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练习十七 一次函数的实际应用
要点回顾
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答案
任意实数 增大 减小
解析
【分析】
本题考查一次函数的基础性质，解题思路如下：1. 思考自变量取值范围：一次函数$y=kx+b(k≠0)$的表达式是关于$x$的整式，若无特殊限制，整式的自变量可取任意实数，仅实际问题需要额外限制取值；2. 回忆一次函数增减性与$k$的符号的对应关系：$k$的符号决定函数图象的升降趋势，进而对应$y$随$x$的变化规律。
【解析】
1. 一次函数$y=kx+b(k≠0)$的解析式为整式，无分母含$x$、被开方数含$x$等限制，因此$x$一般取任意实数，仅实际问题需结合实际意义确定取值；
2. 当$k＞0$时，一次函数图象为从左到右上升的直线，因此$y$随$x$增大而增大；
3. 当$k＜0$时，一次函数图象为从左到右下降的直线，因此$y$随$x$增大而减小。
【答案】
任意实数 增大 减小
【知识点】
一次函数自变量取值范围；一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数的基础概念题，核心考察对一次函数基本性质的识记，相关性质是解决一次函数实际应用、最值等问题的基础，需熟练掌握$k$的符号和函数增减性的对应关系。
【难度系数】
0.9
本题考查一次函数的基础性质，解题思路如下：1. 思考自变量取值范围：一次函数$y=kx+b(k≠0)$的表达式是关于$x$的整式，若无特殊限制，整式的自变量可取任意实数，仅实际问题需要额外限制取值；2. 回忆一次函数增减性与$k$的符号的对应关系：$k$的符号决定函数图象的升降趋势，进而对应$y$随$x$的变化规律。
【解析】
1. 一次函数$y=kx+b(k≠0)$的解析式为整式，无分母含$x$、被开方数含$x$等限制，因此$x$一般取任意实数，仅实际问题需结合实际意义确定取值；
2. 当$k＞0$时，一次函数图象为从左到右上升的直线，因此$y$随$x$增大而增大；
3. 当$k＜0$时，一次函数图象为从左到右下降的直线，因此$y$随$x$增大而减小。
【答案】
任意实数 增大 减小
【知识点】
一次函数自变量取值范围；一次函数的增减性
【点评】
本题是一次函数的基础概念题，核心考察对一次函数基本性质的识记，相关性质是解决一次函数实际应用、最值等问题的基础，需熟练掌握$k$的符号和函数增减性的对应关系。
【难度系数】
0.9
1. 向一空容器内均匀注水，最后把容器注满，在注水过程中，容器的水面高度与时间的关系如图1所示，图中PQ为线段，则这个容器是（
C
）。答案
1.C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先明确注水的前提：均匀注水意味着单位时间内注入水的体积是固定的；第二步，建立函数图像特征和容器特征的关联：水面高度h随时间t变化的图像斜率，代表水面上升的速度，根据体积公式V=SΔh，相同体积V下，水面上升高度Δh越大，说明容器对应位置的横截面积S越小；第三步，分段分析图像：先看前半段曲线，斜率逐渐变大，说明横截面积逐渐变小，即容器下半部分下粗上细；再看PQ段是线段，斜率不变，说明横截面积恒定，即容器上半部分是粗细均匀的柱形，匹配该特征的选项即为答案。
【解析】
已知向容器均匀注水，因此单位时间注入水的体积固定。
1. 分析图像前半段：图像为曲线且逐渐变陡，说明相同时间内水面上升的高度越来越大。根据体积公式，注入相同体积的水时，水面上升高度与容器横截面积成反比，因此该段对应容器的横截面积逐渐变小，即容器下半部分为下粗上细的结构。
2. 分析PQ段：PQ为线段，斜率固定，说明相同时间内水面上升高度恒定，因此该段对应容器的横截面积不变，即容器上半部分是粗细均匀的柱形结构。
综上，符合该结构特征的容器为选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的实际应用，函数图像的意义，柱体体积公式
【点评】
本题结合生活中的注水场景考查函数图像的实际应用，需要学生理解图像斜率的物理含义，建立图像特征和实际物体特征的关联，能够有效考查学生的读图分析能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先明确注水的前提：均匀注水意味着单位时间内注入水的体积是固定的；第二步，建立函数图像特征和容器特征的关联：水面高度h随时间t变化的图像斜率，代表水面上升的速度，根据体积公式V=SΔh，相同体积V下，水面上升高度Δh越大，说明容器对应位置的横截面积S越小；第三步，分段分析图像：先看前半段曲线，斜率逐渐变大，说明横截面积逐渐变小，即容器下半部分下粗上细；再看PQ段是线段，斜率不变，说明横截面积恒定，即容器上半部分是粗细均匀的柱形，匹配该特征的选项即为答案。
【解析】
已知向容器均匀注水，因此单位时间注入水的体积固定。
1. 分析图像前半段：图像为曲线且逐渐变陡，说明相同时间内水面上升的高度越来越大。根据体积公式，注入相同体积的水时，水面上升高度与容器横截面积成反比，因此该段对应容器的横截面积逐渐变小，即容器下半部分为下粗上细的结构。
2. 分析PQ段：PQ为线段，斜率固定，说明相同时间内水面上升高度恒定，因此该段对应容器的横截面积不变，即容器上半部分是粗细均匀的柱形结构。
综上，符合该结构特征的容器为选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的实际应用，函数图像的意义，柱体体积公式
【点评】
本题结合生活中的注水场景考查函数图像的实际应用，需要学生理解图像斜率的物理含义，建立图像特征和实际物体特征的关联，能够有效考查学生的读图分析能力和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
2. 小英早上从家里出发去上学，途中发现资料忘带了，立刻原路返回. 返回途中遇到给她送资料的妈妈，接过资料后，小英加速向学校赶去. 她离家距离$s$与时间$t$的函数关系图象大致是（
D
）.答案
2.D
解析
【分析】
解决这类路程-时间图象题，首先要将运动过程拆分为多个阶段，逐一分析每个阶段离家距离s随时间t的变化特征，再结合速度变化对应图象的倾斜程度，最后对照选项排除不符合的即可。具体思考步骤：1. 第一阶段：小英从家出发上学，s随t增大而增大，图象上升；2. 第二阶段：原路返回找资料，s随t增大而减小，且途中遇到妈妈，没有回到家，s不会降到0；3. 第三阶段：加速赶往学校，s再次随t增大而增大，且加速后速度比初始速度大，这段图象比第一段上升得更陡。
【解析】
我们分阶段分析s与t的变化关系：
1. 上学出发阶段：时间t增加，离家距离s从0开始逐渐变大，图象为从原点出发的上升线段；
2. 原路返回阶段：时间t继续增加，小英往家走，s逐渐变小，且她在途中遇到妈妈，没有回到家，因此s不会减小到0，由此可排除s最终降到0的选项A、B；
3. 加速赶往学校阶段：时间t增加，s再次逐渐变大，且加速后速度比初始上学的速度更大，因此这段上升图象的倾斜程度比第一段更大（更陡），选项C的最后一段倾斜程度比第一段小，对应速度更慢，不符合要求，只有选项D符合所有阶段的特征。
【答案】
D
【知识点】
s-t图象识别；一次函数的实际应用；行程问题图像分析
【点评】
本题结合生活实际考查路程时间图象的理解与应用，解题核心是分段梳理运动过程，抓住“未回到家”“加速”等关键条件，明确图象的倾斜程度对应速度大小，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.7
解决这类路程-时间图象题，首先要将运动过程拆分为多个阶段，逐一分析每个阶段离家距离s随时间t的变化特征，再结合速度变化对应图象的倾斜程度，最后对照选项排除不符合的即可。具体思考步骤：1. 第一阶段：小英从家出发上学，s随t增大而增大，图象上升；2. 第二阶段：原路返回找资料，s随t增大而减小，且途中遇到妈妈，没有回到家，s不会降到0；3. 第三阶段：加速赶往学校，s再次随t增大而增大，且加速后速度比初始速度大，这段图象比第一段上升得更陡。
【解析】
我们分阶段分析s与t的变化关系：
1. 上学出发阶段：时间t增加，离家距离s从0开始逐渐变大，图象为从原点出发的上升线段；
2. 原路返回阶段：时间t继续增加，小英往家走，s逐渐变小，且她在途中遇到妈妈，没有回到家，因此s不会减小到0，由此可排除s最终降到0的选项A、B；
3. 加速赶往学校阶段：时间t增加，s再次逐渐变大，且加速后速度比初始上学的速度更大，因此这段上升图象的倾斜程度比第一段更大（更陡），选项C的最后一段倾斜程度比第一段小，对应速度更慢，不符合要求，只有选项D符合所有阶段的特征。
【答案】
D
【知识点】
s-t图象识别；一次函数的实际应用；行程问题图像分析
【点评】
本题结合生活实际考查路程时间图象的理解与应用，解题核心是分段梳理运动过程，抓住“未回到家”“加速”等关键条件，明确图象的倾斜程度对应速度大小，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.7
