7. 如图①,在矩形$ABCD$中,$AD＜AB$,点$E$和$F$同时从点$A$出发,点$E$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$A-D-C$的方向运动,点$F$以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿$A-B-C$的方向运动,两点相遇时停止运动.设运动时间为$x\ \mathrm{s}$,$△ AEF$的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$,$y$关于$x$的函数图象如图②,图象经过点$(3,m)$,$(n,m)$,则$n$的值为.

由题图②可知,当点F运动到点B时,y=1/2 · AB · AD=2.5,即AB·AD=5,当点E和点F相遇时,即到达点C时,运动了6秒,即AB+AD=6 cm,AB(6-AB)=5,
∴AB=5 cm或AB=1 cm.
∵AD＜AB,
∴AB=5 cm,AD=1 cm,当x=3时,如图①,AF=3 cm,m=1/2 · AF · EM=1/2×3×1=3/2(cm²);当x=n时,点E在CD上,点F在BC上,如图②,此时,EC=(6-n)cm,CF=(6-n)cm,BF=(n-5)cm,
∴y=1/2×(6-n+5)×1 - 1/2×5(n-5) - 1/2×(6-n)²=3/2,解得n=3+√6或n=3-√6(舍去).故答案为3+√6.

【分析】
首先，从函数图象可知，当点F运动到点B时，△AEF的面积为2.5，此时E在D点、F在B点，利用三角形面积公式可得AB与AD的乘积为5；当E、F相遇时，运动时间为6秒，总路程为AB+AD=6cm，由此联立方程求出AB和AD的长度（结合AD＜AB确定AB=5cm、AD=1cm）。接着，当x=3时，计算此时△AEF的面积m；当x=n时，E在DC上、F在BC上，利用矩形面积减去周围三个三角形面积的方法表示此时△AEF的面积，结合m的值建立方程，求解得到n的值（舍去不合题意的解）。
【解析】
1. 求AB和AD的长度：
当F运动到B时，△AEF的面积为$\frac{1}{2} · AB · AD = 2.5$，故$AB · AD = 5$；
当E、F相遇时，运动时间为6秒，总路程为$AD + AB = 6\ \mathrm{cm}$，即$AB + AD = 6$；
联立得方程：$AB(6 - AB) = 5$，整理为$AB^2 -6AB +5=0$，解得$AB=5$或$AB=1$，因$AD＜AB$，故$AB=5\ \mathrm{cm}$，$AD=1\ \mathrm{cm}$。
2. 求m的值：
当$x=3$时，F在AB上，$AF=3\ \mathrm{cm}$，E在DC上，E到AB的距离为$AD=1\ \mathrm{cm}$，故$m = \frac{1}{2} · AF · AD = \frac{1}{2} ×3×1=\frac{3}{2}\ \mathrm{cm}^2$。
3. 求n的值：
当$x=n$时，E在DC上，F在BC上，此时$EC=(6 -n)\ \mathrm{cm}$，$CF=(6 -n)\ \mathrm{cm}$，$BF=(n -5)\ \mathrm{cm}$；
△AEF的面积可表示为矩形面积减去三个小三角形面积：
$y = \frac{1}{2} × (AB + EC) × AD - \frac{1}{2} × AB × BF - \frac{1}{2} × EC^2$，代入$AB=5$，$AD=1$，$y=m=\frac{3}{2}$：
$\frac{1}{2}(5 +6 -n)×1 - \frac{1}{2}×5×(n-5) - \frac{1}{2}(6 -n)^2 = \frac{3}{2}$；
化简方程：
左边$=\frac{11 -n}{2} - \frac{5(n-5)}{2} - \frac{(6-n)^2}{2} = \frac{11 -n -5n +25 - (36 -12n +n^2)}{2} = \frac{6n -n^2}{2}$；
故$\frac{6n -n^2}{2} = \frac{3}{2}$，即$n^2 -6n +3=0$；
解得$n=\frac{6\pm\sqrt{36-12}}{2}=3\pm\sqrt{6}$，因$n＞5$，故舍去$3-\sqrt{6}$，得$n=3+\sqrt{6}$。
【答案】
$3+\sqrt{6}$
【知识点】
矩形性质、三角形面积、一元二次方程应用
【点评】
本题结合动点问题与函数图象，需先从图象中获取矩形边长的关系，再分阶段分析动点位置，利用面积公式建立方程求解，关键是准确表示不同阶段的三角形面积，属于中等难度的动点综合题。
【难度系数】
0.4

8. (2026·赣州校级月考)如图,将边长为4的正方形$ABCD$沿其对角线$AC$剪开,再把$△ ABC$沿着$AD$方向平移,得到$△ A'B'C'$.
(1)当两个三角形重叠部分的面积为3时,求移动的距离$AA'$.
(2)当移动的距离$AA'$是何值时,重叠部分是菱形?

(1)如图,设AC与A'B'交于点E,DC与A'C'交于点F.设AA'=x,则A'E=AA'=x,A'D=4-x.由题意得x(4-x)=3,解得x=1或3.故移动的距离AA'=1或3.
(2)当四边形A'ECF是菱形时,A'E=A'F.设AA'=x,则A'E=CF=x.由题意得A'F²=2A'D²,即x²=2(4-x)²,解得x=8-4√2或8+4√2(舍去).故当移动的距离AA'是8-4√2时,重叠部分是菱形.

【分析】
本题是正方形平移的几何问题，需结合正方形、平移、菱形的性质分析重叠部分的边长关系。首先明确平移后对应线段平行且相等，重叠部分为平行四边形，利用正方形的45°角特征，将边长用平移距离AA'表示，再根据面积、菱形邻边相等的条件建立方程求解。
【解析】
(1) 设移动距离AA'=x，正方形边长为4，则A'D=AD - AA'=4 - x。
由平移性质，重叠部分为平行四边形，结合正方形的45°内角，该平行四边形的面积可表示为x(4 - x)。
已知重叠部分面积为3，列方程：
x(4 - x) = 3
整理为一元二次方程：x² - 4x + 3 = 0
因式分解得：(x - 1)(x - 3) = 0
解得：x₁=1，x₂=3，均符合题意，故AA'=1或3。
(2) 若重叠部分为菱形，则其邻边相等，即A'E = A'F。
由平移性质，A'E=AA'=x；又△A'DF为等腰直角三角形，故A'F=√2·A'D=√2(4 - x)。
根据菱形邻边相等的性质，得：
x = √2(4 - x)
两边平方消去根号：x² = 2(4 - x)²
展开并整理：x² = 2(16 - 8x + x²) → x² - 16x + 32 = 0
用求根公式解得：x = [16 ± √(256 - 128)]/2 = 8 ± 4√2
因AA'=8 + 4√2 ＞ 正方形边长4，不符合实际，舍去，故AA'=8 - 4√2。
【答案】
(1) AA'=1或3；(2) AA'=8-4√2
【知识点】
平移性质、菱形判定、一元二次方程应用
【点评】
本题综合考查几何变换与代数方程的结合应用，关键是准确分析重叠部分的边长关系，需注意舍去不符合几何实际的解，难度中等。
【难度系数】
0.5

9. 小明和同桌小聪在课后复习时,对练习册中的一道思考题进行了认真探索.思考题:如图,一架 2.5 米长的梯子 AB 斜靠在竖直的墙 AC 上,这时点 B 到墙底端 C 的距离为 0.7 米,如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米,那么点 B 将向外移动多少米?

(1)请你将小明对"思考题"的解答补充完整.
解:设点 B 将向外移动 x 米,即 $BB_1=x$ 米,则$B_1C=(x+0.7)$米,$A_1C=AC-AA_1=\sqrt{2.5^2-0.7^2}-$$0.4=2.4-0.4=2$(米),而 $A_1B_1=2.5$ 米,在$\mathrm{Rt}△ A_1B_1C$中,由 $B_1C^2+A_1C^2=A_1B_1^2$,得方程,解方程得 $x_1=$,$x_2=$,$\therefore$ 点 B 将向外移动米.
(2)解完"思考题"后,小聪提出了如下两个问题:
问题①:在"思考题"中,将"下滑 0.4 米"改为"下滑 0.9 米",那么该题的答案会是 0.9 米吗?为什么?
问题②:在"思考题"中,梯子的顶端从A 处沿墙 AC 下滑的距离与点 B 向外移动的距离,有可能相等吗?为什么?
请你解答小聪提出的这两个问题.

(1) (x+0.7)²+2²=2.5²，0.8，-2.2(舍去)，0.8
(2)①不会是0.9米.理由如下：
∵AA₁=0.9米,
∴A₁C=2.4-0.9=1.5(米).
在Rt△A₁B₁C中,B₁C=√(2.5²-1.5²)=2(米),
则BB₁=CB₁-CB=2-0.7=1.3(米).
故梯子底部B向外移动1.3米.
②有可能.理由如下：
设梯子顶端从A处下滑x米,点B向外也移动x米,则有(x+0.7)²+(2.4-x)²=2.5²,
解得x₁=1.7或x₂=0(舍去).
∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时,点B向外也移动1.7米,即梯子顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等.

【分析】
这是一道直角三角形勾股定理的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：梯子滑动前后长度不变，始终为2.5米，滑动后形成新的直角三角形Rt△A₁B₁C，利用勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），结合已知的梯子长度，设点B向外移动的距离为x，列出方程求解，注意舍去不符合实际意义的负解。
2. 第(2)问的问题①：假设下滑距离为0.9米，先计算新的墙高A₁C，再用勾股定理算出滑动后底端到墙的距离B₁C，减去原距离0.7米得到实际移动距离，与0.9米比较即可判断。
3. 问题②：设梯子顶端下滑距离与点B向外移动距离均为x米，利用勾股定理列方程，求解后舍去负解，若存在正解则说明两者有可能相等。
【解析】
(1) 设点B向外移动x米，则B₁C=(x+0.7)米，A₁C=2米，A₁B₁=2.5米。
在Rt△A₁B₁C中，根据勾股定理得方程：
$(x+0.7)^2 + 2^2 = 2.5^2$
展开并整理方程：
$x^2 + 1.4x + 0.49 + 4 = 6.25$
$x^2 + 1.4x - 1.76 = 0$
用求根公式解得：
$x = \frac{-1.4 \pm \sqrt{1.4^2 + 4 × 1.76}}{2} = \frac{-1.4 \pm 3}{2}$
即$x_1=0.8$，$x_2=-2.2$（舍去，距离不能为负），故点B向外移动0.8米。
(2) ① 不会是0.9米，理由如下：
若$AA_1=0.9$米，则$A_1C=AC - AA_1=2.4 - 0.9=1.5$米。
在Rt△A₁B₁C中，$B_1C=\sqrt{A_1B_1^2 - A_1C^2}=\sqrt{2.5^2 - 1.5^2}=2$米，
则$BB_1=B_1C - CB=2 - 0.7=1.3$米≠0.9米，故答案不会是0.9米。
② 有可能，理由如下：
设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则$A_1C=(2.4 - x)$米，$B_1C=(0.7 + x)$米。
根据勾股定理列方程：
$(x+0.7)^2 + (2.4 - x)^2 = 2.5^2$
展开并整理：
$x^2 +1.4x +0.49 +x^2 -4.8x +5.76=6.25$
$2x^2 -3.4x=0$
解得$x_1=0$（舍去，未滑动），$x_2=1.7$，
即当梯子顶端下滑1.7米时，点B向外移动1.7米，故两者有可能相等。
【答案】
(1) $(x+0.7)^2+2^2=2.5^2$；0.8；-2.2；0.8
(2) ①不会，理由见解析；②有可能，理由见解析
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在生活中的典型应用，将实际问题转化为直角三角形边长变化的数学模型，通过建立一元二次方程求解，重点考察数学建模能力与方程思想，解题时需舍去不符合实际意义的负解，体现了数学与生活的紧密联系。
【难度系数】
0.6