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4. 在一次探究活动中，数学老师指导甲、乙两名学生用一张长方形的纸片$ABCD$折出一个$45°$的角，甲、乙两学生的折法如下. 下列说法正确的是（
A.甲学生和乙学生的折法都正确
B.只有甲学生的折法正确
C.只有乙学生的折法正确
D.甲学生和乙学生的折法都不正确
A
）.A.甲学生和乙学生的折法都正确
B.只有甲学生的折法正确
C.只有乙学生的折法正确
D.甲学生和乙学生的折法都不正确
答案
4.A
解析
【分析】
解题时先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，再结合矩形内角为90°的性质，分别对甲、乙两名学生的折法进行角度推导，判断得到的角是否为45°即可。首先分析甲的折法：折叠后∠BAE和∠B'AE相等，两个角的和是矩形的直角∠BAD=90°，可直接求出∠EAD的度数；再分析乙的折法：两次折叠得到两组相等的角，四个角的和为90°，结合AB'与AD'共线的条件，可推导出∠EAF的度数。
【解析】
1. 验证甲学生的折法：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=90°。
由折叠的性质可知，∠BAE=∠B'AE，
又
∵ ∠BAE+∠B'AE=∠BAD=90°，
∴ ∠B'AE=∠EAD=90°÷2=45°，故甲的折法正确。
2. 验证乙学生的折法：
由折叠的性质可知，∠BAE=∠B'AE，∠DAF=∠D'AF，
∴ ∠BAE+∠DAF=∠B'AE+∠D'AF，
∵ ∠BAE+∠DAF+∠B'AE+∠D'AF=∠BAD=90°，
且AB'与AD'在同一直线上，
∴ ∠B'AE+∠D'AF=∠EAF，
∴ 2∠EAF=90°，即∠EAF=45°，故乙的折法正确。
综上，甲、乙两名学生的折法都正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 矩形的性质 2. 折叠的性质 3. 角度计算
【点评】
本题结合折纸操作考查几何性质的应用，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特征，结合矩形内角为90°的性质进行角度推导，侧重考查学生的动手操作分析能力和几何推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，再结合矩形内角为90°的性质，分别对甲、乙两名学生的折法进行角度推导，判断得到的角是否为45°即可。首先分析甲的折法：折叠后∠BAE和∠B'AE相等，两个角的和是矩形的直角∠BAD=90°，可直接求出∠EAD的度数；再分析乙的折法：两次折叠得到两组相等的角，四个角的和为90°，结合AB'与AD'共线的条件，可推导出∠EAF的度数。
【解析】
1. 验证甲学生的折法：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=90°。
由折叠的性质可知，∠BAE=∠B'AE，
又
∵ ∠BAE+∠B'AE=∠BAD=90°，
∴ ∠B'AE=∠EAD=90°÷2=45°，故甲的折法正确。
2. 验证乙学生的折法：
由折叠的性质可知，∠BAE=∠B'AE，∠DAF=∠D'AF，
∴ ∠BAE+∠DAF=∠B'AE+∠D'AF，
∵ ∠BAE+∠DAF+∠B'AE+∠D'AF=∠BAD=90°，
且AB'与AD'在同一直线上，
∴ ∠B'AE+∠D'AF=∠EAF，
∴ 2∠EAF=90°，即∠EAF=45°，故乙的折法正确。
综上，甲、乙两名学生的折法都正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 矩形的性质 2. 折叠的性质 3. 角度计算
【点评】
本题结合折纸操作考查几何性质的应用，解题核心是抓住折叠前后对应角相等的特征，结合矩形内角为90°的性质进行角度推导，侧重考查学生的动手操作分析能力和几何推理能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图4是一张矩形纸片ABCD，M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处。若MF=AB，则∠DAF=
18°
。答案
5.$18°$
解析
【分析】
我们可以通过设未知角，结合矩形、折叠、等腰三角形的性质找角度关系求解：首先利用矩形对角线互相平分且相等、对边相等的性质，得到AM=DM=MC、AB=DC；再结合折叠前后对应边相等，得DF=DC，结合已知MF=AB可推出DF=MF，得到等腰△DMF；最后利用三角形外角性质、直角三角形两锐角互余的性质列方程，即可求出∠DAF的度数。
【解析】
解：设∠DAF = x°，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC=90°，AB=DC，矩形对角线相等且互相平分，
∵ M是AC的中点，
∴ AM=DM=MC，
∴ ∠ADM=∠DAF=x°，
由三角形外角性质可得：∠DMC=∠ADM + ∠DAF = 2x°，
∵ △DCE沿直线DE折叠得到△DFE，
∴ DF=DC，
∴ DF=AB，
又
∵ MF=AB，
∴ DF=MF，即△DFM为等腰三角形，
∴ ∠FDM=∠FMD=2x°，
由三角形外角性质可得：∠DFC=∠FDM + ∠FMD = 4x°，
∵ DF=DC，
∴ ∠DFC=∠DCF，
在Rt△ADC中，∠DCF + ∠DAF = 90°，即∠DCF=90°-x°，
∴ 4x = 90 - x，
解得x=18。
【答案】
18°
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的常见题型，综合考查了多个基础几何性质的应用，解题关键是通过边角相等关系梳理出不同角度之间的等量关系，用设未知数列方程的方法求解即可。
【难度系数】
0.65
我们可以通过设未知角，结合矩形、折叠、等腰三角形的性质找角度关系求解：首先利用矩形对角线互相平分且相等、对边相等的性质，得到AM=DM=MC、AB=DC；再结合折叠前后对应边相等，得DF=DC，结合已知MF=AB可推出DF=MF，得到等腰△DMF；最后利用三角形外角性质、直角三角形两锐角互余的性质列方程，即可求出∠DAF的度数。
【解析】
解：设∠DAF = x°，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠ADC=90°，AB=DC，矩形对角线相等且互相平分，
∵ M是AC的中点，
∴ AM=DM=MC，
∴ ∠ADM=∠DAF=x°，
由三角形外角性质可得：∠DMC=∠ADM + ∠DAF = 2x°，
∵ △DCE沿直线DE折叠得到△DFE，
∴ DF=DC，
∴ DF=AB，
又
∵ MF=AB，
∴ DF=MF，即△DFM为等腰三角形，
∴ ∠FDM=∠FMD=2x°，
由三角形外角性质可得：∠DFC=∠FDM + ∠FMD = 4x°，
∵ DF=DC，
∴ ∠DFC=∠DCF，
在Rt△ADC中，∠DCF + ∠DAF = 90°，即∠DCF=90°-x°，
∴ 4x = 90 - x，
解得x=18。
【答案】
18°
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的常见题型，综合考查了多个基础几何性质的应用，解题关键是通过边角相等关系梳理出不同角度之间的等量关系，用设未知数列方程的方法求解即可。
【难度系数】
0.65
6. 图5为《天工开物》中记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”，图6为其平面示意图. 已知$AB⊥CD$于点B，AB与水平线$l$相交于点O，$OE⊥l$. 若$BC=4\ \mathrm{dm}$，$OB=15\ \mathrm{dm}$，$∠ BOE=60°$，则点C到水平线$l$的距离CF为（
A.$\dfrac{15 - 4\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{dm}$
B.$\dfrac{15 - 2\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{dm}$
C.$2\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$
D.$4\ \mathrm{dm}$
图4 图5 图6
A
）.A.$\dfrac{15 - 4\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{dm}$
B.$\dfrac{15 - 2\sqrt{3}}{2}\ \mathrm{dm}$
C.$2\sqrt{3}\ \mathrm{dm}$
D.$4\ \mathrm{dm}$
图4 图5 图6
答案
6.A
解析
【分析】
要求点C到水平线l的距离CF，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形求解：首先根据OE⊥l、∠BOE=60°求出OB与水平线l的夹角，再利用AB⊥CD的垂直关系得到直角三角形中角的度数，最后结合矩形对边相等的性质，将CF转化为已知线段在竖直方向的长度差计算即可。
【解析】
解：过点B作BG⊥l于点G，过点C作CH⊥BG于点H。
∵ CF⊥l，BG⊥l，CH⊥BG，
∴ 四边形CHGF是矩形，
∴ CF=HG。
∵ OE⊥l，
∴ ∠EOl=90°，
又
∵ ∠BOE=60°，
∴ ∠BOG=90°-60°=30°。
在Rt△BOG中，OB=15 dm，∠BOG=30°，
∴ BG=OB·sin30°=15×$\frac{1}{2}$=$\frac{15}{2}$ dm。
∵ AB⊥CD，
∴ ∠ABC=90°，
∴ ∠CBH + ∠ABG=90°，
又
∵ 在Rt△BOG中，∠ABG + ∠BOG=90°，
∴ ∠CBH=∠BOG=30°（同角的余角相等）。
在Rt△BCH中，BC=4 dm，∠CBH=30°，
∴ BH=BC·cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$2\sqrt{3}$ dm。
∵ BG=BH + HG=BH + CF，
∴ CF=BG - BH=$\frac{15}{2}$ - $2\sqrt{3}$=$\frac{15 - 4\sqrt{3}}{2}$ dm。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题结合我国古代劳动工具的结构，考查几何知识的实际应用，解题的关键是正确作辅助线构造直角三角形与矩形，将所求距离转化为可计算的线段差，体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.6
要求点C到水平线l的距离CF，可通过作辅助线构造直角三角形和矩形求解：首先根据OE⊥l、∠BOE=60°求出OB与水平线l的夹角，再利用AB⊥CD的垂直关系得到直角三角形中角的度数，最后结合矩形对边相等的性质，将CF转化为已知线段在竖直方向的长度差计算即可。
【解析】
解：过点B作BG⊥l于点G，过点C作CH⊥BG于点H。
∵ CF⊥l，BG⊥l，CH⊥BG，
∴ 四边形CHGF是矩形，
∴ CF=HG。
∵ OE⊥l，
∴ ∠EOl=90°，
又
∵ ∠BOE=60°，
∴ ∠BOG=90°-60°=30°。
在Rt△BOG中，OB=15 dm，∠BOG=30°，
∴ BG=OB·sin30°=15×$\frac{1}{2}$=$\frac{15}{2}$ dm。
∵ AB⊥CD，
∴ ∠ABC=90°，
∴ ∠CBH + ∠ABG=90°，
又
∵ 在Rt△BOG中，∠ABG + ∠BOG=90°，
∴ ∠CBH=∠BOG=30°（同角的余角相等）。
在Rt△BCH中，BC=4 dm，∠CBH=30°，
∴ BH=BC·cos30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$2\sqrt{3}$ dm。
∵ BG=BH + HG=BH + CF，
∴ CF=BG - BH=$\frac{15}{2}$ - $2\sqrt{3}$=$\frac{15 - 4\sqrt{3}}{2}$ dm。
【答案】
A
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，同角的余角相等
【点评】
本题结合我国古代劳动工具的结构，考查几何知识的实际应用，解题的关键是正确作辅助线构造直角三角形与矩形，将所求距离转化为可计算的线段差，体现了数学与生活的联系。
【难度系数】
0.6
