4. 如图,在四边形$ABCD$中,$AC,BD$相交于点$E$,且$AB=AC=AD$,经过$A,C,D$三点的$\odot O$交$BD$于点$F$,连接$CF$.
(1)求证:$CF=BF$;
(2)若$CD=CB$,求证:$CB$是$\odot O$的切线.

(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC.
∵AB=AD,
∴∠ADB=∠ABD.
又
∵∠ADB=∠ACF,
∴∠ACF=∠ABD,
∴∠ACB-∠ACF=∠ABC-∠ABD,
即∠BCF=∠CBF,
∴CF=BF.
(2)如答图,连接CO并延长交⊙O于点G,连接GF.

∵CG为⊙O的直径,
∴∠GFC=90°,
∴∠G+∠GCF=90°.
∵∠CDB=∠G,
∴∠CDB+∠GCF=90°.
∵CD=CB,
∴∠CDB=∠CBD.
∵∠BCF=∠CBF,
∴∠BCF=∠CDB,
∴∠BCF+∠GCF=90°,
∴∠BCG=90°,
∴CG⊥BC.
∵CG为⊙O的直径,
∴CB是⊙O的切线.

5. 如图,$O$为正方形$ABCD$的对角线$AC$上一点,以点$O$为圆心,$OA$长为半径的$\odot O$与$BC$相切于点$E$.
(1)求证:$CD$是$\odot O$的切线;
(2)若正方形$ABCD$的边长为10,求$\odot O$的半径.

(1)证明:如答图,连接OE,过点O作OF⊥CD于点F.
∵BC切⊙O于点E,
∴OE⊥BC,OE=OA.又
∵AC为正方形ABCD的对角线,
∴∠ACB=∠ACD,
∴OF=OE=OA,
∴CD是⊙O的切线.

(2)解:
∵正方形ABCD的边长为10,
∴AB=BC=10,∠B=90°,∠ACB=45°,
∴AC=√(AB²+BC²)=√(10²+10²)=10√2.
∵OE⊥BC,
∴OE=EC.
设OA=r,则OE=EC=r,
∴OC=√(OE²+EC²)=√(r²+r²)=√2 r.
∵OA+OC=AC,
∴r+√2 r=10√2,
解得r=20-10√2,即⊙O的半径为20-10√2.

6. 如图,$AO$是$△ ABC$的中线,$\odot O$与$AB$边相切于点$D$.
(1)要使$\odot O$与$AC$边也相切,应增加的条件是;(任写一个)
(2)增加条件后,请你证明$\odot O$与$AC$边相切.

(1)∠B=∠C(答案不唯一)
(2)(答案不唯一)
证明:如答图,连接OD,过点O作OE⊥AC,垂足为E,则∠CEO=90°.

∵⊙O与AB相切于点D,
∴∠BDO=∠CEO=90°.
∵AO是△ABC的中线,
∴OB=OC.
又
∵∠B=∠C,
∴△BDO≌△CEO,
∴OD=OE.
∵OD是⊙O的半径,
∴OE是⊙O的半径,
∴⊙O与AC边相切.