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6. 某果园有 100 棵苹果树,一棵苹果树平均结1 000 个苹果,现准备多种一些苹果树以提高产量,试验发现,每多种一棵苹果树,每棵苹果树的产量就会减少 2 个,如果要使产量增加15.2%,且新种苹果树要少于原有苹果树,那么应多种
20
棵苹果树.答案
20 解析:设应多种x棵苹果树,则由题意可得(100+x)·(1 000-2x)=100×1 000×(1+15.2%),整理得x²-400x+7 600=0,解得x₁=20,x₂=380.
∵新种苹果树要少于原有苹果树,
∴x=380不符合题意,应舍去,
∴x=20.
∵新种苹果树要少于原有苹果树,
∴x=380不符合题意,应舍去,
∴x=20.
解析
【分析】
首先设应多种$x$棵苹果树，明确原有苹果树100棵、每棵产1000个苹果，多种$x$棵后，苹果树总数为$(100+x)$棵；每多种1棵，每棵产量减少2个，因此每棵产量变为$(1000-2x)$个。接着根据“总产量增加15.2%”的条件，找到等量关系列方程，解方程后结合“新种苹果树少于原有苹果树”的限制，舍去不符合题意的解，得到最终答案。
【解析】
设应多种$x$棵苹果树，根据题意列方程：
$(100+x)(1000-2x)=100×1000×(1+15.2\%)$
整理方程：
左边展开得：$100000 + 800x - 2x^2$
右边计算得：$115200$
移项化简得：$x^2 - 400x + 7600 = 0$
因式分解得：$(x-20)(x-380)=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=380$
根据“新种苹果树要少于原有苹果树（原有100棵）”，$x=380$不符合题意，舍去，因此$x=20$。
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程的应用、实际问题解的取舍
【点评】
本题是一元二次方程在实际生产中的典型应用，核心是找准总产量的等量关系，需注意实际问题中解的合理性，结合题目条件舍去不符合的解，考查学生的方程建模与应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先设应多种$x$棵苹果树，明确原有苹果树100棵、每棵产1000个苹果，多种$x$棵后，苹果树总数为$(100+x)$棵；每多种1棵，每棵产量减少2个，因此每棵产量变为$(1000-2x)$个。接着根据“总产量增加15.2%”的条件，找到等量关系列方程，解方程后结合“新种苹果树少于原有苹果树”的限制，舍去不符合题意的解，得到最终答案。
【解析】
设应多种$x$棵苹果树，根据题意列方程：
$(100+x)(1000-2x)=100×1000×(1+15.2\%)$
整理方程：
左边展开得：$100000 + 800x - 2x^2$
右边计算得：$115200$
移项化简得：$x^2 - 400x + 7600 = 0$
因式分解得：$(x-20)(x-380)=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=380$
根据“新种苹果树要少于原有苹果树（原有100棵）”，$x=380$不符合题意，舍去，因此$x=20$。
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程的应用、实际问题解的取舍
【点评】
本题是一元二次方程在实际生产中的典型应用，核心是找准总产量的等量关系，需注意实际问题中解的合理性，结合题目条件舍去不符合的解，考查学生的方程建模与应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
7. 某农产品公司以 64 000 元的成本收购了某种农产品 80 吨,目前可以以 1200 元/吨的价格直接售出.如果储藏起来,每星期会损失 2 吨,且每星期需支付各种费用 1 600 元,但同时每星期每吨的价格将上涨 200 元.那么要获利122 000 元且尽早卖出,需要将这批农产品储藏
15
星期.答案
15 解析:设储藏x星期出售这批农产品可获利122 000元,由题意得(1 200+200x)×(80-2x)-1 600x-64 000=122 000,解得x₁=x₂=15.即储藏15星期出售这批农产品可获利122 000元.
解析
【分析】
要解决该问题，需先明确利润的计算逻辑：利润=总收入 - 收购成本 - 储藏总费用。设储藏x星期，需分别表示出储藏x星期后的农产品单价、剩余重量，进而得到总收入，再结合已知的成本和费用列出方程，求解后根据“尽早卖出”的要求确定答案。
【解析】
设将这批农产品储藏x星期出售可获利122000元。
1. 储藏x星期后，每吨农产品价格为：$(1200 + 200x)$元；
2. 储藏x星期后，剩余农产品重量为：$(80 - 2x)$吨；
3. 总收入为：$(1200 + 200x)(80 - 2x)$元；
4. 总成本及总费用为：收购成本64000元 + 储藏费用$1600x$元；
根据获利122000元，列方程：
$(1200 + 200x)(80 - 2x) - 1600x - 64000 = 122000$
展开并整理方程：
$96000 - 2400x + 16000x - 400x^2 - 1600x - 64000 = 122000$
$32000 + 12000x - 400x^2 = 122000$
移项化简得：
$x^2 - 30x + 225 = 0$
因式分解得：$(x - 15)^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 15$。
结合“尽早卖出”的要求，$x = 15$符合题意。
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程的应用，利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，核心是理清利润相关的各数量关系，正确列出方程，解出结果后需结合题目“尽早卖出”的条件确定最终答案，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需先明确利润的计算逻辑：利润=总收入 - 收购成本 - 储藏总费用。设储藏x星期，需分别表示出储藏x星期后的农产品单价、剩余重量，进而得到总收入，再结合已知的成本和费用列出方程，求解后根据“尽早卖出”的要求确定答案。
【解析】
设将这批农产品储藏x星期出售可获利122000元。
1. 储藏x星期后，每吨农产品价格为：$(1200 + 200x)$元；
2. 储藏x星期后，剩余农产品重量为：$(80 - 2x)$吨；
3. 总收入为：$(1200 + 200x)(80 - 2x)$元；
4. 总成本及总费用为：收购成本64000元 + 储藏费用$1600x$元；
根据获利122000元，列方程：
$(1200 + 200x)(80 - 2x) - 1600x - 64000 = 122000$
展开并整理方程：
$96000 - 2400x + 16000x - 400x^2 - 1600x - 64000 = 122000$
$32000 + 12000x - 400x^2 = 122000$
移项化简得：
$x^2 - 30x + 225 = 0$
因式分解得：$(x - 15)^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = 15$。
结合“尽早卖出”的要求，$x = 15$符合题意。
【答案】
15
【知识点】
一元二次方程的应用，利润问题
【点评】
本题是一元二次方程在实际生活中的典型应用，核心是理清利润相关的各数量关系，正确列出方程，解出结果后需结合题目“尽早卖出”的条件确定最终答案，难度适中。
【难度系数】
0.5
8. 一商场从顺德以每台 430 元的价格购进一批微波炉,计划以每台 500 元的价格销售.在销售过程中发现:每月微波炉的销售量 y(台)与每台微波炉上涨价格 x(元)之间满足一次函数关系,如图是 y 与 x 的函数图象.
(1)求 y 与 x 之间的函数表达式.
(2)若该商场要求微波炉的月销售量不少于750 台,并且每月销售微波炉的利润率不低于20%,当该商场每月微波炉的销售利润为71 250 元时,微波炉的销售单价应定为多少?
(1)求 y 与 x 之间的函数表达式.
(2)若该商场要求微波炉的月销售量不少于750 台,并且每月销售微波炉的利润率不低于20%,当该商场每月微波炉的销售利润为71 250 元时,微波炉的销售单价应定为多少?
答案
(1)
∵y与x之间满足一次函数关系,
∴设y与x的之间函数表达式为y=kx+b(k≠0).
∵点A,B在函数图象上,
∴$\begin{cases}650=35k+b,\\500=50k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-10.\\b=1\ 000,\end{cases}$
∴y与x之间的函数表达式为y=-10x+1 000.
(2)由题意得$\begin{cases}-10x+1\ 000≥750,\\\dfrac{500+x-430}{430}×100\%≥20\%,\end{cases}$
∴x的取值范围是16≤x≤25.
∵该商场每月微波炉的销售利润为71 250元,
∴(500+x-430)(-10x+1 000)=71 250,解得x₁=5(不符合题意,舍去),x₂=25,
∴销售单价为25+500=525(元),故微波炉的销售单价应定为525元.
∵y与x之间满足一次函数关系,
∴设y与x的之间函数表达式为y=kx+b(k≠0).
∵点A,B在函数图象上,
∴$\begin{cases}650=35k+b,\\500=50k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-10.\\b=1\ 000,\end{cases}$
∴y与x之间的函数表达式为y=-10x+1 000.
(2)由题意得$\begin{cases}-10x+1\ 000≥750,\\\dfrac{500+x-430}{430}×100\%≥20\%,\end{cases}$
∴x的取值范围是16≤x≤25.
∵该商场每月微波炉的销售利润为71 250元,
∴(500+x-430)(-10x+1 000)=71 250,解得x₁=5(不符合题意,舍去),x₂=25,
∴销售单价为25+500=525(元),故微波炉的销售单价应定为525元.
解析
【分析】
本题分为两小问，第一问利用待定系数法求一次函数表达式，因y与x是一次函数关系，设表达式为y=kx+b，代入图象上两点坐标解方程组即可确定函数式；第二问需先根据“月销售量不少于750台”“利润率不低于20%”列出关于x的不等式组，确定x的取值范围，再结合销售利润公式列方程，解方程后结合x的范围舍去不符合条件的解，最终算出销售单价。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
由图象可知点$A(35,650)$、$B(50,500)$在函数图象上，代入得：
$\begin{cases}650=35k+b \\500=50k+b \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10 \\b=1000 \end{cases}$，
因此y与x之间的函数表达式为$y=-10x+1000$。
(2) 根据题意列不等式组：
$\begin{cases}-10x+1000≥750 \\\frac{500+x-430}{430}×100\%≥20\% \end{cases}$
解第一个不等式得$x≤25$，解第二个不等式得$x≥16$，故x的取值范围是$16≤x≤25$。
销售利润为$(500+x-430)(-10x+1000)$，令其等于71250，得：
$(x+70)(-10x+1000)=71250$
整理得$x^2-30x+125=0$，解得$x_1=5$，$x_2=25$。
结合$16≤x≤25$，舍去$x=5$，取$x=25$，则销售单价为$500+25=525$元。
【答案】
微波炉的销售单价应定为525元。
【知识点】
一次函数表达式、一元一次不等式组、一元二次方程应用
【点评】
本题结合实际销售场景，综合考查函数、不等式、方程的应用，需先确定函数关系，再根据实际限制条件筛选解，注重数学知识的实际应用，对学生的逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第一问利用待定系数法求一次函数表达式，因y与x是一次函数关系，设表达式为y=kx+b，代入图象上两点坐标解方程组即可确定函数式；第二问需先根据“月销售量不少于750台”“利润率不低于20%”列出关于x的不等式组，确定x的取值范围，再结合销售利润公式列方程，解方程后结合x的范围舍去不符合条件的解，最终算出销售单价。
【解析】
(1) 设y与x之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
由图象可知点$A(35,650)$、$B(50,500)$在函数图象上，代入得：
$\begin{cases}650=35k+b \\500=50k+b \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-10 \\b=1000 \end{cases}$，
因此y与x之间的函数表达式为$y=-10x+1000$。
(2) 根据题意列不等式组：
$\begin{cases}-10x+1000≥750 \\\frac{500+x-430}{430}×100\%≥20\% \end{cases}$
解第一个不等式得$x≤25$，解第二个不等式得$x≥16$，故x的取值范围是$16≤x≤25$。
销售利润为$(500+x-430)(-10x+1000)$，令其等于71250，得：
$(x+70)(-10x+1000)=71250$
整理得$x^2-30x+125=0$，解得$x_1=5$，$x_2=25$。
结合$16≤x≤25$，舍去$x=5$，取$x=25$，则销售单价为$500+25=525$元。
【答案】
微波炉的销售单价应定为525元。
【知识点】
一次函数表达式、一元一次不等式组、一元二次方程应用
【点评】
本题结合实际销售场景，综合考查函数、不等式、方程的应用，需先确定函数关系，再根据实际限制条件筛选解，注重数学知识的实际应用，对学生的逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9. (2026·淮安期末)某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种。已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少2元，用2 400元购买乙种树苗的数量恰好是用4 800元购买甲种树苗的数量的$\dfrac{5}{8}$.
(1) 求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元；
(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多$5m$棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高$\dfrac{m}{4}$元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高$\dfrac{m}{6}$元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高$220m$元，求$m$的值.
(1) 求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元；
(2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多$5m$棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高$\dfrac{m}{4}$元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高$\dfrac{m}{6}$元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高$220m$元，求$m$的值.
答案
(1)设甲种树苗每棵的价格是x元,则乙种树苗每棵的价格是(x-2)元,由题意得$\dfrac{2\ 400}{x-2}=\dfrac{4\ 800}{x}×\dfrac{5}{8}$,解得x=10,经检验,x=10是原分式方程的解,且符合题意,
∴x-2=8.
答:甲种树苗每棵的价格是10元,乙种树苗每棵的价格是8元.
(2)由(1)可知,2 400÷8=300(棵),4 800÷10=480(棵),由题意得$480(10+\dfrac{m}{4})+(300+5m)(8+\dfrac{m}{6})=2\ 400+4\ 800+220m$,整理得m²-12m=0,解得m₁=12,m₂=0(不符合题意,舍去),故m的值为12.
∴x-2=8.
答:甲种树苗每棵的价格是10元,乙种树苗每棵的价格是8元.
(2)由(1)可知,2 400÷8=300(棵),4 800÷10=480(棵),由题意得$480(10+\dfrac{m}{4})+(300+5m)(8+\dfrac{m}{6})=2\ 400+4\ 800+220m$,整理得m²-12m=0,解得m₁=12,m₂=0(不符合题意,舍去),故m的值为12.
解析
【分析】
本题分为两小问，均为实际应用类方程问题。第(1)问需通过设未知数，利用“数量=总价÷单价”及题目给出的乙、甲树苗购买数量关系列分式方程求解，注意分式方程解的检验；第(2)问先根据第(1)问结果算出第一次购买甲、乙树苗的数量，再结合第二次购买的单价、数量变化及总费用差的关系列一元二次方程，最后舍去不符合实际意义的解即可得到m的值。
【解析】
(1)设甲种树苗每棵的价格是$x$元，则乙种树苗每棵的价格是$(x-2)$元。
根据题意，乙种树苗的购买数量是甲种树苗购买数量的$\dfrac{5}{8}$，列方程：
$\dfrac{2400}{x-2} = \dfrac{4800}{x} × \dfrac{5}{8}$
化简右边得$\dfrac{3000}{x}$，方程变为：
$\dfrac{2400}{x-2} = \dfrac{3000}{x}$
交叉相乘得：$2400x = 3000(x-2)$
解得：$x=10$
经检验，$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙种树苗单价为$10-2=8$元。
(2)由(1)得，第一次购买甲树苗数量：$4800÷10=480$棵，第一次购买乙树苗数量：$2400÷8=300$棵。
第二次购买时，甲单价为$(10+\dfrac{m}{4})$元，数量480棵；乙单价为$(8+\dfrac{m}{6})$元，数量$(300+5m)$棵。
第一次总费用为$4800+2400=7200$元，第二次总费用比第一次多$220m$元，列方程：
$480(10+\dfrac{m}{4}) + (300+5m)(8+\dfrac{m}{6}) = 7200 + 220m$
展开并整理左边：
$4800 + 120m + 2400 + 50m + 40m + \dfrac{5m^2}{6} = 7200 + 210m + \dfrac{5m^2}{6}$
移项化简得：$m^2 -12m=0$
解得$m_1=12$，$m_2=0$（不符合实际意义，舍去），故$m=12$。
【答案】
(1)甲种树苗每棵10元，乙种树苗每棵8元；(2)$m$的值为12。
【知识点】
分式方程的应用、一元二次方程的应用
【点评】
本题以精准扶贫为背景，考查分式方程和一元二次方程的实际应用，核心是梳理各量间的数量关系，需注意分式方程解的检验及实际问题中不合理解的舍去，整体难度适中，侧重考查学生的逻辑分析与运算能力。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，均为实际应用类方程问题。第(1)问需通过设未知数，利用“数量=总价÷单价”及题目给出的乙、甲树苗购买数量关系列分式方程求解，注意分式方程解的检验；第(2)问先根据第(1)问结果算出第一次购买甲、乙树苗的数量，再结合第二次购买的单价、数量变化及总费用差的关系列一元二次方程，最后舍去不符合实际意义的解即可得到m的值。
【解析】
(1)设甲种树苗每棵的价格是$x$元，则乙种树苗每棵的价格是$(x-2)$元。
根据题意，乙种树苗的购买数量是甲种树苗购买数量的$\dfrac{5}{8}$，列方程：
$\dfrac{2400}{x-2} = \dfrac{4800}{x} × \dfrac{5}{8}$
化简右边得$\dfrac{3000}{x}$，方程变为：
$\dfrac{2400}{x-2} = \dfrac{3000}{x}$
交叉相乘得：$2400x = 3000(x-2)$
解得：$x=10$
经检验，$x=10$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙种树苗单价为$10-2=8$元。
(2)由(1)得，第一次购买甲树苗数量：$4800÷10=480$棵，第一次购买乙树苗数量：$2400÷8=300$棵。
第二次购买时，甲单价为$(10+\dfrac{m}{4})$元，数量480棵；乙单价为$(8+\dfrac{m}{6})$元，数量$(300+5m)$棵。
第一次总费用为$4800+2400=7200$元，第二次总费用比第一次多$220m$元，列方程：
$480(10+\dfrac{m}{4}) + (300+5m)(8+\dfrac{m}{6}) = 7200 + 220m$
展开并整理左边：
$4800 + 120m + 2400 + 50m + 40m + \dfrac{5m^2}{6} = 7200 + 210m + \dfrac{5m^2}{6}$
移项化简得：$m^2 -12m=0$
解得$m_1=12$，$m_2=0$（不符合实际意义，舍去），故$m=12$。
【答案】
(1)甲种树苗每棵10元，乙种树苗每棵8元；(2)$m$的值为12。
【知识点】
分式方程的应用、一元二次方程的应用
【点评】
本题以精准扶贫为背景，考查分式方程和一元二次方程的实际应用，核心是梳理各量间的数量关系，需注意分式方程解的检验及实际问题中不合理解的舍去，整体难度适中，侧重考查学生的逻辑分析与运算能力。
【难度系数】
0.5
