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1. (2025·广州中考)若$|k|=-k(k≠0)$,反比例
函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象在（
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象在（
C
）A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案
1. C 解析:
∵ |k|=-k 且 k≠0,则 k 为负数,
∴ 函数 y=k/x 的图象应在第二、四象限.故选 C.
∵ |k|=-k 且 k≠0,则 k 为负数,
∴ 函数 y=k/x 的图象应在第二、四象限.故选 C.
解析
【分析】首先根据绝对值的性质判断k的符号：当|k|=-k且k≠0时，k为负数；再回忆反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象分布规律：当k＜0时，图象位于第二、四象限，据此即可得出答案。
【解析】
∵ $|k|=-k$且$k≠0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，
∴ $k＜0$。对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＜0$时，其图象在第二、四象限，故选C。
【答案】C
【知识点】绝对值的性质、反比例函数的图象性质
【点评】本题结合绝对值的性质考查反比例函数的图象性质，属于基础题型，侧重对核心知识点的直接应用，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】
∵ $|k|=-k$且$k≠0$，根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，
∴ $k＜0$。对于反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，当$k＜0$时，其图象在第二、四象限，故选C。
【答案】C
【知识点】绝对值的性质、反比例函数的图象性质
【点评】本题结合绝对值的性质考查反比例函数的图象性质，属于基础题型，侧重对核心知识点的直接应用，难度较低。
【难度系数】0.7
2. (2026·唐山期末)已知$\odot O$的半径为3,点$O$到直线$m$的距离为$d$,若直线$m$与$\odot O$公共点的个数为2个,则$d$可取 （
A.0
B.3
C.3.5
D.4
A
）A.0
B.3
C.3.5
D.4
答案
2. A 解析:
∵ 直线 m 与⊙O 公共点的个数为 2 个,
∴ 直线 m 与⊙O 相交,
∴ 0≤d＜3,故选 A.
∵ 直线 m 与⊙O 公共点的个数为 2 个,
∴ 直线 m 与⊙O 相交,
∴ 0≤d＜3,故选 A.
解析
【分析】
要解决本题，需先明确直线与圆的位置关系和公共点个数的对应规则：当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；而直线与圆相交的条件是圆心到直线的距离d小于圆的半径r，且距离d为非负数（d≥0）。已知⊙O半径r=3，据此确定d的取值范围，再结合选项判断即可。
【解析】
解：
∵直线m与⊙O公共点的个数为2个，
∴直线m与⊙O相交，
根据直线与圆相交的性质：圆心到直线的距离d满足0≤d＜r（r为圆的半径），
本题中r=3，因此0≤d＜3。
对各选项逐一分析：
A. d=0，满足0≤0＜3，符合条件；
B. d=3，此时直线与圆相切，公共点个数为1个，不符合；
C. d=3.5＞3，直线与圆相离，无公共点，不符合；
D. d=4＞3，直线与圆相离，无公共点，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题为基础题型，直接考察直线与圆位置关系的判定，牢记“相交对应0≤d＜r、相切对应d=r、相离对应d＞r”的规律即可快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需先明确直线与圆的位置关系和公共点个数的对应规则：当直线与圆有2个公共点时，直线与圆相交；而直线与圆相交的条件是圆心到直线的距离d小于圆的半径r，且距离d为非负数（d≥0）。已知⊙O半径r=3，据此确定d的取值范围，再结合选项判断即可。
【解析】
解：
∵直线m与⊙O公共点的个数为2个，
∴直线m与⊙O相交，
根据直线与圆相交的性质：圆心到直线的距离d满足0≤d＜r（r为圆的半径），
本题中r=3，因此0≤d＜3。
对各选项逐一分析：
A. d=0，满足0≤0＜3，符合条件；
B. d=3，此时直线与圆相切，公共点个数为1个，不符合；
C. d=3.5＞3，直线与圆相离，无公共点，不符合；
D. d=4＞3，直线与圆相离，无公共点，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题为基础题型，直接考察直线与圆位置关系的判定，牢记“相交对应0≤d＜r、相切对应d=r、相离对应d＞r”的规律即可快速解题，难度较低。
【难度系数】
0.8
3. (2024·日照中考)某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示,那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是 （
A.9,9
B.14,9
C.14,8.5
D.9,8.5
A
）A.9,9
B.14,9
C.14,8.5
D.9,8.5
答案
3. A 解析:由统计图可知,该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间出现次数最多的是9小时,故众数是9,按从小到大的顺序排列,处在第 20,21 个的是 9,9,故中位数是(9+9)÷2=9,故选 A.
解析
【分析】要解决这个问题，需先明确众数和中位数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数值；中位数是将一组数据从小到大排列后，若数据总数为偶数，取中间两个数的平均数，若为奇数则取中间位置的数。首先观察条形统计图，获取不同锻炼时间对应的人数，再结合定义分别计算众数和中位数。
【解析】1. 验证总人数：由统计图可知，锻炼时间7小时的有6人，8小时的有12人，9小时的有14人，10小时的有8人，总人数为$6+12+14+8=40$人，符合题目条件。2. 求众数：观察各时间对应的人数，9小时对应的人数14人是所有时间中最多的，因此众数为9。3. 求中位数：总共有40个数据（偶数个），需找到从小到大排列后第20和第21个数据。累加人数：7小时的6人，8小时的共$6+12=18$人，9小时的共$18+14=32$人，可知第19到32个数据都是9，因此第20、21个数据均为9，中位数为$\frac{9+9}{2}=9$。综上，众数和中位数均为9，对应选项A。
【答案】A
【知识点】众数；中位数
【点评】本题考查统计中众数和中位数的基本概念，属于基础题型，解题关键是准确从条形统计图中提取数据，结合定义计算即可，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】1. 验证总人数：由统计图可知，锻炼时间7小时的有6人，8小时的有12人，9小时的有14人，10小时的有8人，总人数为$6+12+14+8=40$人，符合题目条件。2. 求众数：观察各时间对应的人数，9小时对应的人数14人是所有时间中最多的，因此众数为9。3. 求中位数：总共有40个数据（偶数个），需找到从小到大排列后第20和第21个数据。累加人数：7小时的6人，8小时的共$6+12=18$人，9小时的共$18+14=32$人，可知第19到32个数据都是9，因此第20、21个数据均为9，中位数为$\frac{9+9}{2}=9$。综上，众数和中位数均为9，对应选项A。
【答案】A
【知识点】众数；中位数
【点评】本题考查统计中众数和中位数的基本概念，属于基础题型，解题关键是准确从条形统计图中提取数据，结合定义计算即可，难度较低。
【难度系数】0.7
4. (2025·福建中考)在分别写有-1,1,2的三张卡片中,不放回地随机抽取两张,这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是 （
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
B
）A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
4. B 解析:由题意,列表如下:
| | -1 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| -1 | | (-1,1) | (-1,2) |
| 1 | (1,-1) | | (1,2) |
| 2 | (2,-1) | (2,1) | |
共有6种等可能的结果,其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有(-1,1),(1,-1)两种,
∴ P=2/6=1/3.故选 B.
| | -1 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| -1 | | (-1,1) | (-1,2) |
| 1 | (1,-1) | | (1,2) |
| 2 | (2,-1) | (2,1) | |
共有6种等可能的结果,其中两张卡片上的数恰好互为相反数的情况有(-1,1),(1,-1)两种,
∴ P=2/6=1/3.故选 B.
解析
【分析】
要计算不放回抽取两张卡片的数互为相反数的概率，需先明确概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数。解题时，通过列表法清晰列举出所有不放回抽取的等可能结果，再从中筛选出“两数互为相反数”的结果，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：根据题意，用列表法列举不放回抽取两张卡片的所有等可能结果：
| | -1 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| -1 | - | (-1,1) | (-1,2) |
| 1 | (1,-1) | - | (1,2) |
| 2 | (2,-1) | (2,1) | - |
共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数互为相反数的结果为(-1,1)、(1,-1)，共2种。
根据概率公式，所求概率$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
列表法求概率、概率的计算
【点评】
本题为初中概率基础题，考查用列举法求随机事件的概率，解题核心是准确列举所有等可能结果，注意“不放回”抽取的结果特点，整体难度较低，属于学生易掌握的题型。
【难度系数】
0.7
要计算不放回抽取两张卡片的数互为相反数的概率，需先明确概率公式：概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数。解题时，通过列表法清晰列举出所有不放回抽取的等可能结果，再从中筛选出“两数互为相反数”的结果，最后代入公式计算即可。
【解析】
解：根据题意，用列表法列举不放回抽取两张卡片的所有等可能结果：
| | -1 | 1 | 2 |
| --- | --- | --- | --- |
| -1 | - | (-1,1) | (-1,2) |
| 1 | (1,-1) | - | (1,2) |
| 2 | (2,-1) | (2,1) | - |
共有6种等可能的结果，其中两张卡片上的数互为相反数的结果为(-1,1)、(1,-1)，共2种。
根据概率公式，所求概率$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
列表法求概率、概率的计算
【点评】
本题为初中概率基础题，考查用列举法求随机事件的概率，解题核心是准确列举所有等可能结果，注意“不放回”抽取的结果特点，整体难度较低，属于学生易掌握的题型。
【难度系数】
0.7
5. 已知$x_{1},x_{2}$是关于$x$的方程$x^{2}-2x-m^{2}=0$的两根,下列结论中不一定正确的是（
A.$x_{1}+x_{2}＞0$
B.$x_{1}· x_{2}＜0$
C.$x_{1}≠ x_{2}$
D.方程必有一正根
B
）A.$x_{1}+x_{2}＞0$
B.$x_{1}· x_{2}＜0$
C.$x_{1}≠ x_{2}$
D.方程必有一正根
答案
5. B 解析:A. 根据根与系数的关系可得出 x₁+x₂=2＞0,结论 A 正确,不符合题意;B. 根据根与系数的关系可得出x₁x₂=-m²≤0,结论 B 不一定正确,符合题意;C. 根据方程的系数结合根的判别式,可得出 b²-4ac＞0,由此即可得出x₁≠x₂,结论 C 正确,不符合题意;D. 由 x₁·x₂=-m²≤0,结合两根之和大于 0 可得出方程必有一正根,结论 D 正确,不符合题意.故选 B.
解析
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与韦达定理的应用，解题思路为：先根据方程确定系数，利用韦达定理求出两根之和、两根之积，计算根的判别式判断根的个数，再逐一分析各选项，找出不一定正确的结论。
【解析】对于方程$x^2 - 2x - m^2 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-m^2$。
1. 分析选项A：根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，显然$2＞0$，结论A正确；
2. 分析选项B：根据韦达定理，两根之积$x_1·x_2 = \frac{c}{a} = -m^2$，因为$m^2≥0$，所以$-m^2≤0$，当$m=0$时，$x_1·x_2=0$，不满足$x_1·x_2＜0$，因此结论B不一定正确；
3. 分析选项C：计算根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-m^2) = 4 + 4m^2$，由于$m^2≥0$，故$\Delta=4+4m^2＞0$，方程有两个不相等的实数根，即$x_1≠x_2$，结论C正确；
4. 分析选项D：由两根和$x_1+x_2=2＞0$，两根积$x_1·x_2=-m^2≤0$，可知两根异号或有一个根为0；若有一个根为0，则另一根为2（正根）；若两根异号，和为正说明正根绝对值更大，因此方程必有一正根，结论D正确。综上，不一定正确的是B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根与系数的关系；根的判别式
【点评】本题围绕一元二次方程的根的性质展开，需熟练掌握韦达定理和根的判别式，通过逐一分析选项即可得出答案，属于基础中档题。
【难度系数】0.5
【解析】对于方程$x^2 - 2x - m^2 = 0$，其中$a=1$，$b=-2$，$c=-m^2$。
1. 分析选项A：根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，显然$2＞0$，结论A正确；
2. 分析选项B：根据韦达定理，两根之积$x_1·x_2 = \frac{c}{a} = -m^2$，因为$m^2≥0$，所以$-m^2≤0$，当$m=0$时，$x_1·x_2=0$，不满足$x_1·x_2＜0$，因此结论B不一定正确；
3. 分析选项C：计算根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4×1×(-m^2) = 4 + 4m^2$，由于$m^2≥0$，故$\Delta=4+4m^2＞0$，方程有两个不相等的实数根，即$x_1≠x_2$，结论C正确；
4. 分析选项D：由两根和$x_1+x_2=2＞0$，两根积$x_1·x_2=-m^2≤0$，可知两根异号或有一个根为0；若有一个根为0，则另一根为2（正根）；若两根异号，和为正说明正根绝对值更大，因此方程必有一正根，结论D正确。综上，不一定正确的是B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程根与系数的关系；根的判别式
【点评】本题围绕一元二次方程的根的性质展开，需熟练掌握韦达定理和根的判别式，通过逐一分析选项即可得出答案，属于基础中档题。
【难度系数】0.5
6. (黄冈中考)如图,$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆,$OE ⊥ AB$交$\odot O$于点$E$,垂足为点$D$,$AE$,$CB$的延长线交于点$F$.若$OD=3$,$AB=8$,则$FC$的长是（
A.10
B.8
C.6
D.4
A
）A.10
B.8
C.6
D.4
答案
6. A 解析:
∵ OE ⊥ AB,AB = 8,
∴ AD = 1/2 AB = 4.
∵ OD = 3,
∴ OA = √(OD²+AD²) = 5,
∴ OE = 5.
∵ OE ⊥ AB,
∴ ∠ADO = 90°= ∠ABC,
∴ OE//FC.又
∵ OA=OC,
∴ OE 是△ACF 的中位线,
∴ FC=2OE=10,故选 A.
∵ OE ⊥ AB,AB = 8,
∴ AD = 1/2 AB = 4.
∵ OD = 3,
∴ OA = √(OD²+AD²) = 5,
∴ OE = 5.
∵ OE ⊥ AB,
∴ ∠ADO = 90°= ∠ABC,
∴ OE//FC.又
∵ OA=OC,
∴ OE 是△ACF 的中位线,
∴ FC=2OE=10,故选 A.
解析
【分析】
本题是圆与三角形结合的几何题，解题思路：首先利用垂径定理求出弦AB被OE平分后的线段AD的长度，再通过勾股定理算出圆的半径OA（即OE的长度）；接着根据直角三角形外接圆的性质，结合OE⊥AB、AB⊥BC，推导出OE与FC平行；最后利用OA=OC（O是AC中点），结合三角形中位线定理求出FC的长度。
【解析】
1. 由OE⊥AB，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，得AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4。
2. 在Rt△ADO中，OD=3，AD=4，由勾股定理得OA = $\sqrt{OD^2 + AD^2}$ = $\sqrt{3^2 + 4^2}$ = 5，因此OE = OA = 5（OE是圆的半径）。
3. 因为⊙O是Rt△ABC的外接圆，所以AC是直径，∠ABC=90°，即AB⊥BC；又OE⊥AB，故∠ADO=∠ABC=90°，所以OE//FC（同位角相等，两直线平行）。
4. 由于OA=OC，即O是AC的中点，结合OE//FC，可知OE是△ACF的中位线，根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，因此FC=2OE=2×5=10。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、三角形中位线定理、圆的外接圆性质
【点评】
本题综合考查圆的垂径定理和三角形中位线定理，需结合直角三角形外接圆的性质推导平行关系，关键是找到OE为△ACF中位线的条件，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.6
本题是圆与三角形结合的几何题，解题思路：首先利用垂径定理求出弦AB被OE平分后的线段AD的长度，再通过勾股定理算出圆的半径OA（即OE的长度）；接着根据直角三角形外接圆的性质，结合OE⊥AB、AB⊥BC，推导出OE与FC平行；最后利用OA=OC（O是AC中点），结合三角形中位线定理求出FC的长度。
【解析】
1. 由OE⊥AB，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，得AD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$×8 = 4。
2. 在Rt△ADO中，OD=3，AD=4，由勾股定理得OA = $\sqrt{OD^2 + AD^2}$ = $\sqrt{3^2 + 4^2}$ = 5，因此OE = OA = 5（OE是圆的半径）。
3. 因为⊙O是Rt△ABC的外接圆，所以AC是直径，∠ABC=90°，即AB⊥BC；又OE⊥AB，故∠ADO=∠ABC=90°，所以OE//FC（同位角相等，两直线平行）。
4. 由于OA=OC，即O是AC的中点，结合OE//FC，可知OE是△ACF的中位线，根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，因此FC=2OE=2×5=10。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理、三角形中位线定理、圆的外接圆性质
【点评】
本题综合考查圆的垂径定理和三角形中位线定理，需结合直角三角形外接圆的性质推导平行关系，关键是找到OE为△ACF中位线的条件，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.6
7.(铜仁中考改编)某商店以20元/千克的单价新进一批商品,经调查发现,在一段时间内,销售量$y$(千克)与销售单价$x$(元/千克)之间的函数关系如图所示.要使销售利润达到800元,销售单价应定为每千克（
A.40元
B.60元
C.40元或60元
D.20元或80元
C
）A.40元
B.60元
C.40元或60元
D.20元或80元
答案
7. C 解析:当 0＜x＜20 时,y=60;当 20≤x≤80 时,设 y 与 x 之间的函数表达式为 y=kx+b,把(20,60),(80,0)代入,可得{60=20k+b, 0=80k+b, 解得{k=-1, b=80,
∴ y=-x+80,
∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y={60(0＜x＜20), -x+80(20≤x≤80). 若销售利润达到800元,则(x-20)(-x+80)=800,解得x₁=40,x₂=60,
∴ 要使销售利润达到 800 元,销售单价应定为每千克 40 元或 60 元.
∴ y=-x+80,
∴ y 与 x 之间的函数表达式为 y={60(0＜x＜20), -x+80(20≤x≤80). 若销售利润达到800元,则(x-20)(-x+80)=800,解得x₁=40,x₂=60,
∴ 要使销售利润达到 800 元,销售单价应定为每千克 40 元或 60 元.
解析
【分析】
要解决该问题，需先根据图像确定销售量$y$与销售单价$x$的函数关系，再利用“销售利润=（销售单价-成本单价）×销售量”的公式，结合利润为800元列方程求解，同时需验证解是否符合自变量的取值范围，排除不符合实际的解。
【解析】
1. 确定$y$与$x$的函数表达式：
当$0＜x＜20$时，由图像可知$y=60$；
当$20≤x≤80$时，设函数表达式为$y=kx+b$，将点$(20,60)$和$(80,0)$代入得：
$ \begin{cases} 60=20k+b \\ 0=80k+b \end{cases} $
解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=80\end{cases}$，因此$y=-x+80\ (20≤x≤80)$。
综上，$y$与$x$的函数表达式为：
$ y=\begin{cases}60 & (0＜x＜20) \\ -x+80 & (20≤x≤80)\end{cases} $
2. 列方程求解销售单价：
成本单价为20元/千克，销售利润为$(x-20)y$，令利润为800元：
当$0＜x＜20$时，$y=60$，此时$x-20＜0$，利润为负，不可能达到800元，舍去；
当$20≤x≤80$时，$y=-x+80$，列方程：
$ (x-20)(-x+80)=800 $
整理得$x^2-100x+2400=0$，解得$x_1=40$，$x_2=60$，均满足$20≤x≤80$，符合实际意义。
因此，销售单价应定为每千克40元或60元。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、一元二次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题结合一次函数图像考查实际应用，核心是先确定分段函数解析式，再利用利润公式列方程，需注意舍去不符合实际的解，属于中等难度的实际应用题型。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需先根据图像确定销售量$y$与销售单价$x$的函数关系，再利用“销售利润=（销售单价-成本单价）×销售量”的公式，结合利润为800元列方程求解，同时需验证解是否符合自变量的取值范围，排除不符合实际的解。
【解析】
1. 确定$y$与$x$的函数表达式：
当$0＜x＜20$时，由图像可知$y=60$；
当$20≤x≤80$时，设函数表达式为$y=kx+b$，将点$(20,60)$和$(80,0)$代入得：
$ \begin{cases} 60=20k+b \\ 0=80k+b \end{cases} $
解得$\begin{cases}k=-1 \\ b=80\end{cases}$，因此$y=-x+80\ (20≤x≤80)$。
综上，$y$与$x$的函数表达式为：
$ y=\begin{cases}60 & (0＜x＜20) \\ -x+80 & (20≤x≤80)\end{cases} $
2. 列方程求解销售单价：
成本单价为20元/千克，销售利润为$(x-20)y$，令利润为800元：
当$0＜x＜20$时，$y=60$，此时$x-20＜0$，利润为负，不可能达到800元，舍去；
当$20≤x≤80$时，$y=-x+80$，列方程：
$ (x-20)(-x+80)=800 $
整理得$x^2-100x+2400=0$，解得$x_1=40$，$x_2=60$，均满足$20≤x≤80$，符合实际意义。
因此，销售单价应定为每千克40元或60元。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用、一元二次方程的应用、销售利润问题
【点评】
本题结合一次函数图像考查实际应用，核心是先确定分段函数解析式，再利用利润公式列方程，需注意舍去不符合实际的解，属于中等难度的实际应用题型。
【难度系数】
0.6
8. 把一张圆形纸片和一张含$45^{\circ }$角的扇形纸片按
如图所示的方式分别剪得一个正方形,如果所
剪得的两个正方形边长都是1,那么扇形纸片
和圆形纸片的面积比是（
A.$5:4$
B.$2:5$
C.$\sqrt {5}:2$
D.$\sqrt {5}:\sqrt {2}$
如图所示的方式分别剪得一个正方形,如果所
剪得的两个正方形边长都是1,那么扇形纸片
和圆形纸片的面积比是（
A
）A.$5:4$
B.$2:5$
C.$\sqrt {5}:2$
D.$\sqrt {5}:\sqrt {2}$
答案
8. A 解析:如图①,连接 OD.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠DCB=∠ABO=90°,AB=BC=CD=1.
∵ ∠AOB=45°,
∴ OB=AB=1.由勾股定理得 OD=√(2²+1²)=√5,
∴ 扇形的面积为 45π×(√5)²/360 = 5/8 π. 如图②,连接 MB,MC.
∵ 四边形 ABCD 是⊙M 的内接四边形,四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠BMC=90°,MB=MC,
∴ ∠MCB=∠MBC=45°.
∵ BC=1,
∴ MC=MB=√2/2,
∴ ⊙M 的面积为 π×(√2/2)²=1/2 π,
∴ 扇形纸片和圆形纸片的面积比是 5/8 π : (1/2 π) = 5 : 4.故选 A.
解析
【分析】
要解决本题，需分别求出扇形和圆形的半径，再计算两者面积后求比值。首先处理扇形部分：连接OD，利用正方形性质和45°角求出扇形半径；再处理圆形部分：连接MB、MC，利用正方形内接于圆的性质求出圆的半径；最后根据面积公式计算面积并求比。
【解析】
1. 求扇形的半径与面积：
如图①，连接OD。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1。
∵ ∠AOB=45°，
∴ △ABO为等腰直角三角形，故OB=AB=1，因此OC=OB+BC=1+1=2。
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=√(OC² + CD²)=√(2² + 1²)=√5，即扇形半径为√5。
根据扇形面积公式 $ S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ r^2}{360} $（n=45°，r=√5），代入得：
$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{45π × (\sqrt{5})^2}{360}=\frac{45π ×5}{360}=\frac{5π}{8} $。
2. 求圆形的半径与面积：
如图②，连接MB、MC。
∵ 四边形ABCD是⊙M的内接正方形，
∴ ∠BMC=90°，且MB=MC（圆的半径相等），故△BMC为等腰直角三角形。
已知BC=1，在等腰Rt△BMC中，由勾股定理：$ MB^2 + MC^2 = BC^2 $，又MB=MC，因此 $ 2MC^2=1^2 $，解得 $ MC=\frac{\sqrt{2}}{2} $，即圆的半径为$ \frac{\sqrt{2}}{2} $。
根据圆的面积公式 $ S_{\mathrm{圆}}=π R^2 $，代入得：
$ S_{\mathrm{圆}}=π × (\frac{\sqrt{2}}{2})^2=π × \frac{2}{4}=\frac{π}{2} $。
3. 求面积比：
扇形与圆形的面积比为 $ \frac{5π}{8}:\frac{π}{2}=\frac{5π}{8} × \frac{2}{π}=\frac{5}{4} $，即5:4。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算、圆的面积计算、正方形性质
【点评】
本题结合正方形与扇形、圆的性质，考查了面积比的计算，关键是利用正方形的性质和勾股定理分别求出扇形和圆的半径，再代入面积公式计算，属于中等难度的几何计算题型。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需分别求出扇形和圆形的半径，再计算两者面积后求比值。首先处理扇形部分：连接OD，利用正方形性质和45°角求出扇形半径；再处理圆形部分：连接MB、MC，利用正方形内接于圆的性质求出圆的半径；最后根据面积公式计算面积并求比。
【解析】
1. 求扇形的半径与面积：
如图①，连接OD。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1。
∵ ∠AOB=45°，
∴ △ABO为等腰直角三角形，故OB=AB=1，因此OC=OB+BC=1+1=2。
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=√(OC² + CD²)=√(2² + 1²)=√5，即扇形半径为√5。
根据扇形面积公式 $ S_{\mathrm{扇}}=\frac{nπ r^2}{360} $（n=45°，r=√5），代入得：
$ S_{\mathrm{扇}}=\frac{45π × (\sqrt{5})^2}{360}=\frac{45π ×5}{360}=\frac{5π}{8} $。
2. 求圆形的半径与面积：
如图②，连接MB、MC。
∵ 四边形ABCD是⊙M的内接正方形，
∴ ∠BMC=90°，且MB=MC（圆的半径相等），故△BMC为等腰直角三角形。
已知BC=1，在等腰Rt△BMC中，由勾股定理：$ MB^2 + MC^2 = BC^2 $，又MB=MC，因此 $ 2MC^2=1^2 $，解得 $ MC=\frac{\sqrt{2}}{2} $，即圆的半径为$ \frac{\sqrt{2}}{2} $。
根据圆的面积公式 $ S_{\mathrm{圆}}=π R^2 $，代入得：
$ S_{\mathrm{圆}}=π × (\frac{\sqrt{2}}{2})^2=π × \frac{2}{4}=\frac{π}{2} $。
3. 求面积比：
扇形与圆形的面积比为 $ \frac{5π}{8}:\frac{π}{2}=\frac{5π}{8} × \frac{2}{π}=\frac{5}{4} $，即5:4。
【答案】
A
【知识点】
扇形面积计算、圆的面积计算、正方形性质
【点评】
本题结合正方形与扇形、圆的性质，考查了面积比的计算，关键是利用正方形的性质和勾股定理分别求出扇形和圆的半径，再代入面积公式计算，属于中等难度的几何计算题型。
【难度系数】
0.5
9. 如图是根据九年级(2)班学生一分钟仰卧起坐个数制作的箱线图,由图可知这组数据的下四分位数为
32
.答案
9. 32 解析:箱线图的箱体的左端竖线的对应值为32,
∴ 这组数据的下四分位数是32.
∴ 这组数据的下四分位数是32.
解析
【分析】
要解决该问题，需先明确箱线图的结构意义：箱线图中，箱体的左端点对应数据的下四分位数（第一四分位数），右端点对应上四分位数（第三四分位数）。解题时只需找到图中箱体左端对应的数值即可。
【解析】
根据箱线图的定义，箱体的左端竖线表示数据的下四分位数。观察题图可知，箱体左端对应的数值为32，因此这组数据的下四分位数是32。
【答案】
32
【知识点】
箱线图、四分位数
【点评】
本题考查箱线图中四分位数的识别，属于基础概念题，掌握箱线图各部分的含义即可快速解答。
【难度系数】
0.2
要解决该问题，需先明确箱线图的结构意义：箱线图中，箱体的左端点对应数据的下四分位数（第一四分位数），右端点对应上四分位数（第三四分位数）。解题时只需找到图中箱体左端对应的数值即可。
【解析】
根据箱线图的定义，箱体的左端竖线表示数据的下四分位数。观察题图可知，箱体左端对应的数值为32，因此这组数据的下四分位数是32。
【答案】
32
【知识点】
箱线图、四分位数
【点评】
本题考查箱线图中四分位数的识别，属于基础概念题，掌握箱线图各部分的含义即可快速解答。
【难度系数】
0.2
10. (2026·南京期末)某校组织一次歌唱比赛，最终得分由歌唱水平、舞台表现、专业知识三部分组成.若把歌唱水平、舞台表现、专业知识的成绩按$6:3:1$计算总分,小红这三项得分依次为80分、90分和80分,那么在这次比赛中,小红的总分为
83
分.答案
10. 83 解析:(80×6+90×3+80×1)/10 = 830/10 = 83(分).
解析
【分析】本题考查加权平均数的实际应用，解题思路是：已知三项成绩的权重比为6:3:1，先计算总权重为6+3+1=10，再将每项成绩乘以对应权重后求和，最后除以总权重，即可得到小红的总分。
【解析】根据加权平均数的计算公式，小红的总分 = (歌唱水平得分×6 + 舞台表现得分×3 + 专业知识得分×1) ÷ 总权重，代入数据计算：
总权重 = 6+3+1=10，
总分 = (80×6 + 90×3 + 80×1) ÷10 = (480 + 270 + 80) ÷10 = 830 ÷10 = 83（分）。
【答案】83
【知识点】加权平均数
【点评】本题是加权平均数的基础应用，只需掌握加权平均数的计算方法即可解决，属于简单的实际应用题。
【难度系数】0.9
【解析】根据加权平均数的计算公式，小红的总分 = (歌唱水平得分×6 + 舞台表现得分×3 + 专业知识得分×1) ÷ 总权重，代入数据计算：
总权重 = 6+3+1=10，
总分 = (80×6 + 90×3 + 80×1) ÷10 = (480 + 270 + 80) ÷10 = 830 ÷10 = 83（分）。
【答案】83
【知识点】加权平均数
【点评】本题是加权平均数的基础应用，只需掌握加权平均数的计算方法即可解决，属于简单的实际应用题。
【难度系数】0.9
