特殊四边形的应用及构造
【生活情境】
四边形是我们在日常生活中常见的一种几何图形.四边形的应用,尤其是特殊四边形的应用,非常广泛并且特别重要.

【活动任务】
我们知道,对于任意一个四边形,连接它的四边的中点所构成的四边形是一个平行四边形.由此,我们自然想到:在什么条件下,连接四边形各边中点所构成的四边形是矩形、菱形或正方形呢?
1.任意画两条互相垂直且相交的线段AC,BD,并顺次连接四个端点得到四边形ABCD,如图1所示.连接四边形ABCD的各边中点得到四边形EFGH,如图2所示.观察四边形EFGH,我们发现它是一个矩形.

2.任意画两条相等且相交的线段AC,BD,并顺次连接四个端点得到四边形ABCD,如图3所示.连接四边形ABCD的各边中点得到四边形EFGH,如图4所示,观察四边形EFGH,我们发现它是一个菱形.
任务1:根据以上经验,猜想在一个什么样的四边形中,顺次连接其各边的中点,可以得到一个正方形,请你在下面画出示意图;
任务2:顺次连接矩形、菱形和正方形各边中点所得到的四边形分别是什么四边形?提出猜想,并说明你的猜想是否正确.

解：
任务1：
猜想：对角线互相垂直且相等的四边形，顺次连接其各边中点得到的四边形是正方形。
示意图绘制：作两条互相垂直、长度相等的相交线段AC、BD，顺次连接端点A、B、C、D得到四边形ABCD，分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H，所得四边形EFGH即为正方形。
任务2：
猜想：顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形，猜想均正确，证明如下：
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
① 证明顺次连接矩形各边中点所得四边形为菱形：
设矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD。
∵EF是△ABC的中位线，
∴$EF// AC$，$EF = \frac{1}{2}AC$。
同理可得：$HG// AC$，$HG = \frac{1}{2}AC$，
∴$EF// HG$，$EF = HG$，四边形EFGH是平行四边形。
∵矩形的对角线相等，即$AC = BD$，
又∵EH是△ABD的中位线，∴$EH = \frac{1}{2}BD$，
∴$EF = EH$，
∴平行四边形EFGH是菱形。
② 证明顺次连接菱形各边中点所得四边形为矩形：
设菱形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD。
∵EF是△ABC的中位线，
∴$EF// AC$，$EF = \frac{1}{2}AC$。
同理可得：$HG// AC$，$HG = \frac{1}{2}AC$，
∴$EF// HG$，$EF = HG$，四边形EFGH是平行四边形。
∵菱形的对角线互相垂直，即$AC⊥ BD$，
又∵FG是△BCD的中位线，∴$FG// BD$，
∴$EF⊥ FG$，即$∠ EFG = 90°$，
∴平行四边形EFGH是矩形。
③ 证明顺次连接正方形各边中点所得四边形为正方形：
设正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD。
由中位线性质可得$EF// AC$，$EF = \frac{1}{2}AC$，$EH// BD$，$EH = \frac{1}{2}BD$，且四边形EFGH是平行四边形。
∵正方形的对角线相等且互相垂直，即$AC = BD$，$AC⊥ BD$，
∴$EF = EH$，且$EF⊥ EH$，
∴平行四边形EFGH是正方形。