1. 如图, A B 是 $\odot O$ 的直径, $A B ⊥ A C$, B C 交 $\odot O$ 于点 P, Q 是 A C 的中点. 求证: Q P 是 $\odot O$ 的切线.

证明:如答图,连接OP,PA.

∵AB是⊙O的直径,
∴∠APB=∠APC=90°.
在Rt△APC中,Q是AC的中点,
∴PQ=AQ,
∴∠QAP=∠QPA.
又
∵OP=OA,
∴∠OAP=∠OPA,
∴∠OAQ=∠QPO.
∵AB⊥AC,
∴∠OAQ=90°,
∴∠QPO=90°,
∴QP是⊙O的切线.

2. (1) 如图①，$△ ABC$ 内接于 $\odot O$，$AB$ 为直径，$∠ CAE = ∠ B$，求证：$AE$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$；
(2) 如图②，若 $AB$ 为非直径的弦，$∠ CAE = ∠ B$，$AE$ 还与 $\odot O$ 相切于点 $A$ 吗？请说明理由.

(1)证明:
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠B+∠BAC=90°.
∵∠CAE=∠B,
∴∠CAE+∠BAC=90°,
即∠BAE=90°,
∴OA⊥AE,
∴AE与⊙O相切于点A.
(2)解:AE还与⊙O相切于点A.理由如下:
如答图,作直径AD,连接CD,

∴∠ACD=90°,
∴∠D+∠DAC=90°.
∵∠B=∠D,∠CAE=∠B,
∴∠CAE+∠DAC=90°,即∠DAE=90°,
∴OA⊥AE.
又
∵OA为⊙O的半径,
∴AE与⊙O相切于点A.

3. (2025·盐都区模拟) 如图，$△ ABC$ 内接于$\odot O$，且 $AB$ 为$\odot O$ 的直径，$∠ BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $E$，交$\odot O$于点 $D$，交过点 $B$ 的一条直线于点 $F$，$DF=DE$。
(1)求证：$BF$ 是$\odot O$的切线；
(2)若$\odot O$的半径为 5，$AC=6$，求 $CE$ 的长。

(1)证明:如答图,连接DB.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BDA=∠C=90°,
∴BD⊥FE,∠AEC+∠CAE=90°.
∵DF=DE,
∴BD是FE的垂直平分线,
∴BF=BE,
∴∠F=∠BED.
∵∠BED=∠AEC,
∴∠F=∠BED=∠AEC,
∴∠F+∠CAE=90°.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAE=∠BAE,
∴∠F+∠BAE=90°,
∴∠FBA=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴BF是⊙O的切线.
(2)解:如答图,过点E作EM⊥AB于点M.

∵AD平分∠CAB,EM⊥AB,∠C=90°,
∴EC=EM,∠EMA=∠EMB=∠C=90°.
∵AE=AE,EC=EM,
∴Rt△ACE≌Rt△AME,
∴AM=AC=6.
∵⊙O的半径为5,
∴AB=10,
∴BM=AB-AM=10-6=4,
∴BC=√(AB²-AC²)=√(10²-6²)=8,
设CE=x=EM,则BE=8-x,
在Rt△BEM中,
∵BE²=EM²+BM²,
∴(8-x)²=x²+4²,解得x=3,
∴CE=3.