7. 如图7，实验室中有一个不透明的圆柱形光学水槽，AB为底面圆的直径，水槽高度BC为12 cm，小明将一枚硬币放在AB上的点P处，然后后退至恰好看不到硬币的位置后保持不动.向水槽中缓缓注水（注意不要移动硬币的位置），当水面上升到8 cm的高度（即BD＝8 cm）时，小明再次看到硬币.已知入射角为45°，折射角为60°，求PB的值.

7.$(8+4\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$

【分析】
解题时先结合题意作辅助线构造直角三角形与矩形：①过水面上的点O作OH垂直AB于H，可得OH等于水面高度8cm，且四边形OHBD是矩形，因此HB与OD长度相等，同时可算出C点到水面的竖直距离DC=12-8=4cm；②在Rt△OHP中，根据入射角45°可知△OHP为等腰直角三角形，即可求出PH的长度；③根据折射角60°推导出折射光线与水平水面的夹角为30°，在Rt△ODC中利用三角函数求出OD的长度，也就是HB的长度；最后将PH和HB相加即可得到PB的值。
【解析】
解：过点O作OH⊥AB于点H。
∵水面为水平面，水面高度BD=8cm，
∴OH=BD=8cm，四边形OHBD为矩形，即HB=OD，且DC=BC-BD=12-8=4cm。
1. 在Rt△OHP中，入射光线PO与竖直法线的夹角为45°，即∠POH=45°，
∴△OHP为等腰直角三角形，可得PH=OH=8cm。
2. 已知折射角为60°，即折射光线OC与竖直法线的夹角为60°，
∵竖直法线与水平水面OD垂直，
∴折射光线OC与水平水面OD的夹角∠COD=90°-60°=30°。
在Rt△ODC中，∠ODC=90°，∠COD=30°，DC=4cm，
由$\tan∠ COD=\frac{DC}{OD}$得：
$OD=\frac{DC}{\tan30°}=\frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
∴HB=OD=$4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
3. 因此$PB=PH+HB=8+4\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$(8+4\sqrt{3})\ \mathrm{cm}$
【知识点】
矩形的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质
【点评】
本题结合光的折射场景，综合考查了矩形性质和直角三角形的相关计算，解题的核心是将已知的入射角、折射角转化为直角三角形的内角，通过构造辅助线把所求线段拆分为两段分别求解。
【难度系数】
0.65

8. 某课外学习小组在设计一个长方形时钟钟面时，时钟的中心在长方形对角线的交点上，数字2在长方形的顶点上，数字3，6，9，12标在所在边的中点上，如图8所示.
（1）请你在长方形框上标出数字1的位置，并说明确定该位置的方法.
（2）请你在长方形框上标出钟面上其余数字的位置，并写出相应的数字.
（说明：要画出必要的反映解题思路的辅助线）

8.（1）如答图5，设长方形对角线的交点为O，数字12，2在长方形中所对应的点分别为A，C，连接OA，OC，作∠AOC的平分线，交AC边于点D，则点D处为数字1的位置
（2）如答图6

【分析】
解题需结合时钟的角度特征和角平分线的性质思考：首先钟面一周为360°，被12个数字平均分成12等份，因此每相邻两个数字与钟面中心的夹角为360°÷12=30°。
（1）问中数字12和2相差2个大格，二者与中心的夹角为60°，数字1在12和2中间，对应该60°角的平分线位置，作角平分线与上边框的交点即为数字1的位置；
（2）问只需按每30°一个间隔，以中心为顶点依次作各个30°角，角的边与长方形四边的交点就是其余数字的位置，对应标注即可。
【解析】
（1）① 记长方形对角线交点即钟面中心为O，数字12对应点为A，数字2对应点为C，连接OA、OC；
② 根据钟面角度规律，相邻数字与中心的夹角为30°，因此∠AOC=2×30°=60°；
③ 作∠AOC的角平分线，交长方形上边框AC于点D，点D就是数字1的位置。
（2）以O为顶点，从OA（12点方向）开始依次作出与OA夹角为30°、60°、90°……330°的射线，射线与长方形四条边的交点即为其余数字的对应位置，依次标注对应数字即可。
【答案】
（1）如答图5，设长方形对角线的交点为O，数字12，2在长方形中所对应的点分别为A，C，连接OA，OC，作∠AOC的平分线，交AC边于点D，则点D处为数字1的位置
（2）如答图6

【知识点】
钟面角计算；角平分线作图；矩形的性质
【点评】
本题结合生活实际考察角度的应用，解题核心是掌握钟面相邻数字对应中心角为30°的规律，能锻炼将数学知识应用到实际场景的能力，作图时注意规范即可。
【难度系数】
0.7