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1. 一元二次方程$(x+1)(x-3)=2x-5$根的情况是（
A.无实数根
B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3
D.有两个正根,且有一根大于3
D
）A.无实数根
B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3
D.有两个正根,且有一根大于3
答案
D
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，首先需将原方程整理为一般形式，再通过判别式判断根的存在性，最后计算或分析根的大小、正负，对应选项即可。
【解析】解：先将原方程展开并整理为一元二次方程的一般形式：
左边展开：$(x+1)(x-3)=x^2 -3x +x -3 = x^2 -2x -3$，
移项合并同类项：$x^2 -2x -3 = 2x -5$ → $x^2 -4x +2 = 0$。
计算判别式：$\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 -4×1×2 = 16 -8 = 8 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根，排除选项A。
用求根公式求根：$x = \frac{4±\sqrt{8}}{2} = \frac{4±2\sqrt{2}}{2} = 2±\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{2}≈1.414$，所以两个根分别为：$x_1=2+\sqrt{2}≈3.414$，$x_2=2-\sqrt{2}≈0.586$。
由此可知，两个根都是正根，且有一根大于3，一根小于3，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根
【点评】本题考查一元二次方程根的情况判断，关键是先将方程化为标准形式，再利用判别式和求根公式分析根的性质，属于基础题型，需熟练掌握一元二次方程的相关运算。
【难度系数】0.7
【解析】解：先将原方程展开并整理为一元二次方程的一般形式：
左边展开：$(x+1)(x-3)=x^2 -3x +x -3 = x^2 -2x -3$，
移项合并同类项：$x^2 -2x -3 = 2x -5$ → $x^2 -4x +2 = 0$。
计算判别式：$\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 -4×1×2 = 16 -8 = 8 ＞ 0$，说明方程有两个不相等的实数根，排除选项A。
用求根公式求根：$x = \frac{4±\sqrt{8}}{2} = \frac{4±2\sqrt{2}}{2} = 2±\sqrt{2}$。
因为$\sqrt{2}≈1.414$，所以两个根分别为：$x_1=2+\sqrt{2}≈3.414$，$x_2=2-\sqrt{2}≈0.586$。
由此可知，两个根都是正根，且有一根大于3，一根小于3，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根
【点评】本题考查一元二次方程根的情况判断，关键是先将方程化为标准形式，再利用判别式和求根公式分析根的性质，属于基础题型，需熟练掌握一元二次方程的相关运算。
【难度系数】0.7
2. 若实数 $x$ 满足方程 $(x^{2}+2x)(x^{2}+2x-2)-8=0$,则 $x^{2}+2x$ 的值为 （
A.$-2$ 或 $4$
B.$4$
C.$-2$
D.$2$ 或 $-4$
B
）A.$-2$ 或 $4$
B.$4$
C.$-2$
D.$2$ 或 $-4$
答案
B
解析
【分析】这道题的核心是方程中存在重复的代数式$x^2 + 2x$，适合用换元法简化高次方程。首先设$y = x^2 + 2x$，将原方程转化为关于$y$的一元二次方程；解出$y$的可能值后，需根据$y = x^2 + 2x$的取值范围（因$x$为实数，$y$有最小值）舍去不符合的解，从而得到正确结果。
【解析】设$y = x^2 + 2x$，原方程可化为：
$y(y - 2) - 8 = 0$
展开整理得：$y^2 - 2y - 8 = 0$
因式分解得：$(y - 4)(y + 2) = 0$
解得：$y_1 = 4$，$y_2 = -2$
因为$y = x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1$，对于实数$x$，$(x + 1)^2 ≥ 0$，所以$y ≥ -1$，因此$y = -2$不符合要求，舍去。
故$x^2 + 2x$的值为$4$，答案选B。
【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；二次式的取值范围
【点评】本题是换元法解高次方程的典型题型，通过换元简化了方程结构，关键陷阱是换元后需验证解是否符合原代数式的取值范围，避免错选A选项，考查学生对换元法的掌握和细节分析能力。
【难度系数】0.5
【解析】设$y = x^2 + 2x$，原方程可化为：
$y(y - 2) - 8 = 0$
展开整理得：$y^2 - 2y - 8 = 0$
因式分解得：$(y - 4)(y + 2) = 0$
解得：$y_1 = 4$，$y_2 = -2$
因为$y = x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1$，对于实数$x$，$(x + 1)^2 ≥ 0$，所以$y ≥ -1$，因此$y = -2$不符合要求，舍去。
故$x^2 + 2x$的值为$4$，答案选B。
【答案】B
【知识点】换元法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；二次式的取值范围
【点评】本题是换元法解高次方程的典型题型，通过换元简化了方程结构，关键陷阱是换元后需验证解是否符合原代数式的取值范围，避免错选A选项，考查学生对换元法的掌握和细节分析能力。
【难度系数】0.5
3. 已知方程 $x^{2}-6x+q=0$ 可以配方成 $(x-p)^{2}=7$，则方程 $x^{2}-6x+q=2$ 可以配方成
（
A.$(x-p)^{2}=5$
B.$(x-p)^{2}=9$
C.$(x-p+2)^{2}=9$
D.$(x-p+2)^{2}=5$
（
B
）A.$(x-p)^{2}=5$
B.$(x-p)^{2}=9$
C.$(x-p+2)^{2}=9$
D.$(x-p+2)^{2}=5$
答案
B 提示:因为$x^{2}-6x+q=0$,所以$x^{2}-6x=-q$,所以$x^{2}-6x+9=-q+9$,所以$(x-3)^{2}=9-q$.根据题意,得$p=3$,$9-q=7$,所以$q=2$.所以方程$x^{2}-6x+q=2$即为$x^{2}-6x+2=2$,所以$x^{2}-6x=0$.配方,得$x^{2}-6x+9=9$,即$(x-3)^{2}=9$,即$(x-p)^{2}=9$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先利用已知方程的配方结果求出p和q的值，再对目标方程进行配方。首先对第一个方程x²-6x+q=0用配方法变形，得到对应形式后结合已知条件确定p、q的值；再将q代入目标方程，再次用配方法变形即可得到结果。
【解析】
1. 对已知方程x²-6x+q=0配方：
移项得：x² - 6x = -q，
两边加上一次项系数一半的平方（即(-6/2)²=9），得：
x² -6x +9 = -q +9，
整理为：(x - 3)² = 9 - q。
2. 结合题意，该方程可配方为(x-p)²=7，因此对应得：p=3，9 - q=7，解得q=2。
3. 处理目标方程x² -6x + q=2：
将q=2代入，得：x² -6x +2 =2，
化简为：x² -6x =0，
再次配方，两边加9得：x² -6x +9=9，
即(x -3)²=9，又因为p=3，所以写成(x-p)²=9。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的配方
【点评】
本题主要考查配方法在一元二次方程中的应用，解题关键是先通过已知方程的配方求出p、q的值，再对目标方程进行配方，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先利用已知方程的配方结果求出p和q的值，再对目标方程进行配方。首先对第一个方程x²-6x+q=0用配方法变形，得到对应形式后结合已知条件确定p、q的值；再将q代入目标方程，再次用配方法变形即可得到结果。
【解析】
1. 对已知方程x²-6x+q=0配方：
移项得：x² - 6x = -q，
两边加上一次项系数一半的平方（即(-6/2)²=9），得：
x² -6x +9 = -q +9，
整理为：(x - 3)² = 9 - q。
2. 结合题意，该方程可配方为(x-p)²=7，因此对应得：p=3，9 - q=7，解得q=2。
3. 处理目标方程x² -6x + q=2：
将q=2代入，得：x² -6x +2 =2，
化简为：x² -6x =0，
再次配方，两边加9得：x² -6x +9=9，
即(x -3)²=9，又因为p=3，所以写成(x-p)²=9。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的配方
【点评】
本题主要考查配方法在一元二次方程中的应用，解题关键是先通过已知方程的配方求出p、q的值，再对目标方程进行配方，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
4. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2(m+2)x+9m=$
0. 若方程的左边是一个完全平方式,则 $m$
的值为
0. 若方程的左边是一个完全平方式,则 $m$
的值为
1或4
.答案
1或4
解析
【分析】首先，明确完全平方式的结构为$a^2\pm2ab+b^2$，本题中方程左边是二次三项式，需将其与完全平方式结构对比建立方程求解。具体思路：1. 确定二次项对应$a^2$，即$a=x$；2. 一次项系数对应$\pm2ab$，常数项对应$b^2$；3. 由此得到关于$m$的方程，解方程即可得到$m$的值。
【解析】因为方程$x^2 + 2(m+2)x +9m=0$的左边是完全平方式，根据完全平方式$(x\pm b)^2=x^2\pm2bx +b^2$的结构，可得：
一次项系数满足：$2(m+2)=\pm2b$，化简得$m+2=\pm b$，即$b=\pm(m+2)$；
常数项满足：$9m = b^2$；
将$b=\pm(m+2)$代入常数项等式，得：
$9m = [\pm(m+2)]^2=(m+2)^2$，
展开右边：$m^2 +4m +4$，
移项整理得：$m^2 -5m +4=0$，
因式分解：$(m-1)(m-4)=0$，
解得$m=1$或$m=4$。
【答案】1或4
【知识点】完全平方式，一元二次方程求解
【点评】本题考查完全平方式的结构特征，关键是将二次三项式与完全平方式对比建立方程，需注意完全平方式有两种形式（和或差的平方），避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】0.3
【解析】因为方程$x^2 + 2(m+2)x +9m=0$的左边是完全平方式，根据完全平方式$(x\pm b)^2=x^2\pm2bx +b^2$的结构，可得：
一次项系数满足：$2(m+2)=\pm2b$，化简得$m+2=\pm b$，即$b=\pm(m+2)$；
常数项满足：$9m = b^2$；
将$b=\pm(m+2)$代入常数项等式，得：
$9m = [\pm(m+2)]^2=(m+2)^2$，
展开右边：$m^2 +4m +4$，
移项整理得：$m^2 -5m +4=0$，
因式分解：$(m-1)(m-4)=0$，
解得$m=1$或$m=4$。
【答案】1或4
【知识点】完全平方式，一元二次方程求解
【点评】本题考查完全平方式的结构特征，关键是将二次三项式与完全平方式对比建立方程，需注意完全平方式有两种形式（和或差的平方），避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】0.3
5. 在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为 $a☆b=a^{2}+b^{2},a★b=\dfrac{ab}{2},$ 则方程$3☆x=x★12$ 的解为
$x_1=x_2=3$
.答案
$x_{1}=x_{2}=3$ 提示:根据题中的新定义,得$3☆x=9+x^{2}$,$x★12=6x$,所求方程可化为$9+x^{2}=6x$,即$(x-3)^{2}=0$,解得$x_{1}=x_{2}=3$.
解析
【分析】
首先明确题目中定义的两种新运算规则：$a☆b=a^2+b^2$，$a★b=\frac{ab}{2}$。解题时需先将方程中的“☆”和“★”按规则替换为代数式，得到关于$x$的一元二次方程，再通过移项、配方等方法求解方程，注意一元二次方程解的情况。
【解析】
根据新运算规则：
$3☆x = 3^2 + x^2 = 9 + x^2$
$x★12 = \frac{x×12}{2} = 6x$
原方程$3☆x = x★12$可转化为：
$9 + x^2 = 6x$
移项整理为一元二次方程的标准形式：
$x^2 - 6x + 9 = 0$
配方得：
$(x - 3)^2 = 0$
解得：
$x_1 = x_2 = 3$
【答案】
$x_{1}=x_{2}=3$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】
本题是新定义运算与一元二次方程结合的基础题型，核心是准确理解新运算的规则，将陌生运算转化为熟悉的代数式，再用配方法求解一元二次方程，重点考察对新定义的应用能力和一元二次方程的解法，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先明确题目中定义的两种新运算规则：$a☆b=a^2+b^2$，$a★b=\frac{ab}{2}$。解题时需先将方程中的“☆”和“★”按规则替换为代数式，得到关于$x$的一元二次方程，再通过移项、配方等方法求解方程，注意一元二次方程解的情况。
【解析】
根据新运算规则：
$3☆x = 3^2 + x^2 = 9 + x^2$
$x★12 = \frac{x×12}{2} = 6x$
原方程$3☆x = x★12$可转化为：
$9 + x^2 = 6x$
移项整理为一元二次方程的标准形式：
$x^2 - 6x + 9 = 0$
配方得：
$(x - 3)^2 = 0$
解得：
$x_1 = x_2 = 3$
【答案】
$x_{1}=x_{2}=3$
【知识点】
新定义运算、一元二次方程的解法
【点评】
本题是新定义运算与一元二次方程结合的基础题型，核心是准确理解新运算的规则，将陌生运算转化为熟悉的代数式，再用配方法求解一元二次方程，重点考察对新定义的应用能力和一元二次方程的解法，难度适中。
【难度系数】
0.6
6. 已知 $a,b,c$ 为 $△ ABC$ 的三边长,且 $a,b$ 满足 $a^{2}-6a+b^{2}-4b+13=0,c$ 为奇数,则$△ ABC$ 的周长为
8
.答案
8 提示:因为$a^{2}-6a+b^{2}-4b+13=0$,所以$(a-3)^{2}+(b-2)^{2}=0$,所以$a=3$,$b=2$,所以边长$c$的取值范围为$1＜c＜5$.因为边长$c$的值为奇数,所以$c=3$,所以$△ ABC$的周长为$2+3+3=8$.
解析
【分析】首先观察给定的等式，是两个二次式的和为0，需通过配方法将其转化为完全平方和的形式，利用平方的非负性求出a、b的值；再根据三角形三边关系（两边之差小于第三边，两边之和大于第三边）确定第三边c的取值范围，结合c为奇数的条件确定c的值，最后计算三角形周长。
【解析】对已知等式进行配方：
因为 $a^2 -6a + b^2 -4b +13=0$，将常数项13拆分为9+4，可得：
$(a^2 -6a +9) + (b^2 -4b +4)=0$，即 $(a-3)^2 + (b-2)^2=0$。
由于平方数具有非负性，即 $(a-3)^2 ≥0$，$(b-2)^2 ≥0$，要使它们的和为0，则每个平方项都为0，因此：
$a-3=0$，解得 $a=3$；
$b-2=0$，解得 $b=2$。
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$|a - b| ＜ c ＜ a + b$，代入a=3，b=2，得 $1 ＜ c ＜5$。
又因为c为奇数，所以c只能取3。
因此，△ABC的周长为 $a + b + c =3 +2 +3=8$。
【答案】8
【知识点】完全平方公式，三角形三边关系
【点评】本题综合考查配方法的应用和三角形三边关系，解题关键是通过配方求出a、b的值，再结合c的奇偶性确定c的取值，整体难度较低，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】对已知等式进行配方：
因为 $a^2 -6a + b^2 -4b +13=0$，将常数项13拆分为9+4，可得：
$(a^2 -6a +9) + (b^2 -4b +4)=0$，即 $(a-3)^2 + (b-2)^2=0$。
由于平方数具有非负性，即 $(a-3)^2 ≥0$，$(b-2)^2 ≥0$，要使它们的和为0，则每个平方项都为0，因此：
$a-3=0$，解得 $a=3$；
$b-2=0$，解得 $b=2$。
根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可得：
$|a - b| ＜ c ＜ a + b$，代入a=3，b=2，得 $1 ＜ c ＜5$。
又因为c为奇数，所以c只能取3。
因此，△ABC的周长为 $a + b + c =3 +2 +3=8$。
【答案】8
【知识点】完全平方公式，三角形三边关系
【点评】本题综合考查配方法的应用和三角形三边关系，解题关键是通过配方求出a、b的值，再结合c的奇偶性确定c的取值，整体难度较低，属于基础题型。
【难度系数】0.7
7. 你能用配方法解方程$(y-3)^{2}-4(y-3)-45 = 0$吗？小明给出了以下解题过程.
解: 移项,得$(y-3)^{2}-4(y-3)=45$.
配方,得$(y-3)^{2}-4(y-3)+4=45+4$,
即$[(y-3)-2]^{2}=49$, 所以$y-5 = \pm7$.
解得$y_{1}=12$,$y_{2}=-2$.
请你参照上述方法,用配方法解方程$(6x+7)^{2}(6x+8)(6x+6)=72$.
解: 移项,得$(y-3)^{2}-4(y-3)=45$.
配方,得$(y-3)^{2}-4(y-3)+4=45+4$,
即$[(y-3)-2]^{2}=49$, 所以$y-5 = \pm7$.
解得$y_{1}=12$,$y_{2}=-2$.
请你参照上述方法,用配方法解方程$(6x+7)^{2}(6x+8)(6x+6)=72$.
答案
解:令$y=6x+7$.由$(6x+7)^{2}(6x+8)(6x+6)=72$,得$y^{2}(y+1)(y-1)=72$,即$y^{4}-y^{2}=72$.配方,得$(y^{2}-\dfrac{1}{2})^{2}=\dfrac{289}{4}$.直接开平方,得$y^{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{17}{2}$或$y^{2}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$(舍去).所以$y^{2}=9$.所以$(6x+7)^{2}=9$.所以$6x+7=3$或$6x+7=-3$.解得$x_{1}=-\dfrac{2}{3}$,$x_{2}=-\dfrac{5}{3}$.
解析
【分析】
观察方程中各部分的关系，发现$6x+8$和$6x+6$都与$6x+7$相关，采用换元法简化方程，设$y=6x+7$，将原方程转化为关于$y$的高次方程，再把$y^2$看作整体用配方法求解，最后代回换元式求出$x$的值，过程中需注意平方数的非负性，舍去不合理的解。
【解析】
解：令$y = 6x + 7$，则$6x + 8 = y + 1$，$6x + 6 = y - 1$，原方程转化为：
$y^2(y + 1)(y - 1) = 72$
根据平方差公式展开得：
$y^2(y^2 - 1) = 72$
整理得：
$y^4 - y^2 = 72$
将方程视为关于$y^2$的二次式，用配方法配方：
两边同时加$(\frac{1}{2})^2$，得：
$y^4 - y^2 + \frac{1}{4} = 72 + \frac{1}{4}$
即$(y^2 - \frac{1}{2})^2 = \frac{289}{4}$
直接开平方得：
$y^2 - \frac{1}{2} = \pm \frac{17}{2}$
当$y^2 - \frac{1}{2} = -\frac{17}{2}$时，$y^2 = -8$，平方数非负，舍去该解；
当$y^2 - \frac{1}{2} = \frac{17}{2}$时，$y^2 = 9$，即$(6x + 7)^2 = 9$
开平方得：
$6x + 7 = \pm 3$
当$6x + 7 = 3$时，解得$x = -\frac{2}{3}$；
当$6x + 7 = -3$时，解得$x = -\frac{5}{3}$。
【答案】
$x_1 = -\frac{2}{3}, x_2 = -\frac{5}{3}$
【知识点】
配方法解方程、换元法、平方差公式
【点评】
本题通过换元法简化复杂高次方程，核心是将陌生的高次方程转化为可配方法求解的形式，需注意平方数的非负性，避免出现无意义的解，考查学生对换元思想和配方法的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
观察方程中各部分的关系，发现$6x+8$和$6x+6$都与$6x+7$相关，采用换元法简化方程，设$y=6x+7$，将原方程转化为关于$y$的高次方程，再把$y^2$看作整体用配方法求解，最后代回换元式求出$x$的值，过程中需注意平方数的非负性，舍去不合理的解。
【解析】
解：令$y = 6x + 7$，则$6x + 8 = y + 1$，$6x + 6 = y - 1$，原方程转化为：
$y^2(y + 1)(y - 1) = 72$
根据平方差公式展开得：
$y^2(y^2 - 1) = 72$
整理得：
$y^4 - y^2 = 72$
将方程视为关于$y^2$的二次式，用配方法配方：
两边同时加$(\frac{1}{2})^2$，得：
$y^4 - y^2 + \frac{1}{4} = 72 + \frac{1}{4}$
即$(y^2 - \frac{1}{2})^2 = \frac{289}{4}$
直接开平方得：
$y^2 - \frac{1}{2} = \pm \frac{17}{2}$
当$y^2 - \frac{1}{2} = -\frac{17}{2}$时，$y^2 = -8$，平方数非负，舍去该解；
当$y^2 - \frac{1}{2} = \frac{17}{2}$时，$y^2 = 9$，即$(6x + 7)^2 = 9$
开平方得：
$6x + 7 = \pm 3$
当$6x + 7 = 3$时，解得$x = -\frac{2}{3}$；
当$6x + 7 = -3$时，解得$x = -\frac{5}{3}$。
【答案】
$x_1 = -\frac{2}{3}, x_2 = -\frac{5}{3}$
【知识点】
配方法解方程、换元法、平方差公式
【点评】
本题通过换元法简化复杂高次方程，核心是将陌生的高次方程转化为可配方法求解的形式，需注意平方数的非负性，避免出现无意义的解，考查学生对换元思想和配方法的综合运用能力。
【难度系数】
0.4
8. 我们知道：$x^{2}-6x=(x^{2}-6x+9)-9=(x-3)^{2}-9$；$-x^{2}+10x=-(x^{2}-10x+25)+25=-(x-5)^{2}+25$。这一种方法称为配方法，利用配方法解答以下各题：
(1) 填空：$a^{2}-4a=\_\_\_\_\_\_=$
$-a^{2}+12a=\_\_\_\_\_\_=$
(2) 探究：当$a$取不同的实数时，代数式$a^{2}-4a$的值是否存在最小值？请说明理由。
(3) 应用：如图，已知线段$AB=6$，$M$是$AB$上的一个动点，设$AM=x$，以$AM$为一边作正方形$AMND$，再以$MB$，$MN$为一组邻边作矩形$MBCN$。当点$M$在线段$AB$上运动时，矩形$MBCN$的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由。
(1) 填空：$a^{2}-4a=\_\_\_\_\_\_=$
$(a-2)^2-4$
；$-a^{2}+12a=\_\_\_\_\_\_=$
$-(a-6)^2+36$
。(2) 探究：当$a$取不同的实数时，代数式$a^{2}-4a$的值是否存在最小值？请说明理由。
(3) 应用：如图，已知线段$AB=6$，$M$是$AB$上的一个动点，设$AM=x$，以$AM$为一边作正方形$AMND$，再以$MB$，$MN$为一组邻边作矩形$MBCN$。当点$M$在线段$AB$上运动时，矩形$MBCN$的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由。
答案
解:(1) $(a^{2}-4a+4)-4$ $(a-2)^{2}-4$
$-(a^{2}-12a+36)+36$ $-(a-6)^{2}+36$
(2) 存在.理由如下:
因为$a^{2}-4a=(a-2)^{2}-4≥-4$,所以当$a=2$时,代数式$a^{2}-4a$取得最小值,最小值为$-4$.所以当$a$取不同的实数时,$a^{2}-4a$存在最小值.
(3) 存在.根据题意,得$S=x(6-x)=-x^{2}+6x=-(x-3)^{2}+9≤9$.所以当$x=3$时,$S$取最大值,最大值为9.
$-(a^{2}-12a+36)+36$ $-(a-6)^{2}+36$
(2) 存在.理由如下:
因为$a^{2}-4a=(a-2)^{2}-4≥-4$,所以当$a=2$时,代数式$a^{2}-4a$取得最小值,最小值为$-4$.所以当$a$取不同的实数时,$a^{2}-4a$存在最小值.
(3) 存在.根据题意,得$S=x(6-x)=-x^{2}+6x=-(x-3)^{2}+9≤9$.所以当$x=3$时,$S$取最大值,最大值为9.
解析
【分析】
本题考查配方法的应用，解题思路如下：
1. 问题（1）需依据配方法规则，将二次式配成完全平方形式，即加上一次项系数一半的平方再减去该平方，完成填空；
2. 问题（2）需将代数式通过配方法转化为“完全平方+常数”的形式，利用完全平方的非负性判断是否存在最小值并求解；
3. 问题（3）需先根据几何边长关系写出矩形面积表达式，再用配方法转化为“完全平方+常数”的形式，结合变量范围判断是否存在最大值并求解。
【解析】
解：
(1) 根据配方法：
$a^2 -4a = (a^2 -4a +4) -4 = (a-2)^2 -4$；
$-a^2 +12a = -(a^2 -12a +36) +36 = -(a-6)^2 +36$；
(2) 存在最小值，理由：
将$a^2 -4a$配方得：$a^2 -4a = (a-2)^2 -4$，
因为对任意实数$a$，$(a-2)^2 ≥0$，所以$(a-2)^2 -4 ≥ -4$，
当$a=2$时，$(a-2)^2=0$，此时代数式取得最小值$-4$，故存在最小值；
(3) 存在最大值，理由：
由题意，$AM=x$，则$MB=6-x$，矩形面积$S=x(6-x)=-x^2+6x$，
配方得：$-x^2+6x = -(x^2-6x+9)+9 = -(x-3)^2 +9$，
因为$(x-3)^2 ≥0$，所以$-(x-3)^2 ≤0$，则$S ≤9$，
当$x=3$时，$S$取得最大值9，故存在最大值。
【答案】
(1) $(a^2 -4a +4)-4$；$(a-2)^2 -4$；$-(a^2 -12a +36)+36$；$-(a-6)^2 +36$；
(2) 存在，理由见解析；
(3) 存在，最大值为9。
【知识点】配方法，二次函数最值，完全平方公式
【点评】
本题围绕配方法展开，从基础配方填空，到利用完全平方非负性求代数式最值，再结合几何面积问题应用配方法，层层递进，既考查配方法的基本操作，又体现代数与几何的联系，是初中代数的基础题型。
【难度系数】0.7
本题考查配方法的应用，解题思路如下：
1. 问题（1）需依据配方法规则，将二次式配成完全平方形式，即加上一次项系数一半的平方再减去该平方，完成填空；
2. 问题（2）需将代数式通过配方法转化为“完全平方+常数”的形式，利用完全平方的非负性判断是否存在最小值并求解；
3. 问题（3）需先根据几何边长关系写出矩形面积表达式，再用配方法转化为“完全平方+常数”的形式，结合变量范围判断是否存在最大值并求解。
【解析】
解：
(1) 根据配方法：
$a^2 -4a = (a^2 -4a +4) -4 = (a-2)^2 -4$；
$-a^2 +12a = -(a^2 -12a +36) +36 = -(a-6)^2 +36$；
(2) 存在最小值，理由：
将$a^2 -4a$配方得：$a^2 -4a = (a-2)^2 -4$，
因为对任意实数$a$，$(a-2)^2 ≥0$，所以$(a-2)^2 -4 ≥ -4$，
当$a=2$时，$(a-2)^2=0$，此时代数式取得最小值$-4$，故存在最小值；
(3) 存在最大值，理由：
由题意，$AM=x$，则$MB=6-x$，矩形面积$S=x(6-x)=-x^2+6x$，
配方得：$-x^2+6x = -(x^2-6x+9)+9 = -(x-3)^2 +9$，
因为$(x-3)^2 ≥0$，所以$-(x-3)^2 ≤0$，则$S ≤9$，
当$x=3$时，$S$取得最大值9，故存在最大值。
【答案】
(1) $(a^2 -4a +4)-4$；$(a-2)^2 -4$；$-(a^2 -12a +36)+36$；$-(a-6)^2 +36$；
(2) 存在，理由见解析；
(3) 存在，最大值为9。
【知识点】配方法，二次函数最值，完全平方公式
【点评】
本题围绕配方法展开，从基础配方填空，到利用完全平方非负性求代数式最值，再结合几何面积问题应用配方法，层层递进，既考查配方法的基本操作，又体现代数与几何的联系，是初中代数的基础题型。
【难度系数】0.7
