7. 如图, $P A, P B$ 是 $\odot O$ 的切线, $A, B$ 为切点, 过点 $A$ 作 $A C / / P B$ 交 $\odot O$ 于点 $C$, 连接 $B C$, 若$∠ P=α$, 则 $∠ P B C$ 的度数为（）

A.$90°+\dfrac{1}{2} α$
B.$90°-\dfrac{1}{2} α$
C.$180°-α$
D.$180°-\dfrac{1}{2} α$

7.A

8.(2025·玄武区二模)如图,在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,经过$A$,$B$,$C$三点的$\odot O$与$AD$相切于点$A$,与$CD$交于点$E$,连接$BE$.若$∠ ABC=58^{ \circ }$,则$∠ BEC$的度数为.

8.64°

9. 如图,等边三角形$ABC$的边长为4,$\odot C$的半径为$\sqrt{3}$,$P$为$AB$边上一动点,过点$P$作$\odot C$的切线$PQ$,切点为$Q$,则$PQ$长度的最小值为.

9.3

10. (2025·海门区二模) 如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, $C$ 为 $\odot O$ 上一点, $B D$ 和过点 $C$ 的切线互相垂直,垂足为 $D, D B$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 $E$, 连接 $B C, C E$.
(1)求证:$B C$ 平分 $∠ A B D$;
(2)若 $A B=5, C E=4$, 求 $B C$ 的长.

10.(1)证明:连接OC,如答图①，
由题意,得OC⊥CD,ED⊥CD,
∴∠OCD=∠EDG=90°,
∴OC//ED,
∴∠OCB=∠CBD.
又
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠CBD=∠OBC,
∴BC平分∠ABD.
(2)解:连接CA,AE,如答图②，
则∠CAE+∠CBE=180°,∠CBE+∠CBD=180°,
∴∠CAE=∠CBD.
又
∵∠ABC=∠AEC,∠CBD=∠OBC,
∴∠CAE=∠AEC,
∴AC=CE=4.
∵∠ACB=90°,
∴BC=√(AB²-AC²)=√(5²-4²)=3.

11. (2025·滨湖区一模)如图,$AB$为$\odot O$的直径,点$C$在$\odot O$上,$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点$D$,过点$D$作$DE// AB$,交$CB$的延长线于点$E$.
(1)求证:$ED$是$\odot O$的切线;
(2)若$AC=12$,$BC=5$,求$CD$的长.

11.(1)证明:连接OD,如答图，
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠ACD=∠BCD,
∴∠AOD=∠BOD.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AOD=∠BOD=1/2×180°=90°,
∴OD⊥AB.
∵DE//AB,
∴OD⊥DE.
∵OD为⊙O的半径,
∴ED是⊙O的切线.
(2)解:如答图,连接BD,过点B作BH⊥CD于点H.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,∠ADB=90°.
∵AC=12,BC=5,
∴AB=√(AC²+BC²)=√(12²+5²)=13.
∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D,
∴∠ACD=∠BCD,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{13\sqrt{2}}{2}$.
∵∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°,
∴BH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$,
∴DH=$\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{(\frac{13\sqrt{2}}{2})^2-(\frac{5\sqrt{2}}{2})^2}=6\sqrt{2}$,
∴CD=CH+DH=$\frac{5\sqrt{2}}{2}+6\sqrt{2}=\frac{17\sqrt{2}}{2}$.