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1. (2025·淮安期中)下表是某公司某年1月份至5月份的收入统计表.其中,2月份和5月份被墨水污染.若2月份与3月份的增长率相同,设它们的增长率为$x$,根据表中的信息,可列方程为（
A.$10(1+x)^2=12-10$
B.$10(1+x)^2=12$
C.$10(1+x)(1+2x)=12$
D.$10(1+x)^3=14$
B
）A.$10(1+x)^2=12-10$
B.$10(1+x)^2=12$
C.$10(1+x)(1+2x)=12$
D.$10(1+x)^3=14$
答案
1. B 解析:1月份收入10万元,3月份收入12万元,可列方程为$10(1+x)^2=12$.故选B.
解析
【分析】本题是增长率问题，解题思路是：已知1月份收入为10万元，2、3月份增长率均为x，根据“增长后的量=增长前的量×(1+增长率)”，先表示出2月份收入，再表示出3月份收入，结合表格中3月份收入为12万元，即可列出方程。
【解析】解：设增长率为$x$，1月份收入10万元，则2月份收入为$10(1+x)$万元，3月份收入是在2月份基础上再增长$x$，即$10(1+x)(1+x)=10(1+x)^2$万元。又因为3月份收入为12万元，所以可列方程$10(1+x)^2=12$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题考查增长率相关的一元二次方程应用，核心是掌握连续两次增长率相同的计算方法，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】解：设增长率为$x$，1月份收入10万元，则2月份收入为$10(1+x)$万元，3月份收入是在2月份基础上再增长$x$，即$10(1+x)(1+x)=10(1+x)^2$万元。又因为3月份收入为12万元，所以可列方程$10(1+x)^2=12$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题考查增长率相关的一元二次方程应用，核心是掌握连续两次增长率相同的计算方法，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
2. (2025·辽宁中考改编)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形田地的宽为$x$步，根据题意可列方程为
$x(60-x)=864$
.答案
2. $x(60-x)=864$ 解析:设宽为$x$步,则长为$(60-x)$步,由题意得$x(60-x)=864$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先梳理矩形长、宽与面积的数量关系：已知长和宽的总和为60步，设宽为$ x $步，那么长就等于总步数减去宽，即$ (60-x) $步；再根据矩形面积公式“面积=长×宽”，结合题目给出的面积864平方步，即可列出对应方程。
【解析】
设矩形田地的宽为$ x $步，因为长与宽共60步，所以长为$ (60 - x) $步。根据矩形面积公式：面积=长×宽，结合题目中面积为864平方步的条件，可列方程为：$ x(60 - x) = 864 $。
【答案】
$ x(60 - x) = 864 $
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查一元二次方程的实际应用，核心是根据长与宽的数量关系表示出长，再结合面积公式列方程，属于基础题型，注重数学与实际问题的结合。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需先梳理矩形长、宽与面积的数量关系：已知长和宽的总和为60步，设宽为$ x $步，那么长就等于总步数减去宽，即$ (60-x) $步；再根据矩形面积公式“面积=长×宽”，结合题目给出的面积864平方步，即可列出对应方程。
【解析】
设矩形田地的宽为$ x $步，因为长与宽共60步，所以长为$ (60 - x) $步。根据矩形面积公式：面积=长×宽，结合题目中面积为864平方步的条件，可列方程为：$ x(60 - x) = 864 $。
【答案】
$ x(60 - x) = 864 $
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查一元二次方程的实际应用，核心是根据长与宽的数量关系表示出长，再结合面积公式列方程，属于基础题型，注重数学与实际问题的结合。
【难度系数】
0.7
3. (2025·南京月考)某产品原来成本是25元，按照固定的百分率降低成本,连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元,设这个百分率为$x$,可得方程为
$25(1-x)-25(1-x)^2=4$
.答案
3. $25(1-x)-25(1-x)^2=4$ 解析:
∵该产品原来成本是25元,且成本每次降低的百分率为$x$,
∴该产品经过一次降低后所剩的成本是$25(1-x)$元,经过两次降低后所剩的成本是$25(1-x)^2$元.根据题意得$25(1-x)-25(1-x)^2=4$.
∵该产品原来成本是25元,且成本每次降低的百分率为$x$,
∴该产品经过一次降低后所剩的成本是$25(1-x)$元,经过两次降低后所剩的成本是$25(1-x)^2$元.根据题意得$25(1-x)-25(1-x)^2=4$.
解析
【分析】
本题是百分率降低成本的方程应用问题，解题思路为：先根据降价百分率分别表示出一次降价后、两次降价后的产品成本，再依据“连续两次降低后比一次降低后所剩成本少4元”的等量关系列方程。具体步骤：原来成本25元，每次降价百分率为x，一次降价后成本为25(1-x)元；两次降价是在一次降价后的成本基础上再降x，故两次降价后成本为25(1-x)²元；两者的差值为4元，据此建立等式。
【解析】
已知产品原成本为25元，降价百分率为x：
1. 一次降价后所剩成本：原成本×(1-降价百分率)=25(1-x)元；
2. 连续两次降价后所剩成本：一次降价后的成本×(1-降价百分率)=25(1-x)·(1-x)=25(1-x)²元；
根据题意“连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元”，即一次降价后的成本减去两次降价后的成本等于4元，因此列出方程：25(1-x)-25(1-x)²=4。
【答案】
25(1-x)-25(1-x)²=4
【知识点】
一元二次方程的应用、百分率问题
【点评】
本题属于一元二次方程应用中的基础题型，核心是掌握百分率降低的成本计算方法，准确提取题目中的等量关系即可完成列式，难度较低。
【难度系数】
0.6
本题是百分率降低成本的方程应用问题，解题思路为：先根据降价百分率分别表示出一次降价后、两次降价后的产品成本，再依据“连续两次降低后比一次降低后所剩成本少4元”的等量关系列方程。具体步骤：原来成本25元，每次降价百分率为x，一次降价后成本为25(1-x)元；两次降价是在一次降价后的成本基础上再降x，故两次降价后成本为25(1-x)²元；两者的差值为4元，据此建立等式。
【解析】
已知产品原成本为25元，降价百分率为x：
1. 一次降价后所剩成本：原成本×(1-降价百分率)=25(1-x)元；
2. 连续两次降价后所剩成本：一次降价后的成本×(1-降价百分率)=25(1-x)·(1-x)=25(1-x)²元；
根据题意“连续两次降低后比一次降低后所剩的成本少4元”，即一次降价后的成本减去两次降价后的成本等于4元，因此列出方程：25(1-x)-25(1-x)²=4。
【答案】
25(1-x)-25(1-x)²=4
【知识点】
一元二次方程的应用、百分率问题
【点评】
本题属于一元二次方程应用中的基础题型，核心是掌握百分率降低的成本计算方法，准确提取题目中的等量关系即可完成列式，难度较低。
【难度系数】
0.6
4. 如图,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2 m,另一边减少了3 m,剩余一块面积为$20\ \mathrm{m}^2$的矩形空地,则原正方形空地的边长是
7
m.答案
4. 7 解析:设原正方形空地的边长是$x$ m,由题意可得$(x-2)(x-3)=20$,$\therefore x^2-5x-14=0$,可得$(x-7)(x+2)=0$,解得$x=7$或$x=-2$(舍去),则原正方形空地的边长是7 m.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先设原正方形空地的边长为$ x $ m，根据题意可知，划出部分区域后，剩余矩形的长和宽分别是原正方形边长减去3m、减去2m，再结合矩形面积公式“面积=长×宽”，利用剩余面积为20 m²的条件列出一元二次方程，解方程后舍去不符合实际意义的负数解，即可得到原正方形的边长。
【解析】
设原正方形空地的边长为$ x $ m。
根据题意，剩余矩形的长为$ (x - 3) $ m，宽为$ (x - 2) $ m，其面积为20 m²，因此列方程：
$(x - 2)(x - 3) = 20$
展开并整理方程：
$x^2 - 5x + 6 = 20$
$x^2 - 5x - 14 = 0$
因式分解得：
$(x - 7)(x + 2) = 0$
解得：$x_1 = 7$，$x_2 = -2$
因为边长不能为负数，所以舍去$x = -2$，即原正方形空地的边长是7 m。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何问题中的典型应用，核心是通过图形关系建立等量关系，求解后需结合实际意义舍去不合理解，属于基础应用题，能有效考查学生对一元二次方程的掌握程度。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先设原正方形空地的边长为$ x $ m，根据题意可知，划出部分区域后，剩余矩形的长和宽分别是原正方形边长减去3m、减去2m，再结合矩形面积公式“面积=长×宽”，利用剩余面积为20 m²的条件列出一元二次方程，解方程后舍去不符合实际意义的负数解，即可得到原正方形的边长。
【解析】
设原正方形空地的边长为$ x $ m。
根据题意，剩余矩形的长为$ (x - 3) $ m，宽为$ (x - 2) $ m，其面积为20 m²，因此列方程：
$(x - 2)(x - 3) = 20$
展开并整理方程：
$x^2 - 5x + 6 = 20$
$x^2 - 5x - 14 = 0$
因式分解得：
$(x - 7)(x + 2) = 0$
解得：$x_1 = 7$，$x_2 = -2$
因为边长不能为负数，所以舍去$x = -2$，即原正方形空地的边长是7 m。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题是一元二次方程在几何问题中的典型应用，核心是通过图形关系建立等量关系，求解后需结合实际意义舍去不合理解，属于基础应用题，能有效考查学生对一元二次方程的掌握程度。
【难度系数】
0.6
5. (2025·威海中考)如图,某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为$24\ \mathrm{m}^2$的9个矩形地块,请你求出小路的宽度.
答案
5. 设小路的宽度为$x$ m,由题意得$(20-4x)(14-4x)=24×9$,整理得$2x^2-17x+8=0$,解得$x=\dfrac{1}{2}$或$x=8$(舍去).
答:小路的宽度为$\dfrac{1}{2}$ m.
答:小路的宽度为$\dfrac{1}{2}$ m.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先设小路宽度为$ x \, \mathrm{m} $，观察图形可知9个矩形地块呈3行3列排列，因此需明确：水平方向（长方向）总长度20m减去左右两侧及中间纵向小路的宽度，剩余部分为3个地块的总长度；垂直方向（宽方向）总宽度14m减去上下两侧及中间水平小路的宽度，剩余部分为3个地块的总宽度。再根据9个地块的总面积等于单块面积乘以9，列出方程求解，最后舍去不符合实际的解。
【解析】
设小路的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
由于9个矩形地块为3行3列排列，因此3个地块的总长度为$ (20 - 4x) \, \mathrm{m} $（左右各$ x $，中间2条纵向小路共$ 2x $，合计$ 4x $），3个地块的总宽度为$ (14 - 4x) \, \mathrm{m} $（上下各$ x $，中间2条水平小路共$ 2x $，合计$ 4x $）。
已知每个地块面积为$ 24 \, \mathrm{m}^2 $，则9个地块总面积为$ 24 × 9 = 216 \, \mathrm{m}^2 $，据此列方程：
$(20 - 4x)(14 - 4x) = 216$
展开并整理方程：
$280 - 136x + 16x^2 = 216 \\2x^2 - 17x + 8 = 0$
解一元二次方程，得：
$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4} = \frac{17 \pm 15}{4}$
解得$ x_1 = 8 $，$ x_2 = \frac{1}{2} $。
当$ x = 8 $时，$ 14 - 4x = -18 ＜ 0 $，不符合实际意义，舍去；当$ x = \frac{1}{2} $时，符合题意。
【答案】
小路的宽度为$\dfrac{1}{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合矩形面积与一元二次方程，考查实际问题的建模与求解，关键是根据图形结构表示地块总长度和总宽度，求解后需验证解的合理性，属于中等难度的实际应用问题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先设小路宽度为$ x \, \mathrm{m} $，观察图形可知9个矩形地块呈3行3列排列，因此需明确：水平方向（长方向）总长度20m减去左右两侧及中间纵向小路的宽度，剩余部分为3个地块的总长度；垂直方向（宽方向）总宽度14m减去上下两侧及中间水平小路的宽度，剩余部分为3个地块的总宽度。再根据9个地块的总面积等于单块面积乘以9，列出方程求解，最后舍去不符合实际的解。
【解析】
设小路的宽度为$ x \, \mathrm{m} $。
由于9个矩形地块为3行3列排列，因此3个地块的总长度为$ (20 - 4x) \, \mathrm{m} $（左右各$ x $，中间2条纵向小路共$ 2x $，合计$ 4x $），3个地块的总宽度为$ (14 - 4x) \, \mathrm{m} $（上下各$ x $，中间2条水平小路共$ 2x $，合计$ 4x $）。
已知每个地块面积为$ 24 \, \mathrm{m}^2 $，则9个地块总面积为$ 24 × 9 = 216 \, \mathrm{m}^2 $，据此列方程：
$(20 - 4x)(14 - 4x) = 216$
展开并整理方程：
$280 - 136x + 16x^2 = 216 \\2x^2 - 17x + 8 = 0$
解一元二次方程，得：
$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 64}}{4} = \frac{17 \pm 15}{4}$
解得$ x_1 = 8 $，$ x_2 = \frac{1}{2} $。
当$ x = 8 $时，$ 14 - 4x = -18 ＜ 0 $，不符合实际意义，舍去；当$ x = \frac{1}{2} $时，符合题意。
【答案】
小路的宽度为$\dfrac{1}{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算
【点评】
本题结合矩形面积与一元二次方程，考查实际问题的建模与求解，关键是根据图形结构表示地块总长度和总宽度，求解后需验证解的合理性，属于中等难度的实际应用问题。
【难度系数】
0.5
6.(郴州中考)随旅游旺季的到来,某景区游客人数逐月增加,2月份游客人数为1.6万人,4月份游客人数为2.5万人.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率.
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人?
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率.
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长,但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人,则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人?
答案
6. (1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为$x$,由题意得$1.6(1+x)^2=2.5$,解得$x=25\%$(负值已舍去).
答:这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%.
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是$y$万人,由题意,得$2.125+10y ≤ 2.5(1+25\%)$,解得$y ≤ 0.1$.$\therefore$ 5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人.
答:这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%.
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是$y$万人,由题意,得$2.125+10y ≤ 2.5(1+25\%)$,解得$y ≤ 0.1$.$\therefore$ 5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人.
解析
【分析】
首先处理第(1)问，这是典型的增长率问题，月平均增长率相同，设为$x$，根据“2月份游客人数×(1+增长率)²=4月份游客人数”的等量关系列一元二次方程，求解时舍去负的增长率（增长率为正）；第(2)问，明确5月份增长率不超过前两个月的平均增长率，先算出5月份游客人数的最大值，再结合5月前21天已接待人数，设后10天日均接待人数为$y$，根据“前21天人数+后10天总人数≤5月份最大总人数”列一元一次不等式，求解得$y$的最大值。
【解析】
(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为$x$，由题意得：
$1.6(1+x)^2 = 2.5$
解方程：
$(1+x)^2 = \frac{2.5}{1.6} = \frac{25}{16}$
开方得$1+x = \pm \frac{5}{4}$，因为增长率为正，舍去负值，故$1+x = \frac{5}{4}$，解得$x = 0.25 = 25\%$。
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是$y$万人，由题意，5月份游客人数最多为$2.5(1+25\%)$万人，因此列不等式：
$2.125 + 10y ≤ 2.5×(1+25\%)$
计算右边：$2.5×1.25 = 3.125$，代入得：
$2.125 + 10y ≤ 3.125$
移项得$10y ≤ 1$，解得$y ≤ 0.1$。
【答案】
(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际旅游场景，分两小问分别考查增长率的一元二次方程应用和最值类不等式应用，关键是准确理解增长率的计算逻辑及题目中的限制条件，步骤清晰，属于常规应用题型。
【难度系数】
0.6
首先处理第(1)问，这是典型的增长率问题，月平均增长率相同，设为$x$，根据“2月份游客人数×(1+增长率)²=4月份游客人数”的等量关系列一元二次方程，求解时舍去负的增长率（增长率为正）；第(2)问，明确5月份增长率不超过前两个月的平均增长率，先算出5月份游客人数的最大值，再结合5月前21天已接待人数，设后10天日均接待人数为$y$，根据“前21天人数+后10天总人数≤5月份最大总人数”列一元一次不等式，求解得$y$的最大值。
【解析】
(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为$x$，由题意得：
$1.6(1+x)^2 = 2.5$
解方程：
$(1+x)^2 = \frac{2.5}{1.6} = \frac{25}{16}$
开方得$1+x = \pm \frac{5}{4}$，因为增长率为正，舍去负值，故$1+x = \frac{5}{4}$，解得$x = 0.25 = 25\%$。
(2)设5月份后10天日均接待游客人数是$y$万人，由题意，5月份游客人数最多为$2.5(1+25\%)$万人，因此列不等式：
$2.125 + 10y ≤ 2.5×(1+25\%)$
计算右边：$2.5×1.25 = 3.125$，代入得：
$2.125 + 10y ≤ 3.125$
移项得$10y ≤ 1$，解得$y ≤ 0.1$。
【答案】
(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%；(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人。
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际旅游场景，分两小问分别考查增长率的一元二次方程应用和最值类不等式应用，关键是准确理解增长率的计算逻辑及题目中的限制条件，步骤清晰，属于常规应用题型。
【难度系数】
0.6
