1.分解因式：
(1)$x^4 + x^3 - x$；
(2)$5x^2y - 5xy^2$；
(3)$(a^2 - ab) + c(a - b)$。

(1)$x(x^3 + x^2 - 1)$；(2)$5xy(x - y)$；(3)$(a + c)(a - b)$。

【分析】
分解因式优先使用提公因式法，找公因式的步骤为：先取各项系数的最大公约数，再取各项共有的相同字母（或整式）的最低次幂，二者的乘积即为公因式，提出公因式后需确认剩余部分无法再分解。
(1)观察多项式$x^4 + x^3 - x$，各项均含字母$x$，最低次为1次，公因式为$x$，提出公因式即可；
(2)观察$5x^2y - 5xy^2$，系数最大公约数为5，均含$x$、$y$且最低次均为1次，公因式为$5xy$，提出公因式即可；
(3)先将第一个括号内的式子提取$a$变形为$a(a-b)$，此时两项均含整式公因式$(a-b)$，提出该公因式即可。
【解析】
(1) 提取公因式$x$：
$x^4 + x^3 - x = x· x^3 + x· x^2 - x·1 = x(x^3 + x^2 -1)$
(2) 提取公因式$5xy$：
$5x^2y - 5xy^2 = 5xy· x - 5xy· y = 5xy(x - y)$
(3) 先对第一个括号提公因式，再整体提公因式：
$(a^2 - ab) + c(a - b) = a(a - b) + c(a - b) = (a - b)(a + c) = (a + c)(a - b)$
【答案】
(1)$x(x^3 + x^2 - 1)$；(2)$5xy(x - y)$；(3)$(a + c)(a - b)$
【知识点】
提公因式法，公因式确定，整体因式分解
【点评】
这是因式分解的基础题型，核心是熟练掌握公因式的确定方法，对于含括号的多项式可先化简括号内部分，再观察是否存在公共的整式因式，提公因式后要注意检查剩余部分是否分解彻底。
【难度系数】
0.85

2.分解因式：
(1)$a^2 - 4b^2$；
(2)$9 - 12a + 4a^2$；
(3)$49(x - y)^2 - 16(x + y)^2$。

(1)$(a + 2b)(a - 2b)$；(2)$(3 - 2a)^2$；(3)$(11x - 3y)(3x - 11y)$。

【分析】
分解因式优先观察式子结构，判断适用的公式：1. 若式子是两项且为两个平方的差的形式，选用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2. 若式子是三项且符合“首平方、尾平方，乘积二倍在中央”的形式，选用完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
(1) 题是两项，$a^2$是$a$的平方，$4b^2$是$2b$的平方，符合平方差公式特征；
(2) 题是三项，整理后$4a^2$是$2a$的平方，9是3的平方，中间项$-12a$是$2×2a×3$的相反数，符合完全平方差公式特征；
(3) 题是两项，$49(x-y)^2$是$7(x-y)$的平方，$16(x+y)^2$是$4(x+y)$的平方，将$x-y$、$x+y$看作整体，符合平方差公式特征，套用公式后再化简合并同类项即可。
【解析】
(1) $a^2 - 4b^2$
$=a^2 - (2b)^2$
$=(a+2b)(a-2b)$
(2) $9 - 12a + 4a^2$
$=4a^2 -12a +9$
$=(2a)^2 - 2×2a×3 + 3^2$
$=(2a-3)^2$
$=(3-2a)^2$
(3) $49(x - y)^2 - 16(x + y)^2$
$=[7(x-y)]^2 - [4(x+y)]^2$
$=[7(x-y)+4(x+y)][7(x-y)-4(x+y)]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$7(x-y)+4(x+y)=7x-7y+4x+4y=11x-3y$
第二个括号：$7(x-y)-4(x+y)=7x-7y-4x-4y=3x-11y$
所以原式$=(11x-3y)(3x-11y)$
【答案】
(1)$(a + 2b)(a - 2b)$；(2)$(3 - 2a)^2$；(3)$(11x - 3y)(3x - 11y)$
【知识点】
平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、整式的加减运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是准确识别式子的结构特征，匹配对应的因式分解公式，遇到含多项式整体的结构时可先将整体当作单个字母套用公式，再化简，最终结果要保证每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7

3.分解因式：
(1)$x^2y - y$；
(2)$5x^3y - 5xy^3$；
(3)$4x^3 - 8x^2 + 4x$；
(4)$b^2(a - b) - 4(a - b)$；
(5)$8xy - 8x^2 - 2y^2$；
(6)$x^4 - 2x^2 + 1$。

(1)$y(x + 1)(x - 1)$；(2)$5xy(x + y)(x - y)$；(3)$4x(x - 1)^2$；(4)$(a - b)(b + 2)(b - 2)$；(5)$-2(2x - y)^2$；(6)$(x + 1)^2(x - 1)^2$。

【分析】
因式分解的核心思路是“一提二套三查”：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式，若为两项且符合平方差特征（$a^2-b^2$）就用平方差公式分解，若为三项且符合完全平方特征（$a^2\pm2ab+b^2$）就用完全平方公式分解；第三步检查分解结果是否彻底，确保每个因式都不能再分解，同时注意提取负号时括号内各项要变号。我们按照这个思路逐个求解每道小题即可。
【解析】
(1) 先提取公因式$y$：$x^2y - y = y(x^2 - 1)$，再利用平方差公式分解：$y(x^2 - 1)=y(x+1)(x-1)$；
(2) 先提取公因式$5xy$：$5x^3y - 5xy^3 = 5xy(x^2 - y^2)$，再利用平方差公式分解：$5xy(x^2 - y^2)=5xy(x+y)(x-y)$；
(3) 先提取公因式$4x$：$4x^3 - 8x^2 + 4x = 4x(x^2 - 2x + 1)$，再利用完全平方公式分解：$4x(x^2 - 2x + 1)=4x(x-1)^2$；
(4) 先提取公因式$(a-b)$：$b^2(a - b) - 4(a - b)=(a-b)(b^2 - 4)$，再利用平方差公式分解：$(a-b)(b^2 - 4)=(a-b)(b+2)(b-2)$；
(5) 先提取公因式$-2$（将首项系数化为正）：$8xy - 8x^2 - 2y^2 = -2(4x^2 - 4xy + y^2)$，再利用完全平方公式分解：$-2(4x^2 - 4xy + y^2)=-2(2x - y)^2$；
(6) 原式符合完全平方公式特征，先分解得：$x^4 - 2x^2 + 1=(x^2 - 1)^2$，再检查发现$x^2-1$可继续用平方差公式分解：$(x^2 - 1)^2=[(x+1)(x-1)]^2=(x+1)^2(x-1)^2$。
【答案】
(1)$y(x + 1)(x - 1)$；(2)$5xy(x + y)(x - y)$；(3)$4x(x - 1)^2$；(4)$(a - b)(b + 2)(b - 2)$；(5)$-2(2x - y)^2$；(6)$(x + 1)^2(x - 1)^2$
【知识点】
提公因式法、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本组题是因式分解的基础常规题型，解题时严格遵循“先提公因式、再套公式、最后检查分解彻底性”的步骤即可，需要注意提取负号时各项符号的变化，避免出现分解不彻底、符号错误等问题。
【难度系数】
0.8

4.已知$ab=2,a+b=5$,求$a^3b+2a^2b^2+ab^3$的值.

$ab(a + b)^2 = 50$。

【分析】
观察所求代数式的结构，各项均含有公因式$ab$，因此第一步先提取公因式$ab$；提取公因式后剩余的多项式为$a^2+2ab+b^2$，符合完全平方公式的结构，可进一步分解为$(a+b)^2$；此时待求式转化为仅含$ab$和$a+b$的式子，将已知条件整体代入即可求出结果，无需单独计算$a$、$b$的取值。
【解析】
解：对所求式子进行因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2 + 2ab + b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）}\\&=ab(a + b)^2 \quad \mathrm{（利用完全平方公式分解）}\end{aligned}$
将$ab=2$，$a+b=5$代入上式，得：
原式$=2×5^2=2×25=50$
【答案】
$50$
【知识点】
提取公因式分解因式，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，解题核心是通过因式分解将待求式变形为含已知条件的形式，利用整体代入法简化计算，避免了单独求解$a$、$b$取值的复杂运算。
【难度系数】
0.8

5.已知$a,b,c$为$△ ABC$的三边长，且$a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc$，试判断$△ ABC$的形状，并证明你的结论.

$△ ABC$是等边三角形。
证明：$(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 = 0$，
$a = b$ 且 $a = c$ 且 $b = c$，
即 $a = b = c$，
所以$△ ABC$是等边三角形。

【分析】
要判断△ABC的形状，只需推导得出三边a、b、c的数量关系即可。题目给出了三边平方和等于两两乘积之和的等式，可联想到完全平方公式的变形特征：首先给等式两边同时乘2，就能将式子整理为多个完全平方式相加的形式，再利用平方数的非负性（几个非负数的和为0时，每个非负数都为0），即可推出三边的等量关系，进而判断三角形形状。
【解析】
证明：已知$a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc$，
等式两边同时乘2，得：$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 2ab + 2ac + 2bc$，
移项整理得：$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0$，
分组后用完全平方公式因式分解，得：$(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 = 0$，
∵平方数是非负数，即$(a - b)^2 ≥ 0$，$(a - c)^2 ≥ 0$，$(b - c)^2 ≥ 0$，
∴仅当$a - b = 0$、$a - c = 0$、$b - c = 0$时，三个非负数的和为0，
即$a = b$，$a = c$，$b = c$，也就是$a = b = c$，
因此△ABC是等边三角形。
【答案】
$△ ABC$是等边三角形。
【知识点】
完全平方公式，非负数的性质，等边三角形判定
【点评】
本题是因式分解在几何问题中的典型应用，将代数变形与几何判定相结合，需要熟练掌握完全平方公式的常见变形，灵活运用非负数的性质推导边长关系，掌握这类题型能有效提升知识综合应用能力。
【难度系数】
0.7

6.已知$x - y = 5 - 2a$，$4xy = 4a - 12a^2 - 33$，求$a$的值.

$(x - y)^2 = 25 - 20a + 4a^2$，
$\therefore (x - y)^2 + 4xy = -8(a + 1)^2 ≤ 0$，
$\because (x - y)^2 + 4xy = (x + y)^2 ≥ 0$，
$\therefore (a + 1)^2 = 0$，
$\therefore a = -1$。

【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的变形：$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，我们已知$x-y$和$4xy$的代数式，可将其代入上述变形公式中，得到关于$a$的代数式。又因为平方具有非负性，即任意数的平方都大于等于0，因此代入后得到的代数式取值范围满足≥0，整理该代数式即可得到关于$a$的方程，进而求出$a$的值。
【解析】
首先展开$(x-y)^2$：
$(x-y)^2=(5-2a)^2=25-20a+4a^2$
将$(x-y)^2$和$4xy$代入完全平方变形公式$(x+y)^2=(x-y)^2+4xy$，得：
$\begin{aligned}(x+y)^2&=25-20a+4a^2 + 4a - 12a^2 -33\\&=-8a^2-16a-8\\&=-8(a^2+2a+1)\\&=-8(a+1)^2\end{aligned}$
根据平方的非负性可知$(x+y)^2≥0$，因此有：
$-8(a+1)^2≥0$
又因为$(a+1)^2≥0$，因此$-8(a+1)^2≤0$
要同时满足上述两个条件，只有$(a+1)^2=0$
解得$a=-1$
【答案】
$a=-1$
【知识点】
完全平方公式，平方的非负性，因式分解
【点评】
本题是代数变形的典型题型，核心考查完全平方公式的灵活变形，以及非负性的综合应用，解题的突破口是识别出已知条件和完全平方公式变形的关联，通过非负性建立等式求解，对学生的公式运用能力和代数变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6