²+bx+c=0进行移项、系数化为1，再通过配方得到完全平方形式，最后对比题目中的等式，确定m的表达式。
【解析】对一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）进行配方：
1. 移项得：ax² + bx = -c；
2. 两边同除以a，将二次项系数化为1：x² + (b/a)x = -c/a；
3. 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即(b/(2a))²，左边构成完全平方式：
x² + (b/a)x + (b/(2a))² = -c/a + (b/(2a))²；
4. 化简左右两边：左边为(x + b/(2a))²，右边通分计算得：(b² - 4ac)/(4a²)；
5. 题目给出配方后的形式为(x - m)² = (b² - 4ac)/(4a²)，对比两个完全平方形式，可得x + b/(2a) = x - m，因此m = -b/(2a)。
【答案】$-\dfrac{b}{2a}$
【知识点】一元二次方程的配方法，完全平方公式
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，核心是掌握配方法的操作步骤，通过配方后的形式对比求解参数，属于基础题型，需注意配方时的符号处理，避免出错。
【难度系数】0.6
【解析】对一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）进行配方：
1. 移项得：ax² + bx = -c；
2. 两边同除以a，将二次项系数化为1：x² + (b/a)x = -c/a；
3. 配方：在等式两边加上一次项系数一半的平方，即(b/(2a))²，左边构成完全平方式：
x² + (b/a)x + (b/(2a))² = -c/a + (b/(2a))²；
4. 化简左右两边：左边为(x + b/(2a))²，右边通分计算得：(b² - 4ac)/(4a²)；
5. 题目给出配方后的形式为(x - m)² = (b² - 4ac)/(4a²)，对比两个完全平方形式，可得x + b/(2a) = x - m，因此m = -b/(2a)。
【答案】$-\dfrac{b}{2a}$
【知识点】一元二次方程的配方法，完全平方公式
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，核心是掌握配方法的操作步骤，通过配方后的形式对比求解参数，属于基础题型，需注意配方时的符号处理，避免出错。
【难度系数】0.6
6. 代数式 $2x^{2}-7x+2$ 的最小值为
$-\frac{33}{8}$
.答案
$-\frac{33}{8}$
解析
【分析】本题要求二次代数式的最小值，该代数式为二次函数形式，且二次项系数为正，因此函数图象开口向上，存在最小值。解题时可通过配方法将代数式转化为完全平方式与常数的和，利用完全平方式的非负性即可求出最小值。
【解析】对代数式 $2x^2 -7x +2$ 进行配方：
$\begin{aligned}2x^2 -7x +2&=2(x^2 - \frac{7}{2}x) +2\\&=2[(x - \frac{7}{4})^2 - (\frac{7}{4})^2] +2\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - 2×\frac{49}{16} +2\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{8} + \frac{16}{8}\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{33}{8}\end{aligned}$
因为 $2(x - \frac{7}{4})^2 ≥ 0$，当且仅当 $x = \frac{7}{4}$ 时，$2(x - \frac{7}{4})^2 =0$，此时代数式取得最小值 $-\frac{33}{8}$。
【答案】$-\frac{33}{8}$
【知识点】二次函数的最值、配方法
【点评】本题考查二次代数式最值的求法，核心是配方法的应用，属于初中数学基础题型，需熟练掌握配方法的步骤，将一般式转化为顶点式来求解最值。
【难度系数】0.7
【解析】对代数式 $2x^2 -7x +2$ 进行配方：
$\begin{aligned}2x^2 -7x +2&=2(x^2 - \frac{7}{2}x) +2\\&=2[(x - \frac{7}{4})^2 - (\frac{7}{4})^2] +2\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - 2×\frac{49}{16} +2\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{49}{8} + \frac{16}{8}\\&=2(x - \frac{7}{4})^2 - \frac{33}{8}\end{aligned}$
因为 $2(x - \frac{7}{4})^2 ≥ 0$，当且仅当 $x = \frac{7}{4}$ 时，$2(x - \frac{7}{4})^2 =0$，此时代数式取得最小值 $-\frac{33}{8}$。
【答案】$-\frac{33}{8}$
【知识点】二次函数的最值、配方法
【点评】本题考查二次代数式最值的求法，核心是配方法的应用，属于初中数学基础题型，需熟练掌握配方法的步骤，将一般式转化为顶点式来求解最值。
【难度系数】0.7
7. 已知关于 $x$ 的方程 $3x^{2}-px+q=0$ 通过
配方变形为 $(x-1)^{2}=\dfrac{4}{3}$，则 $pq$ 的值为
配方变形为 $(x-1)^{2}=\dfrac{4}{3}$，则 $pq$ 的值为
-6
。答案
-6
解析
【分析】
要解决本题，需利用一元二次方程的配方规则：先将原方程化为二次项系数为1的形式，再通过配方得到完全平方形式，与题目给出的配方结果对比，求出参数$p$、$q$，进而计算$pq$的值。具体思路：1. 把原方程两边除以3，使二次项系数为1；2. 对变形后的方程移项，再配方（添加一次项系数一半的平方）；3. 与已知的配方结果对比，对应项相等求出$p$、$q$；4. 代入计算$pq$。
【解析】
解：原方程$3x^2 - px + q = 0$，两边同时除以3，得：
$x^2 - \frac{p}{3}x + \frac{q}{3} = 0$
移项，得：$x^2 - \frac{p}{3}x = -\frac{q}{3}$
配方，两边同时加上$(\frac{p}{6})^2$，得：
$x^2 - \frac{p}{3}x + (\frac{p}{6})^2 = \frac{p^2}{36} - \frac{q}{3}$
左边化为完全平方，得：$(x - \frac{p}{6})^2 = \frac{p^2}{36} - \frac{q}{3}$
已知配方后为$(x - 1)^2 = \frac{4}{3}$，则对应项相等：
$\frac{p}{6} = 1$，解得$p = 6$；
将$p = 6$代入$\frac{p^2}{36} - \frac{q}{3} = \frac{4}{3}$，得：
$\frac{36}{36} - \frac{q}{3} = \frac{4}{3}$，即$1 - \frac{q}{3} = \frac{4}{3}$
移项计算：$-\frac{q}{3} = \frac{1}{3}$，解得$q = -1$；
因此$pq = 6 × (-1) = -6$。
【答案】
-6
【知识点】
一元二次方程的配方变形，完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程的配方操作，核心是掌握“二次项系数化为1→移项→加一次项系数一半的平方”的配方步骤，通过对应项相等求参数，属于基础题型，需熟练掌握配方规则。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用一元二次方程的配方规则：先将原方程化为二次项系数为1的形式，再通过配方得到完全平方形式，与题目给出的配方结果对比，求出参数$p$、$q$，进而计算$pq$的值。具体思路：1. 把原方程两边除以3，使二次项系数为1；2. 对变形后的方程移项，再配方（添加一次项系数一半的平方）；3. 与已知的配方结果对比，对应项相等求出$p$、$q$；4. 代入计算$pq$。
【解析】
解：原方程$3x^2 - px + q = 0$，两边同时除以3，得：
$x^2 - \frac{p}{3}x + \frac{q}{3} = 0$
移项，得：$x^2 - \frac{p}{3}x = -\frac{q}{3}$
配方，两边同时加上$(\frac{p}{6})^2$，得：
$x^2 - \frac{p}{3}x + (\frac{p}{6})^2 = \frac{p^2}{36} - \frac{q}{3}$
左边化为完全平方，得：$(x - \frac{p}{6})^2 = \frac{p^2}{36} - \frac{q}{3}$
已知配方后为$(x - 1)^2 = \frac{4}{3}$，则对应项相等：
$\frac{p}{6} = 1$，解得$p = 6$；
将$p = 6$代入$\frac{p^2}{36} - \frac{q}{3} = \frac{4}{3}$，得：
$\frac{36}{36} - \frac{q}{3} = \frac{4}{3}$，即$1 - \frac{q}{3} = \frac{4}{3}$
移项计算：$-\frac{q}{3} = \frac{1}{3}$，解得$q = -1$；
因此$pq = 6 × (-1) = -6$。
【答案】
-6
【知识点】
一元二次方程的配方变形，完全平方公式
【点评】
本题考查一元二次方程的配方操作，核心是掌握“二次项系数化为1→移项→加一次项系数一半的平方”的配方步骤，通过对应项相等求参数，属于基础题型，需熟练掌握配方规则。
【难度系数】
0.5
8. 用配方法解下列方程：
(1) $-x^{2}+x+1=0$;
(2) $-\dfrac{1}{3}x^{2}+2x+1=0$.
(1) $-x^{2}+x+1=0$;
(2) $-\dfrac{1}{3}x^{2}+2x+1=0$.
答案
解:(1) 方程两边同时除以$-1$,得$x^2-x-1=0$.移项,得$x^2-x=1$.配方,得$x^2-x+(\frac{1}{2})^2=1+(\frac{1}{2})^2$,即$(x-\frac{1}{2})^2=\frac{5}{4}$.直接开平方,得$x-\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}$.所以$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
(2) 方程两边同时乘$-3$,得$x^2-6x-3=0$.移项,得$x^2-6x=3$.配方,得$x^2-6x+9=3+9$,即$(x-3)^2=12$.直接开平方,得$x-3=\pm2\sqrt{3}$.所以$x_1=3+2\sqrt{3}$,$x_2=3-2\sqrt{3}$.
(2) 方程两边同时乘$-3$,得$x^2-6x-3=0$.移项,得$x^2-6x=3$.配方,得$x^2-6x+9=3+9$,即$(x-3)^2=12$.直接开平方,得$x-3=\pm2\sqrt{3}$.所以$x_1=3+2\sqrt{3}$,$x_2=3-2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方式，步骤为：①先将二次项系数化为1（若二次项系数为负，可先乘-1使二次项系数为正，简化计算）；②移项，把常数项移到方程右侧；③配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左侧成为完全平方式；④利用直接开平方法求解。本题两个方程均为二次项系数为负的一元二次方程，需先将二次项系数化为正，再按上述步骤操作。
【解析】
(1) 对于方程$-x^2 + x + 1 = 0$：
① 方程两边同时除以$-1$，得$x^2 - x - 1 = 0$；
② 移项，得$x^2 - x = 1$；
③ 配方，在方程两边加上一次项系数$-1$一半的平方$(\frac{1}{2})^2$，得$x^2 - x + (\frac{1}{2})^2 = 1 + (\frac{1}{2})^2$，整理得$(x - \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$；
④ 直接开平方，得$x - \frac{1}{2} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$；
解得$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$。
(2) 对于方程$-\frac{1}{3}x^2 + 2x + 1 = 0$：
① 方程两边同时乘$-3$，得$x^2 - 6x - 3 = 0$；
② 移项，得$x^2 - 6x = 3$；
③ 配方，在方程两边加上一次项系数$-6$一半的平方$9$，得$x^2 - 6x + 9 = 3 + 9$，整理得$(x - 3)^2 = 12$；
④ 直接开平方，得$x - 3 = \pm2\sqrt{3}$；
解得$x_1 = 3 + 2\sqrt{3}$，$x_2 = 3 - 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$；
(2) $x_1 = 3 + 2\sqrt{3}$，$x_2 = 3 - 2\sqrt{3}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，核心是掌握配方法的标准步骤，需注意配方时等式两边需同时加相同的数，避免符号错误，属于一元二次方程解法的常规基础题，学生掌握步骤即可正确解答。
【难度系数】
0.6
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方式，步骤为：①先将二次项系数化为1（若二次项系数为负，可先乘-1使二次项系数为正，简化计算）；②移项，把常数项移到方程右侧；③配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左侧成为完全平方式；④利用直接开平方法求解。本题两个方程均为二次项系数为负的一元二次方程，需先将二次项系数化为正，再按上述步骤操作。
【解析】
(1) 对于方程$-x^2 + x + 1 = 0$：
① 方程两边同时除以$-1$，得$x^2 - x - 1 = 0$；
② 移项，得$x^2 - x = 1$；
③ 配方，在方程两边加上一次项系数$-1$一半的平方$(\frac{1}{2})^2$，得$x^2 - x + (\frac{1}{2})^2 = 1 + (\frac{1}{2})^2$，整理得$(x - \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4}$；
④ 直接开平方，得$x - \frac{1}{2} = \pm\frac{\sqrt{5}}{2}$；
解得$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$。
(2) 对于方程$-\frac{1}{3}x^2 + 2x + 1 = 0$：
① 方程两边同时乘$-3$，得$x^2 - 6x - 3 = 0$；
② 移项，得$x^2 - 6x = 3$；
③ 配方，在方程两边加上一次项系数$-6$一半的平方$9$，得$x^2 - 6x + 9 = 3 + 9$，整理得$(x - 3)^2 = 12$；
④ 直接开平方，得$x - 3 = \pm2\sqrt{3}$；
解得$x_1 = 3 + 2\sqrt{3}$，$x_2 = 3 - 2\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$；
(2) $x_1 = 3 + 2\sqrt{3}$，$x_2 = 3 - 2\sqrt{3}$。
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，核心是掌握配方法的标准步骤，需注意配方时等式两边需同时加相同的数，避免符号错误，属于一元二次方程解法的常规基础题，学生掌握步骤即可正确解答。
【难度系数】
0.6
9. 阅读材料:数学课上,吴老师在求代数式
$x^{2}-4x+5$ 的最小值时,利用公式 $a^{2}\pm$
$2ab+b^{2}=(a\pm b)^{2}$,对式子作如下变形:
$x^{2}-4x+5=x^{2}-4x+4+1=(x-2)^{2}+1,$
因为 $(x-2)^{2}≥ 0,$
所以 $(x-2)^{2}+1≥ 1.$
当 $x=2$ 时,$(x-2)^{2}+1=1,$
因此 $(x-2)^{2}+1$ 有最小值 1,即 $x^{2}-4x+$
5 的最小值为 1.
通过阅读材料,解答下列问题:
(1) 代数式 $x^{2}+6x+12$ 的最小值为
(2) 求代数式 $-x^{2}+2x+9$ 的最大或最小值.
(3) 试比较代数式 $3x^{2}-2x$ 与 $2x^{2}+3x-7$的大小,并说明理由.
$x^{2}-4x+5$ 的最小值时,利用公式 $a^{2}\pm$
$2ab+b^{2}=(a\pm b)^{2}$,对式子作如下变形:
$x^{2}-4x+5=x^{2}-4x+4+1=(x-2)^{2}+1,$
因为 $(x-2)^{2}≥ 0,$
所以 $(x-2)^{2}+1≥ 1.$
当 $x=2$ 时,$(x-2)^{2}+1=1,$
因此 $(x-2)^{2}+1$ 有最小值 1,即 $x^{2}-4x+$
5 的最小值为 1.
通过阅读材料,解答下列问题:
(1) 代数式 $x^{2}+6x+12$ 的最小值为
3
.(2) 求代数式 $-x^{2}+2x+9$ 的最大或最小值.
(3) 试比较代数式 $3x^{2}-2x$ 与 $2x^{2}+3x-7$的大小,并说明理由.
答案
(1) 3 提示:$x^2+6x+12=(x+3)^2+3$.因为$(x+3)^2≥0$,所以$(x+3)^2+3≥3$.当$x=-3$时,$(x+3)^2+3$有最小值3,即代数式$x^2+6x+12$的最小值为3.
(2) $-x^2+2x+9=-(x-1)^2+10$.因为$(x-1)^2≥0$,所以$-(x-1)^2+10≤10$.当$x=1$时,$-(x-1)^2+10$有最大值10,即代数式$-x^2+2x+9$的最大值为10.
(3) 因为$(3x^2-2x)-(2x^2+3x-7)=x^2-5x+7=(x-\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$,所以$3x^2-2x＞2x^2+3x-7$.
(2) $-x^2+2x+9=-(x-1)^2+10$.因为$(x-1)^2≥0$,所以$-(x-1)^2+10≤10$.当$x=1$时,$-(x-1)^2+10$有最大值10,即代数式$-x^2+2x+9$的最大值为10.
(3) 因为$(3x^2-2x)-(2x^2+3x-7)=x^2-5x+7=(x-\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$,所以$3x^2-2x＞2x^2+3x-7$.
解析
【分析】本题主要运用配方法解决代数式的最值问题和大小比较问题，核心思路是将二次多项式通过配方法转化为“完全平方项与常数的和（或差）”的形式，利用完全平方的非负性（任意实数的平方≥0）分析：二次项系数为正的式子，完全平方项非负，式子最小值为常数项；二次项系数为负的式子，完全平方项非负，加负号后非正，式子最大值为常数项；比较代数式大小时，用作差法，将差配方后根据差的正负判断大小。
【解析】
(1) 对$x^2+6x+12$配方：
$x^2+6x+12 = x^2+6x+9 +3 = (x+3)^2 +3$，
因为$(x+3)^2 ≥ 0$，所以$(x+3)^2 +3 ≥ 3$，当$x=-3$时，代数式取得最小值3。
(2) 对$-x^2+2x+9$配方：
$-x^2+2x+9 = -(x^2-2x) +9 = -(x^2-2x+1-1)+9 = -(x-1)^2 +10$，
因为$(x-1)^2 ≥0$，所以$-(x-1)^2 ≤0$，因此$-(x-1)^2 +10 ≤10$，当$x=1$时，代数式取得最大值10。
(3) 用作差法比较大小：
$(3x^2-2x)-(2x^2+3x-7)=x^2-5x+7=(x-\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4}$，
因为$(x-\frac{5}{2})^2 ≥0$，所以差$≥ \frac{3}{4}＞0$，故$3x^2-2x ＞2x^2+3x-7$。
【答案】
(1) 3；
(2) 最大值为10；
(3) $3x^2-2x ＞2x^2+3x-7$
【知识点】
配方法的应用、代数式的最值、代数式大小比较
【点评】
本题是配方法的典型应用，通过配方法将二次式转化为完全平方形式，利用平方非负性解决最值和大小比较问题，是代数变形的重要技巧，需掌握配方法的步骤，尤其是二次项系数为负时的处理。
【难度系数】
0.6
【解析】
(1) 对$x^2+6x+12$配方：
$x^2+6x+12 = x^2+6x+9 +3 = (x+3)^2 +3$，
因为$(x+3)^2 ≥ 0$，所以$(x+3)^2 +3 ≥ 3$，当$x=-3$时，代数式取得最小值3。
(2) 对$-x^2+2x+9$配方：
$-x^2+2x+9 = -(x^2-2x) +9 = -(x^2-2x+1-1)+9 = -(x-1)^2 +10$，
因为$(x-1)^2 ≥0$，所以$-(x-1)^2 ≤0$，因此$-(x-1)^2 +10 ≤10$，当$x=1$时，代数式取得最大值10。
(3) 用作差法比较大小：
$(3x^2-2x)-(2x^2+3x-7)=x^2-5x+7=(x-\frac{5}{2})^2+\frac{3}{4}$，
因为$(x-\frac{5}{2})^2 ≥0$，所以差$≥ \frac{3}{4}＞0$，故$3x^2-2x ＞2x^2+3x-7$。
【答案】
(1) 3；
(2) 最大值为10；
(3) $3x^2-2x ＞2x^2+3x-7$
【知识点】
配方法的应用、代数式的最值、代数式大小比较
【点评】
本题是配方法的典型应用，通过配方法将二次式转化为完全平方形式，利用平方非负性解决最值和大小比较问题，是代数变形的重要技巧，需掌握配方法的步骤，尤其是二次项系数为负时的处理。
【难度系数】
0.6
