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7. 近几年,我国的环境问题主要表现在污染物排放总量比较大.某工厂在今年的8,9月份连续两次降低重金属污染物排放量,共降至原来的72%,且第二次降低的百分率是第一次的2倍,则第二次降低的百分率为 （
A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
B
）A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
答案
7. B 解析:设第二次降低的百分率为$x$,则第一次降低的百分率为$0.5x$,由题意得$(1-0.5x)(1-x)=0.72$,解得$x_1=20\%$,$x_2=280\%$(舍去).故选B.
解析
【分析】这是一元二次方程在降低率问题中的应用，解题思路是：首先根据“第二次降低的百分率是第一次的2倍”设出两个降低率，将原来的污染物排放量看作单位1，分别表示出两次降低后的排放量，再结合“两次降低后共降至原来的72%”这一等量关系列出方程，解方程后舍去不符合实际意义的解，即可得到第二次降低的百分率。
【解析】设第二次降低的百分率为$ x $，则第一次降低的百分率为$ \frac{x}{2} $。将原来的污染物排放量看作单位1，第一次降低后的排放量为$ 1 - \frac{x}{2} $，第二次降低后的排放量为$ (1 - \frac{x}{2})(1 - x) $。根据题意，两次降低后排放量为原来的72%，即：
$(1 - \frac{x}{2})(1 - x) = 0.72$
展开并整理方程：
$1 - x - 0.5x + 0.5x^2 = 0.72 \\0.5x^2 - 1.5x + 0.28 = 0 \x^2 - 3x + 0.56 = 0$
用求根公式计算（$ a=1, b=-3, c=0.56 $）：
$\Delta = (-3)^2 - 4 × 1 × 0.56 = 6.76, \quad \sqrt{\Delta}=2.6$
解得：
$x_1 = \frac{3 + 2.6}{2}=2.8 \ (\mathrm{即} \ 280\%，不符合实际，舍去) \x_2 = \frac{3 - 2.6}{2}=0.2=20\%$
因此第二次降低的百分率为20%，故选B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用（降低率问题）、百分率的实际应用
【点评】本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，核心是找准等量关系，注意降低率的取值范围（0＜降低率＜1），舍去不符合实际的解，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】设第二次降低的百分率为$ x $，则第一次降低的百分率为$ \frac{x}{2} $。将原来的污染物排放量看作单位1，第一次降低后的排放量为$ 1 - \frac{x}{2} $，第二次降低后的排放量为$ (1 - \frac{x}{2})(1 - x) $。根据题意，两次降低后排放量为原来的72%，即：
$(1 - \frac{x}{2})(1 - x) = 0.72$
展开并整理方程：
$1 - x - 0.5x + 0.5x^2 = 0.72 \\0.5x^2 - 1.5x + 0.28 = 0 \x^2 - 3x + 0.56 = 0$
用求根公式计算（$ a=1, b=-3, c=0.56 $）：
$\Delta = (-3)^2 - 4 × 1 × 0.56 = 6.76, \quad \sqrt{\Delta}=2.6$
解得：
$x_1 = \frac{3 + 2.6}{2}=2.8 \ (\mathrm{即} \ 280\%，不符合实际，舍去) \x_2 = \frac{3 - 2.6}{2}=0.2=20\%$
因此第二次降低的百分率为20%，故选B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用（降低率问题）、百分率的实际应用
【点评】本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，核心是找准等量关系，注意降低率的取值范围（0＜降低率＜1），舍去不符合实际的解，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
8. 教材变式 （2025 · 苏州期中）如图，在宽为20 m、长为32 m 的矩形地面上修同样宽的小路(阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为$540\ \mathrm{m}^2$，则小路的宽为 （
A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
A
）A.2 m
B.3 m
C.4 m
D.5 m
答案
8. A 解析:利用平移,原图可转化为下图：
设小路宽为$x$ m,则种草坪部分的宽为$(20-x)$m,长为$(32-x)$m,根据题意得$(20-x)(32-x)=540$,解得$x=2$或$x=50$(舍去),则小路的宽为2 m.
解析
【分析】
本题可通过平移法将不规则的草坪转化为规则矩形，简化面积计算。核心思路是：把阴影小路向矩形边缘平移，使草坪组成新的矩形，新矩形的长和宽分别为原矩形长、宽减去小路宽度，再结合草坪面积列方程求解，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $，将阴影小路平移后，草坪可组成长为$ (32 - x) \, \mathrm{m} $、宽为$ (20 - x) \, \mathrm{m} $的矩形。
根据草坪面积为$ 540 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$(20 - x)(32 - x) = 540$
展开并整理得：
$x^2 - 52x + 100 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{52 \pm \sqrt{52^2 - 4 × 100}}{2} = \frac{52 \pm 48}{2}$
得到$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 50 $。
因为小路宽不可能超过原矩形的宽（20m），所以$ x = 50 $不符合实际，舍去。
因此小路的宽为$ 2 \, \mathrm{m} $。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用、图形面积计算
【点评】
本题通过平移转化不规则图形，是解决此类面积问题的常用技巧，考查一元二次方程在实际问题中的应用，属于基础应用题，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题可通过平移法将不规则的草坪转化为规则矩形，简化面积计算。核心思路是：把阴影小路向矩形边缘平移，使草坪组成新的矩形，新矩形的长和宽分别为原矩形长、宽减去小路宽度，再结合草坪面积列方程求解，舍去不符合实际的解即可。
【解析】
设小路的宽为$ x \, \mathrm{m} $，将阴影小路平移后，草坪可组成长为$ (32 - x) \, \mathrm{m} $、宽为$ (20 - x) \, \mathrm{m} $的矩形。
根据草坪面积为$ 540 \, \mathrm{m}^2 $，列方程：
$(20 - x)(32 - x) = 540$
展开并整理得：
$x^2 - 52x + 100 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{52 \pm \sqrt{52^2 - 4 × 100}}{2} = \frac{52 \pm 48}{2}$
得到$ x_1 = 2 $，$ x_2 = 50 $。
因为小路宽不可能超过原矩形的宽（20m），所以$ x = 50 $不符合实际，舍去。
因此小路的宽为$ 2 \, \mathrm{m} $。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用、图形面积计算
【点评】
本题通过平移转化不规则图形，是解决此类面积问题的常用技巧，考查一元二次方程在实际问题中的应用，属于基础应用题，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
9. 如图,张大叔从市场上买了一块矩形铁皮,他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多2米,现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱,则张大叔购买这张矩形铁皮共花费 （
A.600元
B.700元
C.800元
D.900元
B
）A.600元
B.700元
C.800元
D.900元
答案
9. B 解析:设长方体箱子宽为$x$米,则长为$(x+2)$米.依题意,有$x(x+2)×1=15$.整理得$x^2+2x-15=0$,解得$x_1=-5$(舍去),$x_2=3$,$\therefore$这种长方体箱子的底面长为5米,宽为3米.由长方体展开图可知,所购买矩形铁皮面积为$(5+2)×(3+2)=35$(平方米),$\therefore$购买这张矩形铁皮共花费$35×20=700$(元).故选B.
解析
【分析】
要解决该问题，需先通过长方体箱子的容积求出其底面长和宽，再结合剪去正方形的边长得到原矩形铁皮的长和宽，最终计算总花费。具体思路：1. 设长方体箱子的宽为$x$米，长为$(x+2)$米，高为剪去的正方形边长1米，利用容积公式列方程；2. 解方程舍去负数解，得到长方体底面的长和宽；3. 原矩形铁皮的长、宽分别为长方体底面长、宽加2（左右、上下各剪去1米），计算铁皮面积；4. 用铁皮面积乘以单价20元，得到总花费。
【解析】
设长方体箱子的宽为$x$米，则长为$(x+2)$米，箱子的高为1米。
根据长方体容积公式：$长×宽×高=容积$，列方程：
$x(x+2)×1=15$
整理得：$x^2+2x-15=0$
解方程：因式分解得$(x+5)(x-3)=0$，解得$x_1=-5$（边长不能为负，舍去），$x_2=3$。
因此，长方体箱子底面宽为3米，长为$3+2=5$米。
原矩形铁皮的长为：$5+1×2=7$米，宽为：$3+1×2=5$米，
矩形铁皮面积为：$7×5=35$平方米，
购买铁皮总花费为：$35×20=700$元。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用，长方体体积，矩形面积
【点评】
本题是一元二次方程在实际问题中的应用，核心是理清长方体与原矩形铁皮的边长关系，需将实际问题转化为数学方程，难度适中，考查学生的应用转化能力。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需先通过长方体箱子的容积求出其底面长和宽，再结合剪去正方形的边长得到原矩形铁皮的长和宽，最终计算总花费。具体思路：1. 设长方体箱子的宽为$x$米，长为$(x+2)$米，高为剪去的正方形边长1米，利用容积公式列方程；2. 解方程舍去负数解，得到长方体底面的长和宽；3. 原矩形铁皮的长、宽分别为长方体底面长、宽加2（左右、上下各剪去1米），计算铁皮面积；4. 用铁皮面积乘以单价20元，得到总花费。
【解析】
设长方体箱子的宽为$x$米，则长为$(x+2)$米，箱子的高为1米。
根据长方体容积公式：$长×宽×高=容积$，列方程：
$x(x+2)×1=15$
整理得：$x^2+2x-15=0$
解方程：因式分解得$(x+5)(x-3)=0$，解得$x_1=-5$（边长不能为负，舍去），$x_2=3$。
因此，长方体箱子底面宽为3米，长为$3+2=5$米。
原矩形铁皮的长为：$5+1×2=7$米，宽为：$3+1×2=5$米，
矩形铁皮面积为：$7×5=35$平方米，
购买铁皮总花费为：$35×20=700$元。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程应用，长方体体积，矩形面积
【点评】
本题是一元二次方程在实际问题中的应用，核心是理清长方体与原矩形铁皮的边长关系，需将实际问题转化为数学方程，难度适中，考查学生的应用转化能力。
【难度系数】
0.6
10. (黔西南州中考)有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人传染了
10
个人.答案
10. 10 解析:设每轮传染中平均每人传染了$x$个人.依题意,得$1+x+x(1+x)=121$,即$(1+x)^2=121$,解得$x_1=10$,$x_2=-12$(舍去),即每轮传染中平均每人传染了10个人.
归纳总结
①传播问题:开始只有一个传播源,第一轮传给$x$个,第二轮中最开始的传播源还会继续传播,所以第二轮传播给$x(x+1)$个,两轮总共是$1+x+x(x+1)=(x+1)^2$个.如果开始有$a$个传播源,每个传播源每轮传播$x$个,那么经过两轮传播后共有$a(x+1)^2$个.
②树枝分叉问题:开始只有一主干,第一轮主干长出$x$个支干,第二轮主干不再参与,就只有$x$个支干,每个支干再长出$x$个分支,所以第二轮有$x· x$个支干,两轮总共是$(1+x+x^2)$个支干.
归纳总结
①传播问题:开始只有一个传播源,第一轮传给$x$个,第二轮中最开始的传播源还会继续传播,所以第二轮传播给$x(x+1)$个,两轮总共是$1+x+x(x+1)=(x+1)^2$个.如果开始有$a$个传播源,每个传播源每轮传播$x$个,那么经过两轮传播后共有$a(x+1)^2$个.
②树枝分叉问题:开始只有一主干,第一轮主干长出$x$个支干,第二轮主干不再参与,就只有$x$个支干,每个支干再长出$x$个分支,所以第二轮有$x· x$个支干,两轮总共是$(1+x+x^2)$个支干.
解析
【分析】
这是一元二次方程在传染问题中的典型应用题，解题思路如下：
1. 设未知数：设每轮传染中平均每人传染了$x$个人；
2. 分析每轮患病人数：第一轮时，1个传染源会传染$x$人，第一轮后总患病人数为$1+x$；第二轮时，传染源为第一轮后的$(1+x)$人，每人再传染$x$人，第二轮新增患病人数为$x(1+x)$，两轮后总患病人数为第一轮人数加第二轮新增人数；
3. 列方程：根据两轮后共121人患病的条件，建立方程；
4. 解方程并取舍：解一元二次方程，结合实际意义（传染人数为正）舍去不合理的负解，得到最终结果。
【解析】
设每轮传染中平均每人传染了$x$个人。
第一轮传染后，患流感的人数为：$1 + x$；
第二轮传染中，传染源为$(1+x)$人，每人传染$x$人，因此第二轮新增患病人数为$x(1+x)$；
根据两轮后共121人患流感，可列方程：
$1 + x + x(1 + x) = 121$
整理得：$(1 + x)^2 = 121$
开方得：$1 + x = \pm 11$
因为传染人数$x$为正数，舍去$1 + x = -11$，则$1 + x = 11$，解得$x = 10$。
综上，每轮传染中平均每人传染了10个人。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用，传染问题
【点评】
本题是中考基础应用题，核心是理清传染问题中每一轮的传染源数量，准确建立一元二次方程，需注意解的实际意义（舍去负解），属于学生应熟练掌握的方程应用题型。
【难度系数】
0.6
这是一元二次方程在传染问题中的典型应用题，解题思路如下：
1. 设未知数：设每轮传染中平均每人传染了$x$个人；
2. 分析每轮患病人数：第一轮时，1个传染源会传染$x$人，第一轮后总患病人数为$1+x$；第二轮时，传染源为第一轮后的$(1+x)$人，每人再传染$x$人，第二轮新增患病人数为$x(1+x)$，两轮后总患病人数为第一轮人数加第二轮新增人数；
3. 列方程：根据两轮后共121人患病的条件，建立方程；
4. 解方程并取舍：解一元二次方程，结合实际意义（传染人数为正）舍去不合理的负解，得到最终结果。
【解析】
设每轮传染中平均每人传染了$x$个人。
第一轮传染后，患流感的人数为：$1 + x$；
第二轮传染中，传染源为$(1+x)$人，每人传染$x$人，因此第二轮新增患病人数为$x(1+x)$；
根据两轮后共121人患流感，可列方程：
$1 + x + x(1 + x) = 121$
整理得：$(1 + x)^2 = 121$
开方得：$1 + x = \pm 11$
因为传染人数$x$为正数，舍去$1 + x = -11$，则$1 + x = 11$，解得$x = 10$。
综上，每轮传染中平均每人传染了10个人。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用，传染问题
【点评】
本题是中考基础应用题，核心是理清传染问题中每一轮的传染源数量，准确建立一元二次方程，需注意解的实际意义（舍去负解），属于学生应熟练掌握的方程应用题型。
【难度系数】
0.6
11. 教材变式 一个两位数,它的个位数字与十位数字之和为5,把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数,它与原两位数的积为736,则原两位数是
23或32
.答案
11. 23或32 解析:设原两位数的十位数字为$x$,则个位数字为$(5-x)$,根据题意,得$(10x+5-x)[10(5-x)+x]=736$,整理,得$x^2-5x+6=0$,解得$x_1=2$,$x_2=3$,$\therefore 5-x=3$或2,$\therefore$原两位数是23或32.
解析
【分析】
这是一道两位数的数字问题，解题思路为：先设原两位数的十位数字为未知数，根据“个位数字与十位数字之和为5”表示出个位数字，再分别写出原两位数和互换后的新两位数，依据“两数乘积为736”的等量关系列出一元二次方程，解方程后得到十位数字，进而求出原两位数。
【解析】
设原两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$(5 - x)$。
原两位数可表示为$10x + (5 - x) = 9x + 5$，
互换后的新两位数可表示为$10(5 - x) + x = 50 - 9x$。
根据题意列方程：
$(9x + 5)(50 - 9x) = 736$
展开并整理方程：
$-81x^2 + 405x + 250 = 736$
移项化简得：
$x^2 - 5x + 6 = 0$
因式分解得：
$(x - 2)(x - 3) = 0$
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
当$x = 2$时，个位数字为$5 - 2 = 3$，原两位数是23；
当$x = 3$时，个位数字为$5 - 3 = 2$，原两位数是32。
【答案】
23或32
【知识点】
一元二次方程应用、两位数的表示
【点评】
本题为教材变式题，考查用一元二次方程解决数字问题，核心是正确表示两位数并找到等量关系列方程，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
这是一道两位数的数字问题，解题思路为：先设原两位数的十位数字为未知数，根据“个位数字与十位数字之和为5”表示出个位数字，再分别写出原两位数和互换后的新两位数，依据“两数乘积为736”的等量关系列出一元二次方程，解方程后得到十位数字，进而求出原两位数。
【解析】
设原两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$(5 - x)$。
原两位数可表示为$10x + (5 - x) = 9x + 5$，
互换后的新两位数可表示为$10(5 - x) + x = 50 - 9x$。
根据题意列方程：
$(9x + 5)(50 - 9x) = 736$
展开并整理方程：
$-81x^2 + 405x + 250 = 736$
移项化简得：
$x^2 - 5x + 6 = 0$
因式分解得：
$(x - 2)(x - 3) = 0$
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 3$。
当$x = 2$时，个位数字为$5 - 2 = 3$，原两位数是23；
当$x = 3$时，个位数字为$5 - 3 = 2$，原两位数是32。
【答案】
23或32
【知识点】
一元二次方程应用、两位数的表示
【点评】
本题为教材变式题，考查用一元二次方程解决数字问题，核心是正确表示两位数并找到等量关系列方程，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
12. 新题型 新定义 (2025·汕头模拟) 给定一个矩形,如果存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍,则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”,当已知矩形的长和宽分别为2和1时,其“加倍矩形”的对角线长为
$2\sqrt{7}$
.答案
12. $2\sqrt{7}$ 解析:设“加倍矩形”的长为$x$,则宽为$[2×(2+1)-x]$,由题意得$x[2×(2+1)-x]=2×2×1$,整理得$x^2-6x+4=0$,解得$x_1=3+\sqrt{5}$,$x_2=3-\sqrt{5}$,当$x=3+\sqrt{5}$时,宽为$3-\sqrt{5}$,符合题意;当$x=3-\sqrt{5}$时,宽为$3+\sqrt{5}$,不符合题意;所以“加倍矩形”的长为$3+\sqrt{5}$,宽为$3-\sqrt{5}$.$\sqrt{(3+\sqrt{5})^2+(3-\sqrt{5})^2}=2\sqrt{7}$,所以“加倍矩形”的对角线长为$2\sqrt{7}$.
解析
【分析】
首先明确“加倍矩形”的定义：周长和面积分别为已知矩形的2倍。先计算已知矩形（长2、宽1）的周长和面积，再设“加倍矩形”的长为$x$，利用周长关系表示出宽，根据面积关系列一元二次方程求解长和宽，最后用勾股定理计算对角线长度。
【解析】
已知矩形的长为2，宽为1，其周长为$2×(2+1)=6$，面积为$2×1=2$，则“加倍矩形”的周长为$6×2=12$，面积为$2×2=4$。
设“加倍矩形”的长为$x$，则宽为$\frac{12}{2} - x = 6 - x$（矩形周长=2×(长+宽)，故长+宽为周长的一半）。
根据“加倍矩形”面积为原面积的2倍，列方程：
$x(6 - x) = 4$
整理得：$x^2 - 6x + 4 = 0$
用求根公式解得：$x = \frac{6±\sqrt{36 - 16}}{2} = 3±\sqrt{5}$
因为矩形的长大于宽，所以长为$3+\sqrt{5}$，宽为$3-\sqrt{5}$。
根据勾股定理，“加倍矩形”的对角线长为：
$\sqrt{(3+\sqrt{5})^2 + (3-\sqrt{5})^2}$
展开计算：
$(3+\sqrt{5})^2 = 14 + 6\sqrt{5}$，$(3-\sqrt{5})^2 =14 -6\sqrt{5}$
两者相加得$28$，故对角线长为$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形周长面积、勾股定理
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“加倍矩形”的定义，转化为方程求解后结合勾股定理计算，考查学生的转化能力与运算能力。
【难度系数】
0.5
首先明确“加倍矩形”的定义：周长和面积分别为已知矩形的2倍。先计算已知矩形（长2、宽1）的周长和面积，再设“加倍矩形”的长为$x$，利用周长关系表示出宽，根据面积关系列一元二次方程求解长和宽，最后用勾股定理计算对角线长度。
【解析】
已知矩形的长为2，宽为1，其周长为$2×(2+1)=6$，面积为$2×1=2$，则“加倍矩形”的周长为$6×2=12$，面积为$2×2=4$。
设“加倍矩形”的长为$x$，则宽为$\frac{12}{2} - x = 6 - x$（矩形周长=2×(长+宽)，故长+宽为周长的一半）。
根据“加倍矩形”面积为原面积的2倍，列方程：
$x(6 - x) = 4$
整理得：$x^2 - 6x + 4 = 0$
用求根公式解得：$x = \frac{6±\sqrt{36 - 16}}{2} = 3±\sqrt{5}$
因为矩形的长大于宽，所以长为$3+\sqrt{5}$，宽为$3-\sqrt{5}$。
根据勾股定理，“加倍矩形”的对角线长为：
$\sqrt{(3+\sqrt{5})^2 + (3-\sqrt{5})^2}$
展开计算：
$(3+\sqrt{5})^2 = 14 + 6\sqrt{5}$，$(3-\sqrt{5})^2 =14 -6\sqrt{5}$
两者相加得$28$，故对角线长为$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$。
【答案】
$2\sqrt{7}$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形周长面积、勾股定理
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“加倍矩形”的定义，转化为方程求解后结合勾股定理计算，考查学生的转化能力与运算能力。
【难度系数】
0.5
13. (眉山中考改编)建设美丽城市,改造老旧小区. 某市 2023 年投入资金 1 000 万元,2024 年与 2025 年共投入资金 2 640 万元,现假定每年投入资金的增长率相同.
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2025 年老旧小区改造的平均费用为每个80 万元.2026 年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加 15%. 如果投入资金年增长率保持不变,求该市在 2026 年最多可以改造多少个老旧小区.
(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
(2)2025 年老旧小区改造的平均费用为每个80 万元.2026 年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加 15%. 如果投入资金年增长率保持不变,求该市在 2026 年最多可以改造多少个老旧小区.
答案
13. (1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为$x$,根据题意得$1\ 000(1+x)+1\ 000(1+x)^2=2\ 640$,化简得$x^2+3x-\dfrac{16}{25}=0$,解得$x_1=\dfrac{1}{5}=20\%$,$x_2=-\dfrac{16}{5}$,经检验,$x=20\%$符合本题要求.故该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%.
(2)由(1)可得,该市2024年投入资金$1\ 000×(1+20\%)=1\ 200$(万元),则2025年投入资金$2\ 640-1\ 200=1\ 440$(万元).设该市在2026年可以改造$y$个老旧小区,由题意得$80×(1+15\%)y ≤ 1\ 440×(1+20\%)$,解得$y ≤ 18\dfrac{18}{23}$.$\because y$为正整数,$\therefore$最多可以改造18个老旧小区.故该市在2026年最多可以改造18个老旧小区.
(2)由(1)可得,该市2024年投入资金$1\ 000×(1+20\%)=1\ 200$(万元),则2025年投入资金$2\ 640-1\ 200=1\ 440$(万元).设该市在2026年可以改造$y$个老旧小区,由题意得$80×(1+15\%)y ≤ 1\ 440×(1+20\%)$,解得$y ≤ 18\dfrac{18}{23}$.$\because y$为正整数,$\therefore$最多可以改造18个老旧小区.故该市在2026年最多可以改造18个老旧小区.
解析
【分析】
第(1)问是增长率问题，设年平均增长率为$x$，根据每年资金的增长关系，2024年资金为2023年的$(1+x)$倍，2025年为2024年的$(1+x)$倍，结合“2024年与2025年共投入2640万元”列一元二次方程，舍去不符合实际的负根，即可得增长率。第(2)问先利用(1)的结果算出2025年资金，再结合增长率算出2026年资金，求出2026年单个小区改造费用，设改造$y$个小区，根据“总费用不超过2026年投入资金”列不等式，取正整数解的最大值即可。
【解析】
(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为$x$，根据题意，2024年投入资金为$1000(1+x)$万元，2025年投入资金为$1000(1+x)^2$万元，因此列方程：
$1000(1+x) + 1000(1+x)^2 = 2640$
化简得：$x^2 + 3x - \frac{16}{25} = 0$
解得：$x_1 = \frac{1}{5} = 20\%$，$x_2 = -\frac{16}{5}$（增长率不能为负，舍去）
故年平均增长率为$20\%$。
(2)由(1)知增长率为$20\%$，则2025年投入资金为：$2640 - 1000×(1+20\%) = 1440$（万元）
2026年单个小区改造费用为：$80×(1+15\%) = 92$（万元）
设2026年可改造$y$个老旧小区，根据总费用不超过2026年投入资金（$1440×(1+20\%)=1728$万元），列不等式：
$92y ≤ 1728$
解得：$y ≤ 18\frac{18}{23}$
因为$y$为正整数，所以$y$最大取18。
【答案】
(1)该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%；(2)该市在2026年最多可以改造18个老旧小区。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题为中考常见的实际应用题，结合增长率计算与不等式整数解，需注意实际问题中解的合理性（如增长率非负、小区数量为正整数），考查学生的数学应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问是增长率问题，设年平均增长率为$x$，根据每年资金的增长关系，2024年资金为2023年的$(1+x)$倍，2025年为2024年的$(1+x)$倍，结合“2024年与2025年共投入2640万元”列一元二次方程，舍去不符合实际的负根，即可得增长率。第(2)问先利用(1)的结果算出2025年资金，再结合增长率算出2026年资金，求出2026年单个小区改造费用，设改造$y$个小区，根据“总费用不超过2026年投入资金”列不等式，取正整数解的最大值即可。
【解析】
(1)设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为$x$，根据题意，2024年投入资金为$1000(1+x)$万元，2025年投入资金为$1000(1+x)^2$万元，因此列方程：
$1000(1+x) + 1000(1+x)^2 = 2640$
化简得：$x^2 + 3x - \frac{16}{25} = 0$
解得：$x_1 = \frac{1}{5} = 20\%$，$x_2 = -\frac{16}{5}$（增长率不能为负，舍去）
故年平均增长率为$20\%$。
(2)由(1)知增长率为$20\%$，则2025年投入资金为：$2640 - 1000×(1+20\%) = 1440$（万元）
2026年单个小区改造费用为：$80×(1+15\%) = 92$（万元）
设2026年可改造$y$个老旧小区，根据总费用不超过2026年投入资金（$1440×(1+20\%)=1728$万元），列不等式：
$92y ≤ 1728$
解得：$y ≤ 18\frac{18}{23}$
因为$y$为正整数，所以$y$最大取18。
【答案】
(1)该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%；(2)该市在2026年最多可以改造18个老旧小区。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题为中考常见的实际应用题，结合增长率计算与不等式整数解，需注意实际问题中解的合理性（如增长率非负、小区数量为正整数），考查学生的数学应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
14. 某农场要建一个饲养场(矩形$ABCD$),两面靠墙($AD$位置的墙最大可用长度为25米,$AB$位置的墙最大可用长度为15米),另两边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地及一处通道,如图所示,两个场地各留一个1米宽的门(不用木栏),通道的宽$HG$也为1米(不用木栏).建成后木栏总长45米.设木栏$CD$的长为$x$米,解答下列问题:
(1)$BC=$
(2)若饲养场(矩形$ABCD$)的面积为189平方米,求边$BC$的长.
(3)饲养场(矩形$ABCD$)的面积能达到240平方米吗?若能达到,求出边$BC$的长;若不能达到,请说明理由.
(1)$BC=$
$(48-3x)$
米.(用含$x$的代数式表示)(2)若饲养场(矩形$ABCD$)的面积为189平方米,求边$BC$的长.
(3)饲养场(矩形$ABCD$)的面积能达到240平方米吗?若能达到,求出边$BC$的长;若不能达到,请说明理由.
答案
14. (1)$(48-3x)$ 解析:设木栏$CD$的长为$x$米,根据题意,得竖直方向围墙需要木栏长度为$(x+x-1+x-1)=(3x-2)$米,$\because$建成后木栏总长45米,$\therefore BH+GC=45-(3x-2)=47-3x$(米),$\therefore BC=BH+GC+HG=(48-3x)$米.
(2)设木栏$CD$的长为$x$米,则$BC$的长为$(48-3x)$米,依题意,得$x(48-3x)=189$,即$x^2-16x+63=0$,解得$x_1=7$,$x_2=9$.当$x_1=7$时,$48-3x=27$,$27$米$＞25$米,舍去;当$x_2=9$时,$48-3x=21$,$21$米$＜25$米,符合题意.答:若饲养场的面积是189平方米,此时边$BC$的长为21米.
(3)饲养场(矩形$ABCD$)的面积不能达到240平方米.理由如下:设木栏$CD$的长为$x$米,则$BC$的长为$(48-3x)$米,依题意,得$x(48-3x)=240$,即$x^2-16x+80=0$,$\because b^2-4ac=(-16)^2-4×80＜0$,$\therefore x^2-16x+80=0$没有实数根,$\therefore$饲养场(矩形$ABCD$)的面积不能达到240平方米.
(2)设木栏$CD$的长为$x$米,则$BC$的长为$(48-3x)$米,依题意,得$x(48-3x)=189$,即$x^2-16x+63=0$,解得$x_1=7$,$x_2=9$.当$x_1=7$时,$48-3x=27$,$27$米$＞25$米,舍去;当$x_2=9$时,$48-3x=21$,$21$米$＜25$米,符合题意.答:若饲养场的面积是189平方米,此时边$BC$的长为21米.
(3)饲养场(矩形$ABCD$)的面积不能达到240平方米.理由如下:设木栏$CD$的长为$x$米,则$BC$的长为$(48-3x)$米,依题意,得$x(48-3x)=240$,即$x^2-16x+80=0$,$\because b^2-4ac=(-16)^2-4×80＜0$,$\therefore x^2-16x+80=0$没有实数根,$\therefore$饲养场(矩形$ABCD$)的面积不能达到240平方米.
解析
【分析】
本题需结合木栏总长度、门和通道的长度推导BC的代数式，再利用矩形面积公式建立方程，同时结合墙的最大可用长度限制对解进行取舍，最后通过一元二次方程的判别式判断面积能否达到目标值，逐步解决问题。
【解析】
(1) 设木栏CD的长为$x$米，竖直方向有3段长度为$x$的木栏，减去两个门各1米，竖直方向木栏总长度为$3x - 2$米。已知木栏总长45米，因此水平方向木栏（$BH+GC$）长度为$45 - (3x - 2) = 47 - 3x$米，加上通道$HG$的1米，可得$BC = (47 - 3x) + 1 = (48 - 3x)$米。
(2) 根据矩形面积公式，面积为$x(48 - 3x)$，已知面积为189平方米，列方程：
$x(48 - 3x) = 189$，整理得$x^2 - 16x + 63 = 0$，因式分解为$(x - 7)(x - 9) = 0$，解得$x_1 = 7$，$x_2 = 9$。
结合墙的限制：$AD$最大可用长度为25米（即$BC≤25$），$AB$最大可用长度为15米（即$x≤15$）。
当$x=7$时，$BC=48 - 3×7=27$米，$27＞25$，舍去；当$x=9$时，$BC=48 - 3×9=21$米，$21＜25$且$9＜15$，符合要求。
(3) 假设面积能达到240平方米，列方程：
$x(48 - 3x)=240$，整理得$x^2 -16x +80=0$，计算判别式$\Delta=(-16)^2 -4×1×80=256 - 320=-64＜0$，方程无实数根，因此不存在符合条件的$x$，面积不能达到240平方米。
【答案】
(1)$(48-3x)$；(2)21米；(3)不能达到，理由见解析
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，需注意结合墙的长度限制对解进行取舍，同时利用判别式判断方程解的情况，是代数与几何结合的典型应用题，需仔细分析题意中的数量关系。
【难度系数】
0.5
本题需结合木栏总长度、门和通道的长度推导BC的代数式，再利用矩形面积公式建立方程，同时结合墙的最大可用长度限制对解进行取舍，最后通过一元二次方程的判别式判断面积能否达到目标值，逐步解决问题。
【解析】
(1) 设木栏CD的长为$x$米，竖直方向有3段长度为$x$的木栏，减去两个门各1米，竖直方向木栏总长度为$3x - 2$米。已知木栏总长45米，因此水平方向木栏（$BH+GC$）长度为$45 - (3x - 2) = 47 - 3x$米，加上通道$HG$的1米，可得$BC = (47 - 3x) + 1 = (48 - 3x)$米。
(2) 根据矩形面积公式，面积为$x(48 - 3x)$，已知面积为189平方米，列方程：
$x(48 - 3x) = 189$，整理得$x^2 - 16x + 63 = 0$，因式分解为$(x - 7)(x - 9) = 0$，解得$x_1 = 7$，$x_2 = 9$。
结合墙的限制：$AD$最大可用长度为25米（即$BC≤25$），$AB$最大可用长度为15米（即$x≤15$）。
当$x=7$时，$BC=48 - 3×7=27$米，$27＞25$，舍去；当$x=9$时，$BC=48 - 3×9=21$米，$21＜25$且$9＜15$，符合要求。
(3) 假设面积能达到240平方米，列方程：
$x(48 - 3x)=240$，整理得$x^2 -16x +80=0$，计算判别式$\Delta=(-16)^2 -4×1×80=256 - 320=-64＜0$，方程无实数根，因此不存在符合条件的$x$，面积不能达到240平方米。
【答案】
(1)$(48-3x)$；(2)21米；(3)不能达到，理由见解析
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合实际场景考查一元二次方程的应用，需注意结合墙的长度限制对解进行取舍，同时利用判别式判断方程解的情况，是代数与几何结合的典型应用题，需仔细分析题意中的数量关系。
【难度系数】
0.5
