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练习十 菱形
要点回顾
菱形
性质
├─边：对边平行，四条边都
├─角：对角相等
├─对角线：对角线
└─对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴
判定
├─有一组邻边
├─对角线
└─四条边
面积：$S=底×高=\frac{1}{2}mn$（$m$，$n$分别表示两条对角线的长）
要点回顾
菱形
性质
├─边：对边平行，四条边都
相等
├─角：对角相等
├─对角线：对角线
互相垂直
，每一条对角线平分一组对角└─对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形，有2条对称轴
判定
├─有一组邻边
相等
的平行四边形是菱形（定义）├─对角线
互相垂直
的平行四边形是菱形└─四条边
相等
的四边形是菱形面积：$S=底×高=\frac{1}{2}mn$（$m$，$n$分别表示两条对角线的长）
答案
相等 互相垂直 相等 互相垂直 相等
解析
【分析】
本题考查菱形基础性质与判定定理的识记，解题时逐一对应空缺回忆相关知识点即可：首先回忆菱形边的性质，菱形是特殊的平行四边形，在对边平行且相等的基础上，额外具备四条边全部相等的特点；再回忆菱形对角线的性质，除平行四边形对角线互相平分的特点外，菱形对角线还互相垂直，且每条对角线平分一组对角；最后回忆菱形的三类判定规则：定义判定是一组邻边相等的平行四边形为菱形，针对平行四边形的判定是对角线互相垂直的平行四边形为菱形，针对普通四边形的判定是四条边相等的四边形为菱形。
【解析】
结合菱形的性质与判定定理逐一填空：
1. 边的性质：菱形对边平行，四条边都相等，第一个空填“相等”；
2. 对角线的性质：菱形对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，第二个空填“互相垂直”；
3. 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，第三个空填“相等”；
4. 平行四边形对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，第四个空填“互相垂直”；
5. 边的判定：四条边相等的四边形是菱形，第五个空填“相等”。
【答案】
相等；互相垂直；相等；互相垂直；相等
【知识点】
菱形的性质；菱形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，主要检验对菱形核心性质、判定定理的掌握熟练度，这类基础知识点是解决菱形相关计算、证明类题目的前提，需要牢记并能灵活运用。
【难度系数】
0.9
本题考查菱形基础性质与判定定理的识记，解题时逐一对应空缺回忆相关知识点即可：首先回忆菱形边的性质，菱形是特殊的平行四边形，在对边平行且相等的基础上，额外具备四条边全部相等的特点；再回忆菱形对角线的性质，除平行四边形对角线互相平分的特点外，菱形对角线还互相垂直，且每条对角线平分一组对角；最后回忆菱形的三类判定规则：定义判定是一组邻边相等的平行四边形为菱形，针对平行四边形的判定是对角线互相垂直的平行四边形为菱形，针对普通四边形的判定是四条边相等的四边形为菱形。
【解析】
结合菱形的性质与判定定理逐一填空：
1. 边的性质：菱形对边平行，四条边都相等，第一个空填“相等”；
2. 对角线的性质：菱形对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角，第二个空填“互相垂直”；
3. 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，第三个空填“相等”；
4. 平行四边形对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，第四个空填“互相垂直”；
5. 边的判定：四条边相等的四边形是菱形，第五个空填“相等”。
【答案】
相等；互相垂直；相等；互相垂直；相等
【知识点】
菱形的性质；菱形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，主要检验对菱形核心性质、判定定理的掌握熟练度，这类基础知识点是解决菱形相关计算、证明类题目的前提，需要牢记并能灵活运用。
【难度系数】
0.9
1. 在实验课上，为判断一个四边形是否为菱形，小琪用仪器进行了测量，首先测量出两组对边分别相等，然后再测量出（
A.两组对边分别平行
B.两条对角线垂直
C.两条对角线相等
D.一组邻角相等
B
），最后得到结论：这个四边形是菱形。A.两组对边分别平行
B.两条对角线垂直
C.两条对角线相等
D.一组邻角相等
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，我们已经知道四边形的两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理，可先确定这个四边形是平行四边形。接下来要判断平行四边形是否为菱形，只需结合菱形的判定定理，逐一分析选项，找到符合“平行四边形证菱形”的条件即可。
【解析】
第一步：根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此题干中的四边形已经是平行四边形。
第二步：逐一分析选项：
A选项：两组对边分别平行是平行四边形自带的性质，不能证明这个平行四边形是菱形，排除；
B选项：根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，满足要求，当选；
C选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，排除；
D选项：平行四边形的邻角互补，若一组邻角相等，则这两个角均为90°，此时平行四边形是矩形，不是菱形，排除。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定知识，需要先由已知条件确定四边形的基础类型，再结合对应判定定理筛选选项，解题的关键是区分菱形和矩形的判定条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手，我们已经知道四边形的两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理，可先确定这个四边形是平行四边形。接下来要判断平行四边形是否为菱形，只需结合菱形的判定定理，逐一分析选项，找到符合“平行四边形证菱形”的条件即可。
【解析】
第一步：根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此题干中的四边形已经是平行四边形。
第二步：逐一分析选项：
A选项：两组对边分别平行是平行四边形自带的性质，不能证明这个平行四边形是菱形，排除；
B选项：根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，满足要求，当选；
C选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，排除；
D选项：平行四边形的邻角互补，若一组邻角相等，则这两个角均为90°，此时平行四边形是矩形，不是菱形，排除。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的判定知识，需要先由已知条件确定四边形的基础类型，再结合对应判定定理筛选选项，解题的关键是区分菱形和矩形的判定条件，避免混淆。
【难度系数】
0.8
2. 我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动. 构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形ABCD，连接AC，BD，$∠ ABC=60°$，$AB=2$，则BD的长为（
A.$\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.2
D.$2\sqrt{3}$
D
）.A.$\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.2
D.$2\sqrt{3}$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先结合菱形的性质分析已知条件：菱形四条边相等，对角线互相垂直平分且平分内角。已知∠ABC=60°、AB=2，可先判定△ABC为等边三角形得到对角线AC的长度，再利用勾股定理在直角三角形中求出半条对角线BD的长度，最终得到BD的总长。
【解析】
解：设AC与BD交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=2，AC⊥BD，AC、BD互相平分，BD平分∠ABC。
∵∠ABC=60°，AB=BC=2，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=1。
在Rt△AOB中，AB=2，AO=1，由勾股定理得：
OB=$\sqrt{AB^2 - AO^2}$=$\sqrt{2^2 - 1^2}$=$\sqrt{3}$，
∴BD=2OB=$2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何应用题，核心是利用菱形对角线的特殊性质搭建已知边长和待求边长的关联，解题时注意菱形对角线互相平分的特点，不要漏乘2倍得到半条对角线的长度。
【难度系数】
0.7
解题时先结合菱形的性质分析已知条件：菱形四条边相等，对角线互相垂直平分且平分内角。已知∠ABC=60°、AB=2，可先判定△ABC为等边三角形得到对角线AC的长度，再利用勾股定理在直角三角形中求出半条对角线BD的长度，最终得到BD的总长。
【解析】
解：设AC与BD交于点O。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=2，AC⊥BD，AC、BD互相平分，BD平分∠ABC。
∵∠ABC=60°，AB=BC=2，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=1。
在Rt△AOB中，AB=2，AO=1，由勾股定理得：
OB=$\sqrt{AB^2 - AO^2}$=$\sqrt{2^2 - 1^2}$=$\sqrt{3}$，
∴BD=2OB=$2\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何应用题，核心是利用菱形对角线的特殊性质搭建已知边长和待求边长的关联，解题时注意菱形对角线互相平分的特点，不要漏乘2倍得到半条对角线的长度。
【难度系数】
0.7
3. 将矩形纸片ABCD按如图2所示的方式折叠，得到菱形AECF. 若AB=3，则BC的长为（
A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
D
）.A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
3.D
解析
【分析】
我们可以按以下思路解题：第一步，回忆折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，对应边、对应角都相等，所以折叠后BC的长度等于点C到AC与折痕交点的长度；第二步，结合菱形的性质：菱形的对角线互相平分，可知AC的长度是上述那段长度的2倍，即可推出AC=2BC；第三步，矩形的内角为直角，所以△ABC是直角三角形，把AB=3、AC=2BC代入勾股定理，就能算出BC的长度。
【解析】
解：
∵四边形AECF是菱形，
∴对角线AC与EF互相平分，即$OC=OA$，
∵矩形纸片折叠得到菱形AECF，由折叠的性质可得$△ BCE ≌ △ OCE$，
∴$BC=OC$，$∠ B=∠ COE=90°$，
∴$AC=OA+OC=2OC=2BC$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ B=90°$，$△ ABC$为直角三角形，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
将$AB=3$、$AC=2BC$代入得：
$3^2 + BC^2 = (2BC)^2$
$9 + BC^2 = 4BC^2$
$3BC^2 = 9$
$BC^2 = 3$
∵BC为线段长度，是正数，
∴$BC=\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是四边形与折叠结合的典型题型，核心是利用折叠的全等性和特殊四边形的性质得到线段间的数量关系，再结合勾股定理求解，对学生的几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
我们可以按以下思路解题：第一步，回忆折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，对应边、对应角都相等，所以折叠后BC的长度等于点C到AC与折痕交点的长度；第二步，结合菱形的性质：菱形的对角线互相平分，可知AC的长度是上述那段长度的2倍，即可推出AC=2BC；第三步，矩形的内角为直角，所以△ABC是直角三角形，把AB=3、AC=2BC代入勾股定理，就能算出BC的长度。
【解析】
解：
∵四边形AECF是菱形，
∴对角线AC与EF互相平分，即$OC=OA$，
∵矩形纸片折叠得到菱形AECF，由折叠的性质可得$△ BCE ≌ △ OCE$，
∴$BC=OC$，$∠ B=∠ COE=90°$，
∴$AC=OA+OC=2OC=2BC$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ B=90°$，$△ ABC$为直角三角形，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$AB^2 + BC^2 = AC^2$，
将$AB=3$、$AC=2BC$代入得：
$3^2 + BC^2 = (2BC)^2$
$9 + BC^2 = 4BC^2$
$3BC^2 = 9$
$BC^2 = 3$
∵BC为线段长度，是正数，
∴$BC=\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是四边形与折叠结合的典型题型，核心是利用折叠的全等性和特殊四边形的性质得到线段间的数量关系，再结合勾股定理求解，对学生的几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
