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1. 如图,把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地,场地面积扩大了一倍,则小圆形场地的半径为（
A.5 m
B.$(5+\sqrt{2})\ \mathrm{m}$
C.$(5+3\sqrt{2})\ \mathrm{m}$
D.$(5+5\sqrt{2})\ \mathrm{m}$
D
）A.5 m
B.$(5+\sqrt{2})\ \mathrm{m}$
C.$(5+3\sqrt{2})\ \mathrm{m}$
D.$(5+5\sqrt{2})\ \mathrm{m}$
答案
设小圆形场地的半径为x m,则大圆形场地的半径为(x+5)m.根据题意,得π(x+5)²=2πx²,解得x=5+5√2或x=5-5√2(不合题意,舍去).故小圆形场地的半径为(5+5√2)m.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用圆的面积公式，结合题目中“大圆形场地面积是小圆形场地面积的2倍”的等量关系建立方程。先设小圆形场地的半径为未知数，再表示出大圆形的半径，根据面积关系列出一元二次方程，解方程后根据实际意义舍去不合理的解，即可得到小圆形场地的半径。
【解析】
设小圆形场地的半径为$ x \, \mathrm{m} $，则大圆形场地的半径为$ (x + 5) \, \mathrm{m} $。
根据“场地面积扩大了一倍”，即大圆形面积 = 2×小圆形面积，结合圆的面积公式$ S = π r^2 $，列方程：
$π (x + 5)^2 = 2π x^2$
两边同除以$ π $化简得：
$(x + 5)^2 = 2x^2$
展开并整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 + 10x + 25 = 2x^2 \implies x^2 - 10x - 25 = 0$
用求根公式解方程，其中$ a=1 $，$ b=-10 $，$ c=-25 $，则：
$x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 × 1 × (-25)}}{2 × 1} = \frac{10 \pm 10\sqrt{2}}{2} = 5 \pm 5\sqrt{2}$
因为半径为正数，舍去负根$ x = 5 - 5\sqrt{2} $，故$ x = 5 + 5\sqrt{2} $。
【答案】
$ (5 + 5\sqrt{2}) \, \mathrm{m} $
【知识点】
圆的面积公式、一元二次方程的应用
【点评】
本题是一元二次方程在几何问题中的基础应用，核心是找准面积等量关系，解方程时需结合实际意义舍去不合理解，难度适中，考查学生的方程建模能力。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用圆的面积公式，结合题目中“大圆形场地面积是小圆形场地面积的2倍”的等量关系建立方程。先设小圆形场地的半径为未知数，再表示出大圆形的半径，根据面积关系列出一元二次方程，解方程后根据实际意义舍去不合理的解，即可得到小圆形场地的半径。
【解析】
设小圆形场地的半径为$ x \, \mathrm{m} $，则大圆形场地的半径为$ (x + 5) \, \mathrm{m} $。
根据“场地面积扩大了一倍”，即大圆形面积 = 2×小圆形面积，结合圆的面积公式$ S = π r^2 $，列方程：
$π (x + 5)^2 = 2π x^2$
两边同除以$ π $化简得：
$(x + 5)^2 = 2x^2$
展开并整理为一元二次方程标准形式：
$x^2 + 10x + 25 = 2x^2 \implies x^2 - 10x - 25 = 0$
用求根公式解方程，其中$ a=1 $，$ b=-10 $，$ c=-25 $，则：
$x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 × 1 × (-25)}}{2 × 1} = \frac{10 \pm 10\sqrt{2}}{2} = 5 \pm 5\sqrt{2}$
因为半径为正数，舍去负根$ x = 5 - 5\sqrt{2} $，故$ x = 5 + 5\sqrt{2} $。
【答案】
$ (5 + 5\sqrt{2}) \, \mathrm{m} $
【知识点】
圆的面积公式、一元二次方程的应用
【点评】
本题是一元二次方程在几何问题中的基础应用，核心是找准面积等量关系，解方程时需结合实际意义舍去不合理解，难度适中，考查学生的方程建模能力。
【难度系数】
0.5
2. 新趋势 数学文化 我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”,极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则$AE=$
3
.答案
∵大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,
∴AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,根据题意,设AF=DE=CH=BG=x,则AE=x-1.在Rt△AED中,AE²+ED²=AD²,即(x-1)²+x²=5²,解得x=4(负值已经舍去),
∴x-1=3,即AE=3.
解析
【分析】
要解决这道题，需先利用正方形面积求出大、小正方形的边长；再根据赵爽弦图的结构，四个直角三角形全等，其直角边的差等于中间小正方形的边长，据此设未知数；最后在直角三角形中运用勾股定理列方程，求解得到AE的长度。
【解析】
解：
∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴大正方形的边长为$\sqrt{25}=5$，小正方形的边长为$\sqrt{1}=1$。
设$AE=x$，由于四个直角三角形全等，因此直角三角形的另一条直角边$DE = x + 1$（$DE - AE =$小正方形边长1）。
在$Rt△ AED$中，根据勾股定理：$AE^2 + DE^2 = AD^2$，
代入得：$x^2 + (x + 1)^2 = 5^2$，
展开整理：$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$，
即$2x^2 + 2x - 24 = 0$，化简为$x^2 + x - 12 = 0$，
因式分解得：$(x + 4)(x - 3) = 0$，
解得$x = 3$或$x = -4$（边长为正，舍去负值），
∴$AE = 3$。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理、正方形性质
【点评】
本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，核心是利用弦图中直角边与小正方形边长的关系建立方程，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需先利用正方形面积求出大、小正方形的边长；再根据赵爽弦图的结构，四个直角三角形全等，其直角边的差等于中间小正方形的边长，据此设未知数；最后在直角三角形中运用勾股定理列方程，求解得到AE的长度。
【解析】
解：
∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，
∴大正方形的边长为$\sqrt{25}=5$，小正方形的边长为$\sqrt{1}=1$。
设$AE=x$，由于四个直角三角形全等，因此直角三角形的另一条直角边$DE = x + 1$（$DE - AE =$小正方形边长1）。
在$Rt△ AED$中，根据勾股定理：$AE^2 + DE^2 = AD^2$，
代入得：$x^2 + (x + 1)^2 = 5^2$，
展开整理：$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$，
即$2x^2 + 2x - 24 = 0$，化简为$x^2 + x - 12 = 0$，
因式分解得：$(x + 4)(x - 3) = 0$，
解得$x = 3$或$x = -4$（边长为正，舍去负值），
∴$AE = 3$。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理、正方形性质
【点评】
本题结合赵爽弦图考查勾股定理的应用，核心是利用弦图中直角边与小正方形边长的关系建立方程，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
3. 新趋势 数学文化 (无锡中考)《九章算术》中提出了如下问题:今有户不知高、广,竿不知长短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出,问户高、广、邪各几何?这段话的意思是今有门不知其高宽,有竿,不知其长短,横放,竿比门宽长出4尺,竖放,竿比门高长出2尺,斜放,竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少?则该问题中的门高是
8
尺.答案
设门高x尺,依题意,竿长为(x+2)尺,门的对角线长为(x+2)尺,门宽为x+2-4=(x-2)尺,
∴(x+2)²=x²+(x-2)²,解得x=8或x=0(舍去),故答案为8.
∴(x+2)²=x²+(x-2)²,解得x=8或x=0(舍去),故答案为8.
解析
【分析】
本题是利用勾股定理解决古代数学问题，核心是将实际场景转化为直角三角形模型。解题思路：1. 设门高为未知数，根据题目中横放、竖放、斜放的条件，依次表示出竿长、门宽、门对角线的长度；2. 门的高、宽与对角线构成直角三角形，满足勾股定理，据此列出一元二次方程；3. 解方程后舍去不符合实际意义的解，得到门高。
【解析】
设门高为$ x $尺，根据题意可得：
1. 竿长：竖放时竿比门高长出2尺，故竿长为$ (x + 2) $尺；
2. 门宽：横放时竿比门宽长出4尺，故门宽为$ (x + 2 - 4) = (x - 2) $尺；
3. 门对角线：斜放时竿与门对角线相等，故对角线长为$ (x + 2) $尺。
门的高、宽与对角线构成直角三角形，根据勾股定理：
$\mathrm{对角线}^2 = \mathrm{门高}^2 + \mathrm{门宽}^2$
代入各量得方程：
$(x + 2)^2 = x^2 + (x - 2)^2$
展开并整理方程：
左边：$ x^2 + 4x + 4 $
右边：$ x^2 + x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 4x + 4 $
移项化简得：
$x^2 - 8x = 0 \implies x(x - 8) = 0$
解得$ x = 8 $或$ x = 0 $，因门高不能为0，舍去$ x = 0 $，故门高为8尺。
【答案】
8
【知识点】
勾股定理应用；一元二次方程解法
【点评】
本题结合《九章算术》的数学文化背景，考查勾股定理的实际应用，需将实际问题转化为直角三角形模型，体现了数学与传统文化的融合，解题关键是准确表示各量并利用勾股定理列方程，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是利用勾股定理解决古代数学问题，核心是将实际场景转化为直角三角形模型。解题思路：1. 设门高为未知数，根据题目中横放、竖放、斜放的条件，依次表示出竿长、门宽、门对角线的长度；2. 门的高、宽与对角线构成直角三角形，满足勾股定理，据此列出一元二次方程；3. 解方程后舍去不符合实际意义的解，得到门高。
【解析】
设门高为$ x $尺，根据题意可得：
1. 竿长：竖放时竿比门高长出2尺，故竿长为$ (x + 2) $尺；
2. 门宽：横放时竿比门宽长出4尺，故门宽为$ (x + 2 - 4) = (x - 2) $尺；
3. 门对角线：斜放时竿与门对角线相等，故对角线长为$ (x + 2) $尺。
门的高、宽与对角线构成直角三角形，根据勾股定理：
$\mathrm{对角线}^2 = \mathrm{门高}^2 + \mathrm{门宽}^2$
代入各量得方程：
$(x + 2)^2 = x^2 + (x - 2)^2$
展开并整理方程：
左边：$ x^2 + 4x + 4 $
右边：$ x^2 + x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 4x + 4 $
移项化简得：
$x^2 - 8x = 0 \implies x(x - 8) = 0$
解得$ x = 8 $或$ x = 0 $，因门高不能为0，舍去$ x = 0 $，故门高为8尺。
【答案】
8
【知识点】
勾股定理应用；一元二次方程解法
【点评】
本题结合《九章算术》的数学文化背景，考查勾股定理的实际应用，需将实际问题转化为直角三角形模型，体现了数学与传统文化的融合，解题关键是准确表示各量并利用勾股定理列方程，难度适中。
【难度系数】
0.6
4. 教材变式（2026·镇江期中）如图，$△ ABC$中，$∠ B=90°,AB=10\ \mathrm{cm},BC=12\ \mathrm{cm}$，点$P$从点$A$开始沿边$AB$向终点$B$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度移动，与此同时，点$Q$从点$B$开始沿边$BC$向终点$C$以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度移动. 如果点$P,Q$分别从点$A,B$同时出发，当点$Q$运动到点$C$时，两点停止运动. 设运动时间为$t$秒.
(1) 填空：$BQ=$
(2) 当$t$为何值时，$PQ$的长度等于$10\ \mathrm{cm}$？
(3) 是否存在$t$的值，使得$△ PBQ$的面积等于$9\ \mathrm{cm}^2$？若存在，请求出此时$t$的值；若不存在，请说明理由.
(1) 填空：$BQ=$
2t cm
，$PB=$(10-t) cm
.（用含$t$的代数式表示）(2) 当$t$为何值时，$PQ$的长度等于$10\ \mathrm{cm}$？
(3) 是否存在$t$的值，使得$△ PBQ$的面积等于$9\ \mathrm{cm}^2$？若存在，请求出此时$t$的值；若不存在，请说明理由.
答案
(1) 2t cm，(10-t) cm
(2)
∵∠B=90°,
∴△PBQ是直角三角形,根据勾股定理得PB²+BQ²=PQ²,即(10-t)²+(2t)²=10²,解得t₁=0,t₂=4,
∴t=0或4时,PQ的长度等于10 cm.
(3)存在.由题意得S△PBQ=1/2 BQ · BP=9,即1/2×2t×(10-t)=9,解得t₁=1,t₂=9.
∵当点Q运动到点C时,两点停止运动,即2t≤12,解得t≤6,
∴t=1时,△PBQ的面积等于9 cm².
(2)
∵∠B=90°,
∴△PBQ是直角三角形,根据勾股定理得PB²+BQ²=PQ²,即(10-t)²+(2t)²=10²,解得t₁=0,t₂=4,
∴t=0或4时,PQ的长度等于10 cm.
(3)存在.由题意得S△PBQ=1/2 BQ · BP=9,即1/2×2t×(10-t)=9,解得t₁=1,t₂=9.
∵当点Q运动到点C时,两点停止运动,即2t≤12,解得t≤6,
∴t=1时,△PBQ的面积等于9 cm².
解析
【分析】
本题是直角三角形的动点问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据路程=速度×时间，结合点P、Q的运动速度和时间t，分别表示出BQ和PB的长度；
2. 第(2)问：利用直角三角形的勾股定理，代入PB、BQ、PQ的长度列方程，求解后验证解的合理性；
3. 第(3)问：根据直角三角形面积公式列方程，求解后结合动点的运动范围（Q到C时停止，t的上限）舍去不符合实际的解，得到结果。
【解析】
(1) 点Q的速度为2cm/s，运动时间为t秒，因此BQ=2t cm；点P从A出发，速度1cm/s，t秒移动了t cm，AB=10cm，故PB=(10-t) cm。
(2) 因为∠B=90°，所以△PBQ是直角三角形，由勾股定理得：
PB² + BQ² = PQ²，代入得：
(10-t)² + (2t)² = 10²，
展开整理：100 -20t + t² +4t²=100 →5t² -20t=0 →5t(t-4)=0，
解得t₁=0，t₂=4，
即当t=0或4时，PQ的长度等于10cm。
(3) 假设存在t使得△PBQ的面积为9cm²，根据直角三角形面积公式：
S△PBQ = 1/2 × BQ × PB =9，代入得：
1/2 ×2t ×(10-t)=9 →t(10-t)=9 →t² -10t +9=0，
因式分解得(t-1)(t-9)=0，解得t₁=1，t₂=9。
因为Q运动到C时停止，BC=12cm，故2t≤12→t≤6，t=9不符合，舍去，因此存在t=1满足条件。
【答案】
(1) 2t cm，(10-t) cm；(2) t=0或4；(3) 存在，t=1
【知识点】
勾股定理、一元二次方程应用、三角形面积计算
【点评】
本题结合直角三角形动点考查方程思想，需注意动点的运动范围，舍去不符合实际的解，是中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.6
本题是直角三角形的动点问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据路程=速度×时间，结合点P、Q的运动速度和时间t，分别表示出BQ和PB的长度；
2. 第(2)问：利用直角三角形的勾股定理，代入PB、BQ、PQ的长度列方程，求解后验证解的合理性；
3. 第(3)问：根据直角三角形面积公式列方程，求解后结合动点的运动范围（Q到C时停止，t的上限）舍去不符合实际的解，得到结果。
【解析】
(1) 点Q的速度为2cm/s，运动时间为t秒，因此BQ=2t cm；点P从A出发，速度1cm/s，t秒移动了t cm，AB=10cm，故PB=(10-t) cm。
(2) 因为∠B=90°，所以△PBQ是直角三角形，由勾股定理得：
PB² + BQ² = PQ²，代入得：
(10-t)² + (2t)² = 10²，
展开整理：100 -20t + t² +4t²=100 →5t² -20t=0 →5t(t-4)=0，
解得t₁=0，t₂=4，
即当t=0或4时，PQ的长度等于10cm。
(3) 假设存在t使得△PBQ的面积为9cm²，根据直角三角形面积公式：
S△PBQ = 1/2 × BQ × PB =9，代入得：
1/2 ×2t ×(10-t)=9 →t(10-t)=9 →t² -10t +9=0，
因式分解得(t-1)(t-9)=0，解得t₁=1，t₂=9。
因为Q运动到C时停止，BC=12cm，故2t≤12→t≤6，t=9不符合，舍去，因此存在t=1满足条件。
【答案】
(1) 2t cm，(10-t) cm；(2) t=0或4；(3) 存在，t=1
【知识点】
勾股定理、一元二次方程应用、三角形面积计算
【点评】
本题结合直角三角形动点考查方程思想，需注意动点的运动范围，舍去不符合实际的解，是中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.6
5. 如图,点$E$在矩形$ABCD$的$AB$边上,将$△ ADE$沿$DE$翻折,点$A$恰好落在$BC$边上的点$F$处,若$CD=3BF$,$BE=4$,则$CD$的长为 （
A.9
B.12
C.15
D.16
A
）A.9
B.12
C.15
D.16
答案
设AE=x.
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=4+x.
∵将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC边上的点F处,
∴EF=AE=x.
∵CD=3BF,
∴BF=1/3 CD=1/3(x+4).
∵在Rt△BEF中,BE²+BF²=EF²,
∴4²+[1/3(x+4)]²=x²,解得x₁=5,x₂=-4(舍去),
∴AE=5,
∴CD=AB=5+4=9.故选A.
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=4+x.
∵将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在BC边上的点F处,
∴EF=AE=x.
∵CD=3BF,
∴BF=1/3 CD=1/3(x+4).
∵在Rt△BEF中,BE²+BF²=EF²,
∴4²+[1/3(x+4)]²=x²,解得x₁=5,x₂=-4(舍去),
∴AE=5,
∴CD=AB=5+4=9.故选A.
解析
【分析】
本题是矩形折叠类几何计算题，解题思路为：利用矩形对边相等、四个角为直角的性质，结合折叠前后对应边相等的性质，设未知数表示相关线段长度，再在直角三角形中运用勾股定理建立方程，求解后得到CD的长度。
【解析】
设AE=x。
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠B=90°（矩形对边相等，四个角为直角）。
∵将△ADE沿DE翻折，点A落在BC边上的F处，
∴△ADE≌△FDE，故EF=AE=x。
已知BE=4，因此AB=AE+BE=x+4，即CD=x+4。
又
∵CD=3BF，
∴BF=(1/3)CD=(x+4)/3。
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE² + BF² = EF²，
代入数值：$4² + [(x+4)/3]^2 = x²$，
整理方程：16 + (x²+8x+16)/9 = x²，
两边乘9消分母：144 + x² +8x +16 =9x²，
化简为：x² -x -20=0，
因式分解得：(x-5)(x+4)=0，解得x₁=5，x₂=-4（边长为正，舍去）。
∴AE=5，CD=AB=AE+BE=5+4=9。
【答案】
A
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题考查矩形折叠问题，核心是利用折叠转化边的关系，结合勾股定理列方程求解，需掌握几何性质与方程思想的应用，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6
本题是矩形折叠类几何计算题，解题思路为：利用矩形对边相等、四个角为直角的性质，结合折叠前后对应边相等的性质，设未知数表示相关线段长度，再在直角三角形中运用勾股定理建立方程，求解后得到CD的长度。
【解析】
设AE=x。
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB，∠B=90°（矩形对边相等，四个角为直角）。
∵将△ADE沿DE翻折，点A落在BC边上的F处，
∴△ADE≌△FDE，故EF=AE=x。
已知BE=4，因此AB=AE+BE=x+4，即CD=x+4。
又
∵CD=3BF，
∴BF=(1/3)CD=(x+4)/3。
在Rt△BEF中，由勾股定理得：BE² + BF² = EF²，
代入数值：$4² + [(x+4)/3]^2 = x²$，
整理方程：16 + (x²+8x+16)/9 = x²，
两边乘9消分母：144 + x² +8x +16 =9x²，
化简为：x² -x -20=0，
因式分解得：(x-5)(x+4)=0，解得x₁=5，x₂=-4（边长为正，舍去）。
∴AE=5，CD=AB=AE+BE=5+4=9。
【答案】
A
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题考查矩形折叠问题，核心是利用折叠转化边的关系，结合勾股定理列方程求解，需掌握几何性质与方程思想的应用，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6
6. (2025·威海中考)如图,小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开,得到一个立方体的表面展开图.若正方形硬纸板的边长为 12 cm,则折成立方体的棱长为
12√2/5
cm.答案
如图,设BC=x cm,则AB=AE=(12-x)cm,BD=√2 x cm,BE=4√2 x cm,
则在直角三角形ABE中,由勾股定理可得AE²+AB²=BE²,即(12-x)²+(12-x)²=(4√2 x)²,解得x=12/5或x=-4(舍去),∴正方体的棱长为BD=√2 x=12√2/5 cm.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们通过设未知数，结合勾股定理建立方程求解。首先设BC的长度为x cm，根据正方形边长为12 cm，可表示出AB、AE的长度；再结合正方体展开图的边长关系，得到BE的表达式；最后在直角三角形ABE中利用勾股定理列方程，解出x后，计算正方体的棱长。
【解析】
设BC = x cm，已知正方形硬纸板的边长为12 cm，因此AB = AE = (12 - x) cm。
观察图形可知，BD是等腰直角三角形BCD的斜边，故BD = √2 x cm；结合正方体展开图的结构，BE = 4BD = 4√2 x cm。
在直角三角形ABE中，根据勾股定理：AE² + AB² = BE²，代入得：
$(12 - x)^2 + (12 - x)^2 = (4\sqrt{2}x)^2$
化简方程：
$2(12 - x)^2 = 32x^2$
展开并整理：
$2(144 - 24x + x^2) = 32x^2 \\288 - 48x + 2x^2 = 32x^2 \\30x^2 + 48x - 288 = 0 \\5x^2 + 8x - 48 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 960}}{10} = \frac{-8 \pm 32}{10}$
舍去负根，得$x = \frac{12}{5}$ cm。
因此正方体的棱长为$BD = \sqrt{2}x = \frac{12\sqrt{2}}{5}$ cm。
【答案】
$\frac{12\sqrt{2}}{5}$ cm
【知识点】
勾股定理、正方体展开图
【点评】
本题结合正方形与正方体展开图，核心是利用勾股定理建立方程求解，关键在于理清图形中各线段的关系，需要学生具备空间想象能力和代数运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们通过设未知数，结合勾股定理建立方程求解。首先设BC的长度为x cm，根据正方形边长为12 cm，可表示出AB、AE的长度；再结合正方体展开图的边长关系，得到BE的表达式；最后在直角三角形ABE中利用勾股定理列方程，解出x后，计算正方体的棱长。
【解析】
设BC = x cm，已知正方形硬纸板的边长为12 cm，因此AB = AE = (12 - x) cm。
观察图形可知，BD是等腰直角三角形BCD的斜边，故BD = √2 x cm；结合正方体展开图的结构，BE = 4BD = 4√2 x cm。
在直角三角形ABE中，根据勾股定理：AE² + AB² = BE²，代入得：
$(12 - x)^2 + (12 - x)^2 = (4\sqrt{2}x)^2$
化简方程：
$2(12 - x)^2 = 32x^2$
展开并整理：
$2(144 - 24x + x^2) = 32x^2 \\288 - 48x + 2x^2 = 32x^2 \\30x^2 + 48x - 288 = 0 \\5x^2 + 8x - 48 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 960}}{10} = \frac{-8 \pm 32}{10}$
舍去负根，得$x = \frac{12}{5}$ cm。
因此正方体的棱长为$BD = \sqrt{2}x = \frac{12\sqrt{2}}{5}$ cm。
【答案】
$\frac{12\sqrt{2}}{5}$ cm
【知识点】
勾股定理、正方体展开图
【点评】
本题结合正方形与正方体展开图，核心是利用勾股定理建立方程求解，关键在于理清图形中各线段的关系，需要学生具备空间想象能力和代数运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
