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15. 一个矩形纸片内放入两个边长分别为 3 cm和 4 cm 的小正方形纸片.按照图①放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分(阴影部分)的面积为$8\ \mathrm{cm^{2}}$；按照图②放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为$11\ \mathrm{cm^{2}}$；按照图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（
A.$5\ \mathrm{cm^{2}}$
B.$6\ \mathrm{cm^{2}}$
C.$7\ \mathrm{cm^{2}}$
D.$8\ \mathrm{cm^{2}}$
C
）A.$5\ \mathrm{cm^{2}}$
B.$6\ \mathrm{cm^{2}}$
C.$7\ \mathrm{cm^{2}}$
D.$8\ \mathrm{cm^{2}}$
答案
15. C 解析:设矩形的长为$x$ cm,宽为$y$ cm,根据题意可得$\begin{cases} xy=16+3(x-4)+8, &① \\ xy=16+3(y-4)+11, &② \end{cases}$
(②-①)÷3可得出$y-x+1=0$,即$x=y+1$ ③,将③代入②中可得$y(y+1)=16+3(y-4)+11$,整理得$y^2-2y-15=0$,解得$y_1=5$或$y_2=-3$(舍去),则$x=y+1=6$,则矩形的宽为5 cm,长为6 cm,按照题图③放置的时候,未覆盖的面积为$(x-4)(y-3)+(x-3)(y-4)=2×2+3×1=7(\mathrm{cm^2})$,故选C.
(②-①)÷3可得出$y-x+1=0$,即$x=y+1$ ③,将③代入②中可得$y(y+1)=16+3(y-4)+11$,整理得$y^2-2y-15=0$,解得$y_1=5$或$y_2=-3$(舍去),则$x=y+1=6$,则矩形的宽为5 cm,长为6 cm,按照题图③放置的时候,未覆盖的面积为$(x-4)(y-3)+(x-3)(y-4)=2×2+3×1=7(\mathrm{cm^2})$,故选C.
解析
【分析】
设矩形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。观察图①、图②的阴影面积与矩形、两个正方形的面积关系，列出关于$x$、$y$的方程，求出矩形的长和宽，再根据图③的图形结构计算未覆盖面积。
【解析】
设矩形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，两个小正方形的面积和为$3^2 + 4^2 = 25\ \mathrm{cm^2}$。
根据图①阴影面积为$8\ \mathrm{cm^2}$，得矩形面积：
$xy = 16 + 3(x - 4) + 8$ ①
根据图②阴影面积为$11\ \mathrm{cm^2}$，得矩形面积：
$xy = 16 + 3(y - 4) + 11$ ②
用② - ①化简得：
$0 = 3(y - x) + 3$，即$x = y + 1$ ③
将③代入②式，整理得：
$y^2 - 2y - 15 = 0$，解得$y = 5$（$y=-3$舍去），则$x = 5 + 1 = 6$。
计算图③的未覆盖面积：
未覆盖部分为两部分，面积和为：
$(x - 4)(y - 3) + (x - 3)(y - 4) = (6-4)(5-3)+(6-3)(5-4)= 2×2 + 3×1 = 7\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
C
【知识点】
矩形面积、正方形面积、二元一次方程应用
【点评】
本题通过三种图形放置方式的面积关系建立方程，核心是根据图形结构推导面积表达式，求解矩形边长后计算目标面积，需理清各部分面积的关联，难度中等。
【难度系数】
0.5
设矩形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。观察图①、图②的阴影面积与矩形、两个正方形的面积关系，列出关于$x$、$y$的方程，求出矩形的长和宽，再根据图③的图形结构计算未覆盖面积。
【解析】
设矩形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，两个小正方形的面积和为$3^2 + 4^2 = 25\ \mathrm{cm^2}$。
根据图①阴影面积为$8\ \mathrm{cm^2}$，得矩形面积：
$xy = 16 + 3(x - 4) + 8$ ①
根据图②阴影面积为$11\ \mathrm{cm^2}$，得矩形面积：
$xy = 16 + 3(y - 4) + 11$ ②
用② - ①化简得：
$0 = 3(y - x) + 3$，即$x = y + 1$ ③
将③代入②式，整理得：
$y^2 - 2y - 15 = 0$，解得$y = 5$（$y=-3$舍去），则$x = 5 + 1 = 6$。
计算图③的未覆盖面积：
未覆盖部分为两部分，面积和为：
$(x - 4)(y - 3) + (x - 3)(y - 4) = (6-4)(5-3)+(6-3)(5-4)= 2×2 + 3×1 = 7\ \mathrm{cm^2}$
【答案】
C
【知识点】
矩形面积、正方形面积、二元一次方程应用
【点评】
本题通过三种图形放置方式的面积关系建立方程，核心是根据图形结构推导面积表达式，求解矩形边长后计算目标面积，需理清各部分面积的关联，难度中等。
【难度系数】
0.5
16. (宜昌中考)某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大. 该厂 3,4 月份共生产再生纸 800 吨,其中 4 月份再生纸产量比3 月份的 2 倍少 100 吨.
(1)求 4 月份再生纸的产量.
(2)若 4 月份每吨再生纸的利润为 1 000 元,5 月份再生纸产量比上月增加 $m\%$. 5 月份每吨再生纸的利润比上月增加$\dfrac{m}{2}\%$,则 5 月份再生纸项目月利润达到 66 万元,求 $m$ 的值.
(3)若 4 月份每吨再生纸的利润为 1 200 元,4 至 6 月份每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6 月份再生纸项目月利润比上月增加了25%. 求 6 月份每吨再生纸的利润是多少元.
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(1)求 4 月份再生纸的产量.
(2)若 4 月份每吨再生纸的利润为 1 000 元,5 月份再生纸产量比上月增加 $m\%$. 5 月份每吨再生纸的利润比上月增加$\dfrac{m}{2}\%$,则 5 月份再生纸项目月利润达到 66 万元,求 $m$ 的值.
(3)若 4 月份每吨再生纸的利润为 1 200 元,4 至 6 月份每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6 月份再生纸项目月利润比上月增加了25%. 求 6 月份每吨再生纸的利润是多少元.
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答案
16. (1)设3月份再生纸产量为$x$吨,则4月份的再生纸产量为$(2x-100)$吨,由题意得$x+(2x-100)=800$,解得$x=300$,$\therefore 2x-100=500$.故4月份再生纸的产量为500吨.
(2)由题意得$500(1+m\%)·1\ 000(1+\dfrac{m}{2}\%)=660\ 000$,解得$m\%=20\%$(负值已舍去),$\therefore m=20$,$\therefore m$的值为20.
(3)设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为$y$,5月份再生纸的产量为$a$吨,$1\ 200(1+y)^2· a(1+y)=(1+25\%)×1\ 200·(1+y)· a$,$\therefore 1\ 200(1+y)^2=1\ 500$,故6月份每吨再生纸的利润是1 500元.
(2)由题意得$500(1+m\%)·1\ 000(1+\dfrac{m}{2}\%)=660\ 000$,解得$m\%=20\%$(负值已舍去),$\therefore m=20$,$\therefore m$的值为20.
(3)设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为$y$,5月份再生纸的产量为$a$吨,$1\ 200(1+y)^2· a(1+y)=(1+25\%)×1\ 200·(1+y)· a$,$\therefore 1\ 200(1+y)^2=1\ 500$,故6月份每吨再生纸的利润是1 500元.
解析
【分析】
本题为方程应用类中考题，分三小问逐步求解：
(1) 第一问是和差倍分问题，设3月份产量为未知数，根据4月与3月产量的关系表示4月产量，结合两月总产量列一元一次方程；
(2) 第二问是利润问题，先表示5月的产量和每吨利润，再根据总利润=产量×每吨利润，结合5月总利润列方程；
(3) 第三问是增长率问题，设利润月平均增长率为未知数，可知产量增长率也为该未知数，根据6月总利润与4月总利润的关系列方程，化简后求6月每吨利润。
【解析】
(1) 设3月份再生纸产量为$ x $吨，则4月份产量为$ (2x - 100) $吨，由两月总产量800吨得：
$ x + (2x - 100) = 800 $
解得$ x = 300 $，则4月份产量为$ 2×300 - 100 = 500 $吨。
(2) 4月份产量为500吨，5月份产量为$ 500(1 + m\%) $吨，每吨利润为$ 1000(1 + \frac{m}{2}\%) $元，总利润66万元即660000元，列方程：
$ 500(1 + m\%)×1000(1 + \frac{m}{2}\%) = 660000 $
化简得$ (1 + m\%)(1 + \frac{m}{2}\%) = 1.32 $，设$ m\% = t $，解得$ t = 0.2 $（负值舍去），故$ m = 20 $。
(3) 设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为$ y $，则6月份每吨利润为$ 1200(1 + y)^2 $元；设4月份产量为$ a $吨，则6月份产量为$ a(1 + y) $吨。6月总利润比4月增加25%，列方程：
$ 1200(1 + y)^2 × a(1 + y) = 1.25×1200×a $
约去公共项后得$ 1200(1 + y)^2 = 1500 $，即6月份每吨再生纸利润为1500元。
【答案】
(1)500吨；(2)20；(3)1500元
【知识点】
一元一次方程应用、一元二次方程应用、增长率问题
【点评】
本题为中考常规应用题，分三小问逐步考查方程思想，需理清各量关系、合理设元，注意舍去不合理解，难度适中，能有效考查学生的应用能力。
【难度系数】
0.6
本题为方程应用类中考题，分三小问逐步求解：
(1) 第一问是和差倍分问题，设3月份产量为未知数，根据4月与3月产量的关系表示4月产量，结合两月总产量列一元一次方程；
(2) 第二问是利润问题，先表示5月的产量和每吨利润，再根据总利润=产量×每吨利润，结合5月总利润列方程；
(3) 第三问是增长率问题，设利润月平均增长率为未知数，可知产量增长率也为该未知数，根据6月总利润与4月总利润的关系列方程，化简后求6月每吨利润。
【解析】
(1) 设3月份再生纸产量为$ x $吨，则4月份产量为$ (2x - 100) $吨，由两月总产量800吨得：
$ x + (2x - 100) = 800 $
解得$ x = 300 $，则4月份产量为$ 2×300 - 100 = 500 $吨。
(2) 4月份产量为500吨，5月份产量为$ 500(1 + m\%) $吨，每吨利润为$ 1000(1 + \frac{m}{2}\%) $元，总利润66万元即660000元，列方程：
$ 500(1 + m\%)×1000(1 + \frac{m}{2}\%) = 660000 $
化简得$ (1 + m\%)(1 + \frac{m}{2}\%) = 1.32 $，设$ m\% = t $，解得$ t = 0.2 $（负值舍去），故$ m = 20 $。
(3) 设4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率为$ y $，则6月份每吨利润为$ 1200(1 + y)^2 $元；设4月份产量为$ a $吨，则6月份产量为$ a(1 + y) $吨。6月总利润比4月增加25%，列方程：
$ 1200(1 + y)^2 × a(1 + y) = 1.25×1200×a $
约去公共项后得$ 1200(1 + y)^2 = 1500 $，即6月份每吨再生纸利润为1500元。
【答案】
(1)500吨；(2)20；(3)1500元
【知识点】
一元一次方程应用、一元二次方程应用、增长率问题
【点评】
本题为中考常规应用题，分三小问逐步考查方程思想，需理清各量关系、合理设元，注意舍去不合理解，难度适中，能有效考查学生的应用能力。
【难度系数】
0.6
