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10. 正月十五是中华民族传统的节日——元宵节,家家挂彩灯、户户吃汤圆已相沿成俗.某家手工汤圆店,计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆,已知每袋汤圆需要0.3 斤汤圆馅和 0.5 斤汤圆粉,而汤圆店每天能生产 450 斤汤圆馅或 300 斤汤圆粉(每天只能生产其中一种).
(1)若这 21 天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套,且全部及时加工成汤圆,则总共生产了多少袋手工汤圆?
(2)为保证手工汤圆的最佳风味,汤圆店计划把这 21 天生产的汤圆在 10 天内销售完.据统计,每袋手工汤圆的成本为 13 元,售价为 25 元时每天可售出 225 袋,售价每降低2元,每天可多售出 75 袋.汤圆店按售价25 元销售 2 天后,余下 8 天进行降价促销,第10 天结束后将还未售出的手工汤圆以15 元/袋的价格全部卖给小吃店,若最终获利40 500 元,则促销时每袋应降价多少元?
数学九上(SK)
(1)若这 21 天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套,且全部及时加工成汤圆,则总共生产了多少袋手工汤圆?
(2)为保证手工汤圆的最佳风味,汤圆店计划把这 21 天生产的汤圆在 10 天内销售完.据统计,每袋手工汤圆的成本为 13 元,售价为 25 元时每天可售出 225 袋,售价每降低2元,每天可多售出 75 袋.汤圆店按售价25 元销售 2 天后,余下 8 天进行降价促销,第10 天结束后将还未售出的手工汤圆以15 元/袋的价格全部卖给小吃店,若最终获利40 500 元,则促销时每袋应降价多少元?
数学九上(SK)
答案
(1)设总共生产了a袋手工汤圆,依题意得$\dfrac{0.3a}{450}+\dfrac{0.5a}{300}=21$,解得a=9 000.
答:总共生产了9 000袋手工汤圆.
(2)设促销时每袋应降价x元,当刚好10天全部销售完时,依题意得$225×2×(25-13)+8(25-13-x)(225+\dfrac{75}{2}x)=40\ 500$.
整理得x²-6x+45=0,b²-4ac=(-6)²-4×45＜0,
∴方程无解,
∴10天不能全部销售完,
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给小吃店的利润为$(15-13)×[9\ 000-2×225-8(225+\dfrac{75}{2}x)]=13\ 500-600x$,
∴依题意得$225×2×(25-13)+8(25-13-x)(225+\dfrac{75}{2}x)+13\ 500-600x=40\ 500$,解得x₁=0,x₂=4.
∵要促销,
∴x=4,即促销时每袋应降价4元.
答:总共生产了9 000袋手工汤圆.
(2)设促销时每袋应降价x元,当刚好10天全部销售完时,依题意得$225×2×(25-13)+8(25-13-x)(225+\dfrac{75}{2}x)=40\ 500$.
整理得x²-6x+45=0,b²-4ac=(-6)²-4×45＜0,
∴方程无解,
∴10天不能全部销售完,
∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给小吃店的利润为$(15-13)×[9\ 000-2×225-8(225+\dfrac{75}{2}x)]=13\ 500-600x$,
∴依题意得$225×2×(25-13)+8(25-13-x)(225+\dfrac{75}{2}x)+13\ 500-600x=40\ 500$,解得x₁=0,x₂=4.
∵要促销,
∴x=4,即促销时每袋应降价4元.
解析
【分析】
第(1)问是配套生产问题，核心等量关系为“生产汤圆馅的时间 + 生产汤圆粉的时间 = 21天”，设总袋数为$a$，根据每袋所需馅和粉的量，分别表示出生产两种原料的时间，列一元一次方程即可求解。
第(2)问是利润问题，需分三部分计算总利润：前2天按原价销售的利润、后8天降价销售的利润、剩余产品卖给小吃店的利润。先假设10天刚好售完，列方程发现无解，说明10天无法售完，再结合剩余产品的利润重新列方程，求解后根据“促销”要求确定最终降价金额。
【解析】
(1)设总共生产了$a$袋手工汤圆。
生产$a$袋需汤圆馅$0.3a$斤，每天生产馅450斤，故生产馅时间为$\frac{0.3a}{450}$天；
生产$a$袋需汤圆粉$0.5a$斤，每天生产粉300斤，故生产粉时间为$\frac{0.5a}{300}$天。
根据总生产时间列方程：
$\frac{0.3a}{450} + \frac{0.5a}{300} = 21$
化简得：$\frac{a}{1500} + \frac{a}{600} = 21$，通分后$\frac{7a}{3000}=21$，解得$a=9000$。
(2)设促销时每袋应降价$x$元。
①假设10天刚好售完，列总利润方程：
前2天利润：$225×2×(25-13)=5400$元；
后8天利润：$8×(12-x)(225+\frac{75}{2}x)$；
总利润方程：$5400 + 8×(12-x)(225+\frac{75}{2}x)=40500$，整理得$x²-6x+45=0$，判别式$\Delta=-144＜0$，方程无解，说明10天无法售完。
②考虑剩余产品卖给小吃店的情况：
剩余产品数量：$9000 - 2×225 -8×(225+\frac{75}{2}x)=6750-300x$袋；
剩余产品利润：$(15-13)(6750-300x)=13500-600x$元；
总利润方程：
$5400 +8×(12-x)(225+\frac{75}{2}x)+13500-600x=40500$
化简得：$x²-4x=0$，解得$x₁=0$，$x₂=4$；
因需促销，故$x=4$。
【答案】
(1)总共生产了9000袋手工汤圆；
(2)促销时每袋应降价4元。
【知识点】
一元一次方程应用、一元二次方程应用、利润问题
【点评】
本题结合实际生产销售场景，考查方程的应用，第一问为基础配套问题，第二问需分阶段计算利润，易忽略“10天无法售完”的情况，需仔细分析数量关系，避免漏解。
【难度系数】
0.5
第(1)问是配套生产问题，核心等量关系为“生产汤圆馅的时间 + 生产汤圆粉的时间 = 21天”，设总袋数为$a$，根据每袋所需馅和粉的量，分别表示出生产两种原料的时间，列一元一次方程即可求解。
第(2)问是利润问题，需分三部分计算总利润：前2天按原价销售的利润、后8天降价销售的利润、剩余产品卖给小吃店的利润。先假设10天刚好售完，列方程发现无解，说明10天无法售完，再结合剩余产品的利润重新列方程，求解后根据“促销”要求确定最终降价金额。
【解析】
(1)设总共生产了$a$袋手工汤圆。
生产$a$袋需汤圆馅$0.3a$斤，每天生产馅450斤，故生产馅时间为$\frac{0.3a}{450}$天；
生产$a$袋需汤圆粉$0.5a$斤，每天生产粉300斤，故生产粉时间为$\frac{0.5a}{300}$天。
根据总生产时间列方程：
$\frac{0.3a}{450} + \frac{0.5a}{300} = 21$
化简得：$\frac{a}{1500} + \frac{a}{600} = 21$，通分后$\frac{7a}{3000}=21$，解得$a=9000$。
(2)设促销时每袋应降价$x$元。
①假设10天刚好售完，列总利润方程：
前2天利润：$225×2×(25-13)=5400$元；
后8天利润：$8×(12-x)(225+\frac{75}{2}x)$；
总利润方程：$5400 + 8×(12-x)(225+\frac{75}{2}x)=40500$，整理得$x²-6x+45=0$，判别式$\Delta=-144＜0$，方程无解，说明10天无法售完。
②考虑剩余产品卖给小吃店的情况：
剩余产品数量：$9000 - 2×225 -8×(225+\frac{75}{2}x)=6750-300x$袋；
剩余产品利润：$(15-13)(6750-300x)=13500-600x$元；
总利润方程：
$5400 +8×(12-x)(225+\frac{75}{2}x)+13500-600x=40500$
化简得：$x²-4x=0$，解得$x₁=0$，$x₂=4$；
因需促销，故$x=4$。
【答案】
(1)总共生产了9000袋手工汤圆；
(2)促销时每袋应降价4元。
【知识点】
一元一次方程应用、一元二次方程应用、利润问题
【点评】
本题结合实际生产销售场景，考查方程的应用，第一问为基础配套问题，第二问需分阶段计算利润，易忽略“10天无法售完”的情况，需仔细分析数量关系，避免漏解。
【难度系数】
0.5
11. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元；销售量在10辆以上，每辆返利1万元.
(1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为
(2)如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？(盈利=销售利润+返利)
[二维码]
题中题 046
(1)若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为
26.8
万元.(2)如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？(盈利=销售利润+返利)
[二维码]
题中题 046
答案
(1)26.8 解析:
∵若当月仅售出1辆汽车,则该辆汽车的进价为27万元,每多售出1辆,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆,
∴若该公司当月售出3辆汽车,则每辆汽车的进价为27-0.1×(3-1)=26.8(万元).
(2)设需要售出x辆汽车,则每辆汽车的进价为[27-0.1(x-1)]=(27.1-0.1x)万元,当x≤10时,[28-(27.1-0.1x)]x+0.5x=12,整理得x²+14x-120=0,解得x₁=-20(舍去),x₂=6.
当x＞10时,[28-(27.1-0.1x)]x+x=12,整理得x²+19x-120=0,解得x₁=-24(舍去),x₂=5(舍去).
综上,需要售出6辆汽车.
∵若当月仅售出1辆汽车,则该辆汽车的进价为27万元,每多售出1辆,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆,
∴若该公司当月售出3辆汽车,则每辆汽车的进价为27-0.1×(3-1)=26.8(万元).
(2)设需要售出x辆汽车,则每辆汽车的进价为[27-0.1(x-1)]=(27.1-0.1x)万元,当x≤10时,[28-(27.1-0.1x)]x+0.5x=12,整理得x²+14x-120=0,解得x₁=-20(舍去),x₂=6.
当x＞10时,[28-(27.1-0.1x)]x+x=12,整理得x²+19x-120=0,解得x₁=-24(舍去),x₂=5(舍去).
综上,需要售出6辆汽车.
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据题意，仅售1辆时汽车进价为27万元，每多售1辆，所有售出车辆的进价均降低0.1万元，售出3辆比1辆多2辆，直接计算进价即可。
2. 第(2)问：盈利=销售利润+返利，需先明确随销量变化的汽车进价，再分“销量≤10辆”和“销量＞10辆”两种情况（对应不同返利规则），设售出x辆汽车，分别列方程求解，最后验证解是否符合对应销量范围，舍去不合理的解。
【解析】
(1) 当月售出3辆汽车，比仅售1辆多售出3-1=2辆，每多售1辆进价降0.1万元，因此每辆汽车的进价为：
27 - 0.1×(3-1) = 26.8（万元）。
(2) 设需要售出x辆汽车，每辆汽车的进价为[27 - 0.1(x-1)] = (27.1 - 0.1x)万元，每辆的销售利润为[28 - (27.1 - 0.1x)] = (0.9 + 0.1x)万元，分两种情况讨论：
① 当0 ＜ x ≤10时，每辆返利0.5万元，总盈利为：
(0.9 + 0.1x)·x + 0.5x = 12
整理得：x² +14x -120 =0，解得x₁=-20（舍去，销量不能为负），x₂=6，符合0＜6≤10，有效。
② 当x＞10时，每辆返利1万元，总盈利为：
(0.9 +0.1x)·x +x =12
整理得：x² +19x -120=0，解得正根为x=5，5＜10，不符合x＞10，舍去。
综上，需要售出6辆汽车。
【答案】(1)26.8；(2)6辆
【知识点】一元二次方程的应用，分段计费问题
【点评】本题结合实际销售场景，考查分段规则下的一元二次方程应用，关键是准确理解进价、返利的计算逻辑，分情况讨论时需验证解的实际合理性，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】0.5
1. 第(1)问：根据题意，仅售1辆时汽车进价为27万元，每多售1辆，所有售出车辆的进价均降低0.1万元，售出3辆比1辆多2辆，直接计算进价即可。
2. 第(2)问：盈利=销售利润+返利，需先明确随销量变化的汽车进价，再分“销量≤10辆”和“销量＞10辆”两种情况（对应不同返利规则），设售出x辆汽车，分别列方程求解，最后验证解是否符合对应销量范围，舍去不合理的解。
【解析】
(1) 当月售出3辆汽车，比仅售1辆多售出3-1=2辆，每多售1辆进价降0.1万元，因此每辆汽车的进价为：
27 - 0.1×(3-1) = 26.8（万元）。
(2) 设需要售出x辆汽车，每辆汽车的进价为[27 - 0.1(x-1)] = (27.1 - 0.1x)万元，每辆的销售利润为[28 - (27.1 - 0.1x)] = (0.9 + 0.1x)万元，分两种情况讨论：
① 当0 ＜ x ≤10时，每辆返利0.5万元，总盈利为：
(0.9 + 0.1x)·x + 0.5x = 12
整理得：x² +14x -120 =0，解得x₁=-20（舍去，销量不能为负），x₂=6，符合0＜6≤10，有效。
② 当x＞10时，每辆返利1万元，总盈利为：
(0.9 +0.1x)·x +x =12
整理得：x² +19x -120=0，解得正根为x=5，5＜10，不符合x＞10，舍去。
综上，需要售出6辆汽车。
【答案】(1)26.8；(2)6辆
【知识点】一元二次方程的应用，分段计费问题
【点评】本题结合实际销售场景，考查分段规则下的一元二次方程应用，关键是准确理解进价、返利的计算逻辑，分情况讨论时需验证解的实际合理性，避免出现不符合题意的结果。
【难度系数】0.5
