登录
4. 荷兰版画家埃舍尔将数学几何知识与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果. 图3是一个菱形，将图3截去一个边长为原来一半的菱形得到图4，用三个图4镶嵌得到图5，将图5着色后，再次镶嵌便得到埃舍尔作品（如图6），则图5中∠BCD的度数是
120°
.答案
4. 120°
解析
【分析】
拿到这道题可以按以下思路思考：首先，题目提到三个完全相同的图4可以镶嵌得到图5，首先回忆平面镶嵌的核心条件：拼接在同一个公共顶点处的所有角的度数之和等于周角360°。其次，三个图4是全等图形，对应的∠BCD度数相等，因此三个相等的角相加为360°，直接用除法即可求出单个角的度数，结合菱形内角的特征也能验证结果的合理性。
【解析】
解：
∵ 三个完全相同的图4镶嵌得到图5，根据平面镶嵌的性质，拼接在公共顶点处的三个∠BCD的度数之和为周角360°，且三个∠BCD大小相等，
∴ $∠ BCD = 360° ÷ 3 = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
平面镶嵌，菱形的性质
【点评】
本题结合艺术创作场景考查几何知识的应用，解题的关键是抓住图形镶嵌的核心特征，找到角的和与周角的关系，能很好地锻炼学生结合实际场景运用知识点的能力。
【难度系数】
0.7
拿到这道题可以按以下思路思考：首先，题目提到三个完全相同的图4可以镶嵌得到图5，首先回忆平面镶嵌的核心条件：拼接在同一个公共顶点处的所有角的度数之和等于周角360°。其次，三个图4是全等图形，对应的∠BCD度数相等，因此三个相等的角相加为360°，直接用除法即可求出单个角的度数，结合菱形内角的特征也能验证结果的合理性。
【解析】
解：
∵ 三个完全相同的图4镶嵌得到图5，根据平面镶嵌的性质，拼接在公共顶点处的三个∠BCD的度数之和为周角360°，且三个∠BCD大小相等，
∴ $∠ BCD = 360° ÷ 3 = 120°$
【答案】
$120°$
【知识点】
平面镶嵌，菱形的性质
【点评】
本题结合艺术创作场景考查几何知识的应用，解题的关键是抓住图形镶嵌的核心特征，找到角的和与周角的关系，能很好地锻炼学生结合实际场景运用知识点的能力。
【难度系数】
0.7
5. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现我国人民的智慧和深厚的文化底蕴. 如图7，小红家有一个菱形中国结装饰，对角线AC，BD相交于点O，测得AB=10 cm，BD=16 cm，过点A作AH⊥BC于点H，则AH的长是
9.6
cm.答案
5. 9.6
解析
【分析】
本题可利用菱形的性质结合面积法求解。首先明确菱形的核心性质：菱形对角线互相垂直平分、四条边相等，菱形面积既可以用对角线乘积的一半计算，也可以用底乘对应高计算。解题时先根据BD的长度求出OB的长，再在直角三角形AOB中用勾股定理求出AO的长，进而得到AC的长度计算出菱形面积，最后根据两种面积公式列等式求出AH的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，BD=16 cm，
∴AC⊥BD，$OB=\frac{1}{2}BD=8\ \mathrm{cm}$，$BC=AB=10\ \mathrm{cm}$，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{cm}$，
∴$AC=2AO=12\ \mathrm{cm}$，
菱形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×12×16=96\ \mathrm{cm}^2$，
又
∵AH⊥BC，
∴$S=BC× AH$，
即$10× AH=96$，
解得$AH=9.6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
9.6
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练掌握菱形的性质，灵活运用面积法建立等式求解未知线段长度，是菱形性质应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
本题可利用菱形的性质结合面积法求解。首先明确菱形的核心性质：菱形对角线互相垂直平分、四条边相等，菱形面积既可以用对角线乘积的一半计算，也可以用底乘对应高计算。解题时先根据BD的长度求出OB的长，再在直角三角形AOB中用勾股定理求出AO的长，进而得到AC的长度计算出菱形面积，最后根据两种面积公式列等式求出AH的长度即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，BD=16 cm，
∴AC⊥BD，$OB=\frac{1}{2}BD=8\ \mathrm{cm}$，$BC=AB=10\ \mathrm{cm}$，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AB^2-OB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{cm}$，
∴$AC=2AO=12\ \mathrm{cm}$，
菱形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×12×16=96\ \mathrm{cm}^2$，
又
∵AH⊥BC，
∴$S=BC× AH$，
即$10× AH=96$，
解得$AH=9.6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
9.6
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；菱形面积计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是熟练掌握菱形的性质，灵活运用面积法建立等式求解未知线段长度，是菱形性质应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
6. 对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下.
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开.
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A'处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA'，EA'，展开，如图8.
第三步：再沿EA'所在的直线折叠，点B落在AD上的点B'处，得到折痕EF，同时得到线段B'F，展开，如图9.
（1）求∠ABE的度数.
（2）证明：四边形BFB'E为菱形.
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开.
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A'处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA'，EA'，展开，如图8.
第三步：再沿EA'所在的直线折叠，点B落在AD上的点B'处，得到折痕EF，同时得到线段B'F，展开，如图9.
（1）求∠ABE的度数.
（2）证明：四边形BFB'E为菱形.
答案
6.（1）
∵对折 AD 与BC 重合，折痕是 MN，
∴M 是AB 的中点，
∴A'是EF 的中点.
∵∠BA'E=∠A=90°，
∴BA'垂直平分EF，
∴BE=BF，
∴∠A'BE=∠A'BF. 由翻折的性质，知∠ABE=∠A'BE，
∴∠ABE=∠A'BE=∠A'BF，
∴∠ABE=$\frac{1}{3}×90°=30°$
（2）
∵沿EA'所在的直线折叠，点 B 落在AD 上的点B'处，
∴BE=B'E，BF=B'F.
∵BE=BF，
∴BE=B'E=B'F=BF，
∴四边形BFB'E 为菱形
∵对折 AD 与BC 重合，折痕是 MN，
∴M 是AB 的中点，
∴A'是EF 的中点.
∵∠BA'E=∠A=90°，
∴BA'垂直平分EF，
∴BE=BF，
∴∠A'BE=∠A'BF. 由翻折的性质，知∠ABE=∠A'BE，
∴∠ABE=∠A'BE=∠A'BF，
∴∠ABE=$\frac{1}{3}×90°=30°$
（2）
∵沿EA'所在的直线折叠，点 B 落在AD 上的点B'处，
∴BE=B'E，BF=B'F.
∵BE=BF，
∴BE=B'E=B'F=BF，
∴四边形BFB'E 为菱形
解析
【分析】
（1）求∠ABE的度数：首先根据第一步对折AD与BC重合得到折痕MN，可知MN是矩形的中位线，M为AB中点，结合第二次折叠后点A落在A'处，可得∠BA'E=∠A=90°，推出BA'是EF的垂直平分线，得到BE=BF、∠A'BE=∠A'BF；再结合折叠性质可知∠ABE=∠A'BE，三个相等的角和为90°，即可求出∠ABE的度数。
（2）证明四边形BFB'E为菱形：根据菱形的判定定理，四边相等的四边形是菱形，结合第三次折叠的性质可得BE=B'E、BF=B'F，再结合（1）中得到的BE=BF，可推出四条边全部相等，即可证明四边形为菱形。
【解析】
（1）解：
∵对折AD与BC重合，折痕是MN，
∴M是AB的中点，
∴A'是EF的中点，
∵∠BA'E=∠A=90°，
∴BA'垂直平分EF，
∴BE=BF，
∴∠A'BE=∠A'BF，
由翻折的性质，得∠ABE=∠A'BE，
∴∠ABE=∠A'BE=∠A'BF，
∵∠ABC=90°，
∴$∠ ABE=\frac{1}{3}×90°=30°$。
（2）证明：
∵沿EA'所在的直线折叠，点B落在AD上的点B'处，
∴BE=B'E，BF=B'F，
由（1）可知BE=BF，
∴BE=B'E=B'F=BF，
∴四边形BFB'E为菱形。
【答案】
（1）$∠ ABE=30°$；
（2）四边形BFB'E为菱形，证明见解析。
【知识点】
折叠的性质，垂直平分线的性质，菱形的判定
【点评】
本题以矩形折叠为背景，综合考查了几何图形折叠的性质、垂直平分线的性质以及菱形的判定方法，解题核心是抓住折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合几何定理逐步推导，对提升几何逻辑推理能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
（1）求∠ABE的度数：首先根据第一步对折AD与BC重合得到折痕MN，可知MN是矩形的中位线，M为AB中点，结合第二次折叠后点A落在A'处，可得∠BA'E=∠A=90°，推出BA'是EF的垂直平分线，得到BE=BF、∠A'BE=∠A'BF；再结合折叠性质可知∠ABE=∠A'BE，三个相等的角和为90°，即可求出∠ABE的度数。
（2）证明四边形BFB'E为菱形：根据菱形的判定定理，四边相等的四边形是菱形，结合第三次折叠的性质可得BE=B'E、BF=B'F，再结合（1）中得到的BE=BF，可推出四条边全部相等，即可证明四边形为菱形。
【解析】
（1）解：
∵对折AD与BC重合，折痕是MN，
∴M是AB的中点，
∴A'是EF的中点，
∵∠BA'E=∠A=90°，
∴BA'垂直平分EF，
∴BE=BF，
∴∠A'BE=∠A'BF，
由翻折的性质，得∠ABE=∠A'BE，
∴∠ABE=∠A'BE=∠A'BF，
∵∠ABC=90°，
∴$∠ ABE=\frac{1}{3}×90°=30°$。
（2）证明：
∵沿EA'所在的直线折叠，点B落在AD上的点B'处，
∴BE=B'E，BF=B'F，
由（1）可知BE=BF，
∴BE=B'E=B'F=BF，
∴四边形BFB'E为菱形。
【答案】
（1）$∠ ABE=30°$；
（2）四边形BFB'E为菱形，证明见解析。
【知识点】
折叠的性质，垂直平分线的性质，菱形的判定
【点评】
本题以矩形折叠为背景，综合考查了几何图形折叠的性质、垂直平分线的性质以及菱形的判定方法，解题核心是抓住折叠前后对应边相等、对应角相等的性质，结合几何定理逐步推导，对提升几何逻辑推理能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.7
