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1. 某商家购进一批沙棘汁,每天可售出 160 盒,平均每盒盈利 70 元,后经市场调查发现,当平均每盒盈利减少 1 元时,每天可多售出 8 盒.若要每天盈利 16 000 元,设平均每盒盈利减少$x$元,则可列方程为
(70-x)(160+8x)=16 000
.答案
(70-x)(160+8x)=16 000
解析:平均每盒盈利减少x元后,平均每盒盈利(70-x)元,每天售出(160+8x)盒,则(70-x)(160+8x)=16 000.
解析:平均每盒盈利减少x元后,平均每盒盈利(70-x)元,每天售出(160+8x)盒,则(70-x)(160+8x)=16 000.
解析
【分析】首先明确题目中的变量关系：设平均每盒盈利减少$x$元，那么每盒的盈利变为原来的70元减去减少的$x$元，即$(70-x)$元；销售量方面，原来每天售160盒，每减少1元多售8盒，减少$x$元就多售$8x$盒，所以总销售量为$(160+8x)$盒。总盈利=每盒盈利×销售量，题目要求每天盈利16000元，据此列出方程。
【解析】根据题意，平均每盒盈利减少$x$元后，每盒盈利为$(70 - x)$元；每天的销售量在原来160盒的基础上，因每减少1元多售8盒，减少$x$元则多售$8x$盒，故每天销售量为$(160 + 8x)$盒。由于总盈利=每盒盈利×销售量，要达到每天盈利16000元，因此可列方程为：$(70 - x)(160 + 8x) = 16000$。
【答案】$(70-x)(160+8x)=16000$
【知识点】一元二次方程的应用、销售问题
【点评】本题属于一元二次方程在销售盈利问题中的基础应用，核心是理清“每盒盈利”和“销售量”随价格变化的关系，进而根据总盈利的公式列方程，难度不大，是常见的基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】根据题意，平均每盒盈利减少$x$元后，每盒盈利为$(70 - x)$元；每天的销售量在原来160盒的基础上，因每减少1元多售8盒，减少$x$元则多售$8x$盒，故每天销售量为$(160 + 8x)$盒。由于总盈利=每盒盈利×销售量，要达到每天盈利16000元，因此可列方程为：$(70 - x)(160 + 8x) = 16000$。
【答案】$(70-x)(160+8x)=16000$
【知识点】一元二次方程的应用、销售问题
【点评】本题属于一元二次方程在销售盈利问题中的基础应用，核心是理清“每盒盈利”和“销售量”随价格变化的关系，进而根据总盈利的公式列方程，难度不大，是常见的基础题型。
【难度系数】0.6
2. 一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买了一批树苗,园林公司规定:如果购买树苗不超过 60 棵,每棵售价为 120 元;如果购买树苗超过 60 棵,在一定范围内,每增加 1 棵,所出售的这批树苗每棵售价降低 0.5 元,若该校最终向园林公司支付树苗款 8 800 元,设该校共购买了$x$棵树苗,则可列出方程:
x[120-0.5(x-60)]=8 800
.答案
x[120-0.5(x-60)]=8 800
解析:当x=60时,支付树苗款为60×120=7 200(元)＜8 800元,
∴x＞60,每棵售价为[120-0.5(x-60)]元,可列方程为x[120-0.5(x-60)]=8 800.
解析:当x=60时,支付树苗款为60×120=7 200(元)＜8 800元,
∴x＞60,每棵售价为[120-0.5(x-60)]元,可列方程为x[120-0.5(x-60)]=8 800.
解析
【分析】首先需判断该校购买树苗的数量是否超过60棵：先计算购买60棵树苗的总费用为60×120=7200元，而实际支付的树苗款为8800元，7200元＜8800元，因此可确定购买的树苗数量x＞60；当x＞60时，每增加1棵树苗，每棵售价降低0.5元，超过60棵的部分为(x-60)棵，对应每棵售价降低0.5(x-60)元，此时每棵树苗的售价为[120 - 0.5(x-60)]元；最后根据“总树苗款=树苗棵数×每棵树苗售价”的等量关系，即可列出方程。
【解析】第一步，判断x的范围：若购买60棵树苗，总费用为60×120=7200元，由于7200元＜8800元，因此该校购买的树苗数量x＞60；第二步，计算x＞60时的树苗单价：每棵售价为120元减去超过60棵部分对应的降价，即[120 - 0.5(x-60)]元；第三步，根据总费用的等量关系，总树苗款为8800元，因此可列出方程：x[120 - 0.5(x - 60)] = 8800。
【答案】x[120 - 0.5(x - 60)] = 8800
【知识点】一元二次方程的应用、实际问题列代数式
【点评】本题是结合实际生活的数学应用问题，核心是先通过计算验证购买数量的范围，再结合售价变化规则表示单价，最终根据等量关系列方程，解题关键在于准确判断x的取值范围，避免错误表示单价。
【难度系数】0.5
【解析】第一步，判断x的范围：若购买60棵树苗，总费用为60×120=7200元，由于7200元＜8800元，因此该校购买的树苗数量x＞60；第二步，计算x＞60时的树苗单价：每棵售价为120元减去超过60棵部分对应的降价，即[120 - 0.5(x-60)]元；第三步，根据总费用的等量关系，总树苗款为8800元，因此可列出方程：x[120 - 0.5(x - 60)] = 8800。
【答案】x[120 - 0.5(x - 60)] = 8800
【知识点】一元二次方程的应用、实际问题列代数式
【点评】本题是结合实际生活的数学应用问题，核心是先通过计算验证购买数量的范围，再结合售价变化规则表示单价，最终根据等量关系列方程，解题关键在于准确判断x的取值范围，避免错误表示单价。
【难度系数】0.5
3. (2025·东营中考)某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章,成本价为每个50元,以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售,售价$x$(元/个)与每天销售量$y$(个)的对应值表格如下:
(1)求出$y$与$x$的函数表达式,并写出自变量的取值范围.
(2)当售价定为多少元/个时,每天的利润可达到6 000元?
(1)求出$y$与$x$的函数表达式,并写出自变量的取值范围.
(2)当售价定为多少元/个时,每天的利润可达到6 000元?
答案
(1)由题意可知,y是x的一次函数.设y与x的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把(52,760),(53,740)分别代入,得
$\begin{cases}760=52k+b,\\740=53k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-20,\\b=1\ 800,\end{cases}$
∴y与x的函数表达式为y=-20x+1 800(50≤x≤75).
(2)根据题意,得(x-50)y=6 000,
∴(x-50)(-20x+1 800)=6 000.整理,得x²-140x+4 800=0.解得x₁=60,x₂=80.
∵50≤x≤75,
∴x=60.
答:当售价定为60元/个时,每天的利润可达到6 000元.
$\begin{cases}760=52k+b,\\740=53k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-20,\\b=1\ 800,\end{cases}$
∴y与x的函数表达式为y=-20x+1 800(50≤x≤75).
(2)根据题意,得(x-50)y=6 000,
∴(x-50)(-20x+1 800)=6 000.整理,得x²-140x+4 800=0.解得x₁=60,x₂=80.
∵50≤x≤75,
∴x=60.
答:当售价定为60元/个时,每天的利润可达到6 000元.
解析
【分析】
第(1)问：观察表格中售价x和销售量y的变化，发现x每增加1，y减少20，符合一次函数的特征，因此设y与x的函数表达式为一次函数形式，代入两组对应值求解系数，再结合题目中售价的限制条件确定自变量范围；第(2)问利用“利润=(售价-成本)×销售量”的关系，将第(1)问的函数表达式代入，得到关于售价的一元二次方程，解方程后根据售价的取值范围舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 由表格数据可知，y与x是一次函数关系，设函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$(52,760)$、$(53,740)$代入表达式，得：
$\begin{cases}52k + b = 760 \\53k + b = 740 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-20 \\b=1800 \end{cases}$，因此函数表达式为$y=-20x + 1800$。
根据题意，售价不低于成本50元且不超过75元，故自变量x的取值范围是$50≤x≤75$。
(2) 每天的利润为$(x-50)y$，已知利润为6000元，代入$y=-20x+1800$，得：
$(x-50)(-20x + 1800)=6000$
整理得：$x^2 -140x +4800=0$，解得$x_1=60$，$x_2=80$。
结合$50≤x≤75$，舍去$x=80$，故$x=60$。
【答案】
(1) $y$与$x$的函数表达式为$y=-20x+1800$，自变量$x$的取值范围是$50≤x≤75$；
(2) 当售价定为60元/个时，每天的利润可达到6000元。
【知识点】
一次函数应用、一元二次方程应用
【点评】
本题是典型的销售利润类实际应用题，核心是建立函数关系和方程，解题时需注意根据实际意义确定自变量的取值范围，对解进行合理取舍，属于常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问：观察表格中售价x和销售量y的变化，发现x每增加1，y减少20，符合一次函数的特征，因此设y与x的函数表达式为一次函数形式，代入两组对应值求解系数，再结合题目中售价的限制条件确定自变量范围；第(2)问利用“利润=(售价-成本)×销售量”的关系，将第(1)问的函数表达式代入，得到关于售价的一元二次方程，解方程后根据售价的取值范围舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 由表格数据可知，y与x是一次函数关系，设函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
将$(52,760)$、$(53,740)$代入表达式，得：
$\begin{cases}52k + b = 760 \\53k + b = 740 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-20 \\b=1800 \end{cases}$，因此函数表达式为$y=-20x + 1800$。
根据题意，售价不低于成本50元且不超过75元，故自变量x的取值范围是$50≤x≤75$。
(2) 每天的利润为$(x-50)y$，已知利润为6000元，代入$y=-20x+1800$，得：
$(x-50)(-20x + 1800)=6000$
整理得：$x^2 -140x +4800=0$，解得$x_1=60$，$x_2=80$。
结合$50≤x≤75$，舍去$x=80$，故$x=60$。
【答案】
(1) $y$与$x$的函数表达式为$y=-20x+1800$，自变量$x$的取值范围是$50≤x≤75$；
(2) 当售价定为60元/个时，每天的利润可达到6000元。
【知识点】
一次函数应用、一元二次方程应用
【点评】
本题是典型的销售利润类实际应用题，核心是建立函数关系和方程，解题时需注意根据实际意义确定自变量的取值范围，对解进行合理取舍，属于常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
4. (安顺中考)某旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游,推出了如下收费标准:
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游,共支付给旅行社旅游费用27 000元,请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游?
某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游,共支付给旅行社旅游费用27 000元,请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游?
答案
设该单位这次共有x名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游,
因为25×1 000=25 000(元)＜27 000元,所以x＞25,
则人均费用为[1 000-20(x-25)]元.
由题意得x[1 000-20(x-25)]=27 000,
整理得x²-75x+1 350=0,解得x₁=45,x₂=30.
当x=45时,人均旅游费用为1 000-20×(45-25)=600(元)＜700元,不符合题意,应舍去.
当x=30时,人均旅游费用为1 000-20×(30-25)=900(元)＞700元,符合题意.
故该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游.
因为25×1 000=25 000(元)＜27 000元,所以x＞25,
则人均费用为[1 000-20(x-25)]元.
由题意得x[1 000-20(x-25)]=27 000,
整理得x²-75x+1 350=0,解得x₁=45,x₂=30.
当x=45时,人均旅游费用为1 000-20×(45-25)=600(元)＜700元,不符合题意,应舍去.
当x=30时,人均旅游费用为1 000-20×(30-25)=900(元)＞700元,符合题意.
故该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游.
解析
【分析】
首先判断员工人数是否超过25人：计算25人的总费用为25×1000=25000元，小于实际支付的27000元，因此员工人数超过25人。设员工人数为x，根据收费标准，人均费用为“1000元减去超过25人部分每人降低的20元”，结合总费用=人数×人均费用列方程，最后需根据“人均费用不低于700元”的条件，舍去不符合实际的解，得到正确结果。
【解析】
设该单位这次共有x名员工去旅游。
因为25×1000=25000（元），25000＜27000，所以x＞25。
此时人均旅游费用为：1000 - 20(x - 25) = 1500 - 20x（元）。
根据总费用为27000元，列方程：
x(1500 - 20x) = 27000
整理得：x² - 75x + 1350 = 0
解得：x₁=45，x₂=30。
检验：
当x=45时，人均费用为1500 - 20×45=600元，600＜700，不符合“人均旅游费用不低于700元”的条件，舍去；
当x=30时，人均费用为1500 - 20×30=900元，900＞700，符合题意。
【答案】30名
【知识点】一元二次方程的应用、实际问题的检验
【点评】本题需先判断人数范围，再结合收费标准列方程，核心是要验证方程的解是否符合实际的费用限制，避免出现人均费用低于最低标准的情况，考查了学生对一元二次方程解的合理性的判断能力。
【难度系数】0.6
首先判断员工人数是否超过25人：计算25人的总费用为25×1000=25000元，小于实际支付的27000元，因此员工人数超过25人。设员工人数为x，根据收费标准，人均费用为“1000元减去超过25人部分每人降低的20元”，结合总费用=人数×人均费用列方程，最后需根据“人均费用不低于700元”的条件，舍去不符合实际的解，得到正确结果。
【解析】
设该单位这次共有x名员工去旅游。
因为25×1000=25000（元），25000＜27000，所以x＞25。
此时人均旅游费用为：1000 - 20(x - 25) = 1500 - 20x（元）。
根据总费用为27000元，列方程：
x(1500 - 20x) = 27000
整理得：x² - 75x + 1350 = 0
解得：x₁=45，x₂=30。
检验：
当x=45时，人均费用为1500 - 20×45=600元，600＜700，不符合“人均旅游费用不低于700元”的条件，舍去；
当x=30时，人均费用为1500 - 20×30=900元，900＞700，符合题意。
【答案】30名
【知识点】一元二次方程的应用、实际问题的检验
【点评】本题需先判断人数范围，再结合收费标准列方程，核心是要验证方程的解是否符合实际的费用限制，避免出现人均费用低于最低标准的情况，考查了学生对一元二次方程解的合理性的判断能力。
【难度系数】0.6
5. 某超市销售一批玩具,平均每天可售出120件,每件盈利4元,市场调查发现售价每涨1元,销售量减少10件;售价每降1元,销售量增加10件.爱动脑的嘉嘉发现:在一定范围内,涨$a$元与降$b$元所获得的利润相同,则$a$与$b$满足（
A.$a-b=4$
B.$a-b=8$
C.$a+b=4$
D.$a+b=8$
B
）A.$a-b=4$
B.$a-b=8$
C.$a+b=4$
D.$a+b=8$
答案
B 解析:当涨价x元时,每天的利润为(4+x)(120-10x)=(-10x²+80x+480)元,降b元可视为涨-b元,设涨a元与降b元所获得的利润均为m,则由题意可得a和-b分别是一元二次方程-10x²+80x+480=m的两个根,由根与系数的关系可得a+(-b)=a-b=8,故选B.
解析
【分析】
要解决该问题，需先明确售价涨a元、降b元时的盈利与销售量变化，再结合利润公式（利润=每件盈利×销售量）分别计算两种情况的利润，根据“利润相同”建立等式，通过因式分解推导a与b的关系。
【解析】
解：
1. 计算售价涨a元时的利润：
每件盈利为$(4+a)$元，每天销售量为$(120-10a)$件，因此利润为：
$(4+a)(120 - 10a) = -10a^2 + 80a + 480$；
2. 计算售价降b元时的利润：
每件盈利为$(4 - b)$元，每天销售量为$(120 + 10b)$件，因此利润为：
$(4 - b)(120 + 10b) = -10b^2 + 80b + 480$；
3. 根据“涨a元与降b元利润相同”列等式：
$-10a^2 + 80a + 480 = -10b^2 + 80b + 480$；
两边减480再除以-10得：$a^2 - 8a = b^2 - 8b$；
移项整理：$a^2 - b^2 - 8a + 8b = 0$；
因式分解：$(a - b)(a + b) - 8(a - b) = 0$；
提取公因式得：$(a - b)(a + b - 8) = 0$；
因a、b为正数（涨价、降价金额大于0），故$a + b - 8 ≠ 0$，因此$a - b = 8$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用、根与系数的关系
【点评】
本题是销售利润与一元二次方程结合的典型题，核心是利用利润相等建立方程，通过因式分解推导变量关系，也可借助一元二次方程根与系数的关系简化计算，需掌握利润公式及方程变形技巧，难度适中。
【难度系数】
0.4
要解决该问题，需先明确售价涨a元、降b元时的盈利与销售量变化，再结合利润公式（利润=每件盈利×销售量）分别计算两种情况的利润，根据“利润相同”建立等式，通过因式分解推导a与b的关系。
【解析】
解：
1. 计算售价涨a元时的利润：
每件盈利为$(4+a)$元，每天销售量为$(120-10a)$件，因此利润为：
$(4+a)(120 - 10a) = -10a^2 + 80a + 480$；
2. 计算售价降b元时的利润：
每件盈利为$(4 - b)$元，每天销售量为$(120 + 10b)$件，因此利润为：
$(4 - b)(120 + 10b) = -10b^2 + 80b + 480$；
3. 根据“涨a元与降b元利润相同”列等式：
$-10a^2 + 80a + 480 = -10b^2 + 80b + 480$；
两边减480再除以-10得：$a^2 - 8a = b^2 - 8b$；
移项整理：$a^2 - b^2 - 8a + 8b = 0$；
因式分解：$(a - b)(a + b) - 8(a - b) = 0$；
提取公因式得：$(a - b)(a + b - 8) = 0$；
因a、b为正数（涨价、降价金额大于0），故$a + b - 8 ≠ 0$，因此$a - b = 8$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用、根与系数的关系
【点评】
本题是销售利润与一元二次方程结合的典型题，核心是利用利润相等建立方程，通过因式分解推导变量关系，也可借助一元二次方程根与系数的关系简化计算，需掌握利润公式及方程变形技巧，难度适中。
【难度系数】
0.4
