3. 新趋势 跨学科融合 用几个电子元件组成的一个电路系统,当且仅当从$A$到$B$的电路为通路状态时,系统正常工作,系统正常工作的概率称为该系统的可靠性.每个元件正常工作的概率均为$\dfrac{1}{2}$,当某元件不能正常工作时,该元件在电路中将形成断路.
(1) 如图①,只用1个电子元件①,该电路为断路的概率为;
如图②,用2个电子元件①,②组成一个电路系统,系统正常工作的概率为;

(2) 如图③,用3个电子元件①,②,③组成一个电路系统,现提供两种连接方案,已知方案1电路系统正常工作的概率为$\dfrac{7}{8}$,求出方案2电路系统正常工作的概率,说明哪种连接方案更稳定可靠.(用画树状图或列表方法求解)

3. (1)$\dfrac{1}{2}$ $\dfrac{1}{4}$ 解析:只用1个电子元件①,该电路为断路的概率为$\dfrac{1}{2}$;每个元件正常工作分别记为$R_1,R_2$,每个元件不能正常工作分别记为$\overline{R_1},\overline{R_2}$,用2个电子元件①,②组成一个电路系统,所有情况如下表:
| | $R_2$ | $\overline{R_2}$ |
| ---- | ---- | ---- |
| $R_1$ | $(R_1,R_2)$ | $(R_1,\overline{R_2})$ |
| $\overline{R_1}$ | $(\overline{R_1},R_2)$ | $(\overline{R_1},\overline{R_2})$ |
∵从A到B的电路共4种等可能结果,其中该电路为正常状态的有1种,
∴该电路系统正常工作的概率为$\dfrac{1}{4}$.
(2)方案2电路系统所有情况如图所示:

共有8种等可能的结果,其中该电路系统正常工作的情况有3种,
∴系统正常工作的概率为$\dfrac{3}{8}$.
∵$\dfrac{7}{8}＞\dfrac{3}{8}$,
∴方案1更稳定可靠.
答:方案2电路系统正常工作的概率为$\dfrac{3}{8}$,方案1的连接更稳定可靠.

【分析】本题是结合电路知识的概率计算问题，核心是利用树状图或列表法列举所有等可能结果，再通过“概率=符合条件的结果数÷总结果数”计算系统正常工作的概率，最后比较两个方案的概率判断可靠性。解题时需明确每个元件仅存在“正常工作（通）”和“断路”两种等可能状态，总结果数为各元件状态数的乘积，再从中筛选出电路通路的结果即可。
【解析】
(1) 对于1个电子元件，仅存在“通”“断”2种等可能结果，因此电路为断路的概率为$\dfrac{1}{2}$；
对于2个电子元件，每个元件有2种状态，总共有$2×2=4$种等可能结果，电路正常工作（通路）的情况仅为两个元件都通，共1种，因此系统正常工作的概率为$\dfrac{1}{4}$。
(2) 方案2的电路系统，3个电子元件每个有2种状态，总共有$2×2×2=8$种等可能结果（对应题目中的树状图），其中电路通路的结果有3种，因此方案2系统正常工作的概率为$\dfrac{3}{8}$。
比较两个方案的概率：$\dfrac{7}{8}＞\dfrac{3}{8}$，故方案1的连接更稳定可靠。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{2}$；$\dfrac{1}{4}$
(2) 方案2电路系统正常工作的概率为$\dfrac{3}{8}$，方案1的连接更稳定可靠。
【知识点】
概率计算、树状图法求概率
【点评】
本题为跨学科融合题，结合电路场景考查概率的基本应用，通过列举法求解概率，再比较可靠性，重点考察学生对概率概念的理解和实际应用能力。
【难度系数】
0.5

4. 甲、乙两个音乐剧社各有14名学生,这两个剧社都申请报名参加某个青少年音乐剧展演活动,主办方对报名剧社的所有学生分别进行了声乐和表演两项测试,甲、乙两个剧社学生的测试成绩(百分制)统计图如下:

根据以上信息,回答下列问题:
(1)甲剧社中一名学生的声乐成绩是80分,表演成绩是70分,按声乐成绩占60%,表演成绩占40%计算学生的综合成绩,则这名学生的综合成绩为分.
(2)入选参加展演的剧社需要同时满足以下两个条件:首先,两项测试成绩中至少有一项的平均成绩不低于75分;其次,两项测试成绩都低于60分的人数占比不超过10%.那么甲剧社(填“符合”或“不符合”)入选参加展演的条件.
(3)主办方计划从甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中,随机选择两名学生参加个人展示,请用画树状图或列表的方法求出被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率.

4. (1)76 解析:这名学生的综合成绩为80×60%+70×40%=76(分).
(2)符合 解析:由题图可知,甲剧社声乐成绩低于75分的只有3人,高于75分的有11人,高于75分的人数明显比低于75分的人数多,结合题图中数据,显然甲剧社声乐成绩的平均成绩不低于75分,
∴满足第一个条件;
∵甲剧社学生中两项测试成绩都低于60分的人数为1,占比为7.1%＜10%,
∴满足第二个条件.
∴甲剧社符合入选参加展演的条件.
(3)由题图可知,甲、乙剧社符合条件的学生各有2人,分别记为甲1,甲2,乙1,乙2,画树状图如下:

∵共有12种等可能的结果,其中被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的结果有8种,
∴被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率为$\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$.

【分析】
本题分为三个小问，第(1)问考查加权平均数的计算，直接根据加权公式代入数据计算即可；第(2)问需分别验证入选的两个条件，先确定甲剧社两项都低于60分的人数及占比，再判断平均成绩是否达标；第(3)问先找出符合条件的学生，再用树状图法计算概率，关键是准确读取图表信息，找出所有等可能结果和符合条件的结果。
【解析】
(1) 根据加权平均数公式，综合成绩 = 声乐成绩×60% + 表演成绩×40%，代入数据得：$80×60\% + 70×40\% = 48 + 28 = 76$分。
(2) 首先验证第一个条件：观察甲剧社的成绩，声乐和表演成绩整体较高，平均成绩不低于75分；再验证第二个条件：甲剧社共14人，两项测试都低于60分的有1人，占比为$1÷14≈7.1\%＜10\%$，两个条件均满足，故甲剧社符合入选条件。
(3) 由题图可知，甲、乙两剧社符合条件（声乐和表演都高于80分）的学生各有2人，分别记为甲1、甲2、乙1、乙2。画树状图（如下），共有12种等可能的结果，其中两名学生来自不同剧社的结果有8种，因此概率为$\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
(1)76；(2)符合；(3)概率为$\dfrac{2}{3}$，树状图如下：

【知识点】
加权平均数，统计量应用，概率计算
【点评】
本题结合散点图考查统计知识与概率计算，难度适中，需准确读取图表信息，熟练运用加权平均数、占比计算及树状图法求概率的方法。
【难度系数】
0.6