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1.下列运算正确的是(
A.$3a^3 · 2a^2 = 6a^6$
B.$2a^2 · 3a^2 = 6a^4$
C.$3a^2 · 4a^2 = 12a^2$
D.$5a^3 · 3a^5 = 15a^{15}$
B
)A.$3a^3 · 2a^2 = 6a^6$
B.$2a^2 · 3a^2 = 6a^4$
C.$3a^2 · 4a^2 = 12a^2$
D.$5a^3 · 3a^5 = 15a^{15}$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路是先回忆单项式乘单项式的运算法则：将两个单项式的系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别相乘（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），再逐一计算每个选项的结果，对比判断正误即可。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则逐一计算：
A选项：$3a^3 · 2a^2 = (3×2)·a^{3+2}=6a^5≠6a^6$，故A错误；
B选项：$2a^2 · 3a^2 = (2×3)·a^{2+2}=6a^4$，故B正确；
C选项：$3a^2 · 4a^2 = (3×4)·a^{2+2}=12a^4≠12a^2$，故C错误；
D选项：$5a^3 · 3a^5 = (5×3)·a^{3+5}=15a^8≠15a^{15}$，故D错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查单项式乘法的运算法则，解题时要注意区分系数的计算和同底数幂的指数运算，避免出现指数直接相乘的低级错误。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式乘单项式的运算，解题思路是先回忆单项式乘单项式的运算法则：将两个单项式的系数相乘作为积的系数，相同字母的幂分别相乘（同底数幂相乘，底数不变，指数相加），再逐一计算每个选项的结果，对比判断正误即可。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则逐一计算：
A选项：$3a^3 · 2a^2 = (3×2)·a^{3+2}=6a^5≠6a^6$，故A错误；
B选项：$2a^2 · 3a^2 = (2×3)·a^{2+2}=6a^4$，故B正确；
C选项：$3a^2 · 4a^2 = (3×4)·a^{2+2}=12a^4≠12a^2$，故C错误；
D选项：$5a^3 · 3a^5 = (5×3)·a^{3+5}=15a^8≠15a^{15}$，故D错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
单项式乘单项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查单项式乘法的运算法则，解题时要注意区分系数的计算和同底数幂的指数运算，避免出现指数直接相乘的低级错误。
【难度系数】
0.9
2.下列运算中:①$b^3 · b^3 = b^9$;②$(a^5)^2 = a^7$;③$(ab^2)^3 = ab^6$;④$(-2a)^2 = 4a^2$,其中正确的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.A
解析
【分析】
这道题考查整式乘法中幂的各类运算规则，解题思路是先回忆同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，再逐个对4个运算式子进行验证，判断对错后统计正确的个数，即可选出对应选项。解题时要注意区分不同运算中指数的计算方式，以及积的乘方要保证每个因式都参与乘方，避免漏项。
【解析】
我们逐个判断每个运算的正误：
① 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：$b^3 · b^3 = b^{3+3}=b^6 ≠ b^9$，故①错误；
② 幂的乘方，底数不变，指数相乘：$(a^5)^2 = a^{5×2}=a^{10} ≠ a^7$，故②错误；
③ 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：$(ab^2)^3 = a^3·(b^2)^3 = a^3b^6 ≠ ab^6$，故③错误；
④ 积的乘方运算：$(-2a)^2 = (-2)^2·a^2 = 4a^2$，故④正确。
综上，只有1个运算正确。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题是幂的运算的基础考查题，容易出错的点是混淆不同幂运算中指数的计算规则，以及进行积的乘方运算时漏乘某个因式的乘方，解题时需逐一细致计算验证。
【难度系数】
0.7
这道题考查整式乘法中幂的各类运算规则，解题思路是先回忆同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，再逐个对4个运算式子进行验证，判断对错后统计正确的个数，即可选出对应选项。解题时要注意区分不同运算中指数的计算方式，以及积的乘方要保证每个因式都参与乘方，避免漏项。
【解析】
我们逐个判断每个运算的正误：
① 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：$b^3 · b^3 = b^{3+3}=b^6 ≠ b^9$，故①错误；
② 幂的乘方，底数不变，指数相乘：$(a^5)^2 = a^{5×2}=a^{10} ≠ a^7$，故②错误；
③ 积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：$(ab^2)^3 = a^3·(b^2)^3 = a^3b^6 ≠ ab^6$，故③错误；
④ 积的乘方运算：$(-2a)^2 = (-2)^2·a^2 = 4a^2$，故④正确。
综上，只有1个运算正确。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题是幂的运算的基础考查题，容易出错的点是混淆不同幂运算中指数的计算规则，以及进行积的乘方运算时漏乘某个因式的乘方，解题时需逐一细致计算验证。
【难度系数】
0.7
3.下列计算结果为$a^6$的是(
A.$a^7 - a$
B.$a^2 · a^3$
C.$a^8 ÷ a^2$
D.$(a^2)^2$
C
)A.$a^7 - a$
B.$a^2 · a^3$
C.$a^8 ÷ a^2$
D.$(a^2)^2$
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一计算每个选项的结果，选出结果为$a^6$的选项。首先回忆相关运算法则：1. 只有同类项才能合并，非同类项不能直接加减；2. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；3. 同底数幂相除，底数不变，指数相减；4. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。依次用对应法则验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$a^7$和$a$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能直接合并，计算结果不是$a^6$，不符合要求；
选项B：根据同底数幂的乘法法则，$a^2 · a^3 = a^{2+3} = a^5 ≠ a^6$，不符合要求；
选项C：根据同底数幂的除法法则，$a^8 ÷ a^2 = a^{8-2} = a^6$，符合要求；
选项D：根据幂的乘方法则，$(a^2)^2 = a^{2 × 2} = a^4 ≠ a^6$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂运算的相关法则，解题的关键是准确区分不同幂运算的指数变化规则，避免混淆各类运算法则。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的相关运算，解题思路是逐一计算每个选项的结果，选出结果为$a^6$的选项。首先回忆相关运算法则：1. 只有同类项才能合并，非同类项不能直接加减；2. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加；3. 同底数幂相除，底数不变，指数相减；4. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。依次用对应法则验证每个选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$a^7$和$a$所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，不能直接合并，计算结果不是$a^6$，不符合要求；
选项B：根据同底数幂的乘法法则，$a^2 · a^3 = a^{2+3} = a^5 ≠ a^6$，不符合要求；
选项C：根据同底数幂的除法法则，$a^8 ÷ a^2 = a^{8-2} = a^6$，符合要求；
选项D：根据幂的乘方法则，$(a^2)^2 = a^{2 × 2} = a^4 ≠ a^6$，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查幂运算的相关法则，解题的关键是准确区分不同幂运算的指数变化规则，避免混淆各类运算法则。
【难度系数】
0.8
4.计算$(x+2)(x-1)$正确的是(
A.$x^2+2x-1$
B.$x^2+x-2$
C.$x^2-x-2$
D.$x^2-2$
B
)A.$x^2+2x-1$
B.$x^2+x-2$
C.$x^2-x-2$
D.$x^2-2$
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题时首先回忆多项式乘多项式的运算法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项，将最终结果和选项对比即可选出正确答案，运算时要注意每项的符号，不要漏乘任意一项。
【解析】
根据多项式乘多项式运算法则计算：
$\begin{aligned}(x+2)(x-1)&=x· x + x·(-1) + 2· x + 2·(-1)\\&=x^2 - x + 2x - 2\\&=x^2 + x - 2\end{aligned}$
将计算结果与各选项对比，可知B选项符合计算结果。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础题，主要考查多项式乘多项式的运算能力，运算时注意确认每项的符号，合并同类项时准确计算系数和，即可轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查多项式乘多项式的运算，解题时首先回忆多项式乘多项式的运算法则：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项，将最终结果和选项对比即可选出正确答案，运算时要注意每项的符号，不要漏乘任意一项。
【解析】
根据多项式乘多项式运算法则计算：
$\begin{aligned}(x+2)(x-1)&=x· x + x·(-1) + 2· x + 2·(-1)\\&=x^2 - x + 2x - 2\\&=x^2 + x - 2\end{aligned}$
将计算结果与各选项对比，可知B选项符合计算结果。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式乘法的基础题，主要考查多项式乘多项式的运算能力，运算时注意确认每项的符号，合并同类项时准确计算系数和，即可轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.9
5.计算$(2a - 1)^2$正确的是(
A.$4a^2 - 4a + 1$
B.$2a^2 - 4a + 1$
C.$4a^2 - 8a + 1$
D.$4a^2 - 1$
A
)A.$4a^2 - 4a + 1$
B.$2a^2 - 4a + 1$
C.$4a^2 - 8a + 1$
D.$4a^2 - 1$
答案
5.A
解析
【分析】
本题考查完全平方差公式的应用，解题时首先回忆完全平方差公式的结构：$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，先确定公式中对应的$m$和$n$，本题中$m$为$2a$，$n$为$1$，再将对应项代入公式分别计算每一项，最后合并结果对照选项即可。要注意避免出现只计算首尾两项、漏算中间项，或者系数计算错误的常见误区。
【解析】
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$(2a-1)^2$展开：
1. 计算首项的平方：$(2a)^2=4a^2$
2. 计算两倍的两项乘积，注意符号为负：$-2× 2a×1=-4a$
3. 计算末项的平方：$1^2=1$
将三项合并得：$(2a-1)^2=4a^2-4a+1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础常规题，核心考查对完全平方公式的理解和运用，解题时需准确匹配公式中的对应项，注意系数计算和符号判断，避免漏项、错算系数的失误。
【难度系数】
0.9
本题考查完全平方差公式的应用，解题时首先回忆完全平方差公式的结构：$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，先确定公式中对应的$m$和$n$，本题中$m$为$2a$，$n$为$1$，再将对应项代入公式分别计算每一项，最后合并结果对照选项即可。要注意避免出现只计算首尾两项、漏算中间项，或者系数计算错误的常见误区。
【解析】
根据完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，将$(2a-1)^2$展开：
1. 计算首项的平方：$(2a)^2=4a^2$
2. 计算两倍的两项乘积，注意符号为负：$-2× 2a×1=-4a$
3. 计算末项的平方：$1^2=1$
将三项合并得：$(2a-1)^2=4a^2-4a+1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础常规题，核心考查对完全平方公式的理解和运用，解题时需准确匹配公式中的对应项，注意系数计算和符号判断，避免漏项、错算系数的失误。
【难度系数】
0.9
6.计算：
(1)$(-x)^5 ÷ (-x)^2 · x^2$；
(2)$2(a^2)^3 · a^3 - (3a^3)^3 + (5a^7) · a^2$；
(3)$(-2x - y)^2$；
(4)$(2x + 3y)(3x - 2y)$。
(1)$(-x)^5 ÷ (-x)^2 · x^2$；
(2)$2(a^2)^3 · a^3 - (3a^3)^3 + (5a^7) · a^2$；
(3)$(-2x - y)^2$；
(4)$(2x + 3y)(3x - 2y)$。
答案
6.解:(1)原式$=-x^5$;(2)原式$=-20a^9$;
(3)原式$=4x^2+4xy+y^2$;(4)原式$=6x^2+5xy-6y^2$.
(3)原式$=4x^2+4xy+y^2$;(4)原式$=6x^2+5xy-6y^2$.
解析
【分析】
本题是整式乘法的基础运算题，解题思路如下：
(1) 先利用同底数幂的除法法则计算除法，再计算同底数幂的乘法，注意负数幂的符号规则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负；
(2) 先按运算顺序计算幂的乘方、积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可；
(3) 可先提取括号内的负号，将原式转化为完全平方公式的标准形式，再利用完全平方公式展开，也可直接套用完全平方公式展开；
(4) 利用多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先计算同底数幂的除法：
原式$=(-x)^{5-2}·x^2=(-x)^3·x^2=-x^3·x^2=-x^{3+2}=-x^5$
(2) 先算幂的乘方与积的乘方，再算同底数幂乘法，最后合并同类项：
原式$=2a^{6}·a^3 - 27a^9 +5a^{9}=2a^9 -27a^9 +5a^9=(2-27+5)a^9=-20a^9$
(3) 提取负号后利用完全平方公式计算：
原式$=[-(2x+y)]^2=(2x+y)^2=(2x)^2 + 2·2x·y + y^2=4x^2+4xy+y^2$
(4) 按多项式乘多项式法则展开后合并同类项：
原式$=2x·3x + 2x·(-2y) +3y·3x +3y·(-2y)=6x^2 -4xy +9xy -6y^2=6x^2+5xy-6y^2$
【答案】
(1)$-x^5$；(2)$-20a^9$；(3)$4x^2+4xy+y^2$；(4)$6x^2+5xy-6y^2$
【知识点】
同底数幂的运算；幂的乘方与积的乘方；整式乘法及乘法公式
【点评】
本题考查整式运算的基础能力，解题时要严格遵循运算顺序，注意符号的处理和公式的正确套用，合并同类项时要区分同类项，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
本题是整式乘法的基础运算题，解题思路如下：
(1) 先利用同底数幂的除法法则计算除法，再计算同底数幂的乘法，注意负数幂的符号规则：负数的偶次幂为正，奇次幂为负；
(2) 先按运算顺序计算幂的乘方、积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可；
(3) 可先提取括号内的负号，将原式转化为完全平方公式的标准形式，再利用完全平方公式展开，也可直接套用完全平方公式展开；
(4) 利用多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项，再合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先计算同底数幂的除法：
原式$=(-x)^{5-2}·x^2=(-x)^3·x^2=-x^3·x^2=-x^{3+2}=-x^5$
(2) 先算幂的乘方与积的乘方，再算同底数幂乘法，最后合并同类项：
原式$=2a^{6}·a^3 - 27a^9 +5a^{9}=2a^9 -27a^9 +5a^9=(2-27+5)a^9=-20a^9$
(3) 提取负号后利用完全平方公式计算：
原式$=[-(2x+y)]^2=(2x+y)^2=(2x)^2 + 2·2x·y + y^2=4x^2+4xy+y^2$
(4) 按多项式乘多项式法则展开后合并同类项：
原式$=2x·3x + 2x·(-2y) +3y·3x +3y·(-2y)=6x^2 -4xy +9xy -6y^2=6x^2+5xy-6y^2$
【答案】
(1)$-x^5$；(2)$-20a^9$；(3)$4x^2+4xy+y^2$；(4)$6x^2+5xy-6y^2$
【知识点】
同底数幂的运算；幂的乘方与积的乘方；整式乘法及乘法公式
【点评】
本题考查整式运算的基础能力，解题时要严格遵循运算顺序，注意符号的处理和公式的正确套用，合并同类项时要区分同类项，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
7.先化简,再求值:$(x+2)^2 + (2x+1)(2x-1) - 4x(x+1)$,其中$x=1$.
答案
7.解:原式$=x^2+3$,
当$x=1$时,原式$=4$.
当$x=1$时,原式$=4$.
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分两步走：第一步先化简原式，分别利用完全平方公式展开$(x+2)^2$，利用平方差公式展开$(2x+1)(2x-1)$，利用单项式乘多项式法则计算$4x(x+1)$，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将$x=1$代入最简整式计算出最终结果，先化简再代入能大幅降低计算错误率。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^2+4x+4 + (4x^2-1) - (4x^2+4x) \\&=x^2+4x+4 +4x^2 -1 -4x^2 -4x \\&=x^2 + (4x^2-4x^2) + (4x-4x) + (4-1) \\&=x^2 + 3\end{aligned}$
再代入$x=1$求值：
当$x=1$时，原式$=1^2 +3=1+3=4$
【答案】
化简结果为$x^2+3$，求值结果为$4$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式乘法相关公式的灵活运用以及合并同类项的计算能力，展开各项时注意符号判断，避免漏乘错算。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分两步走：第一步先化简原式，分别利用完全平方公式展开$(x+2)^2$，利用平方差公式展开$(2x+1)(2x-1)$，利用单项式乘多项式法则计算$4x(x+1)$，再去括号、合并同类项得到最简整式；第二步将$x=1$代入最简整式计算出最终结果，先化简再代入能大幅降低计算错误率。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=x^2+4x+4 + (4x^2-1) - (4x^2+4x) \\&=x^2+4x+4 +4x^2 -1 -4x^2 -4x \\&=x^2 + (4x^2-4x^2) + (4x-4x) + (4-1) \\&=x^2 + 3\end{aligned}$
再代入$x=1$求值：
当$x=1$时，原式$=1^2 +3=1+3=4$
【答案】
化简结果为$x^2+3$，求值结果为$4$
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查整式乘法相关公式的灵活运用以及合并同类项的计算能力，展开各项时注意符号判断，避免漏乘错算。
【难度系数】
0.8
8.(1)已知$x,y$满足$(2x^2+2y^2+3)(2x^2+2y^2-3)=27$，求$x^2+y^2$的值；
(2)已知$a,b$满足$(a^2-b^2+1)(a^2-b^2-1)=63$.求$(a+b)(a-b)$的值.
(2)已知$a,b$满足$(a^2-b^2+1)(a^2-b^2-1)=63$.求$(a+b)(a-b)$的值.
答案
8.解:(1)设$2x^2+2y^2=m$,
$\therefore (m+3)(m-3)=27$,
$\therefore m^2-9=27$,即$m^2=36$,
$\therefore m=\pm6$.
$\because x^2+y^2≥0,\therefore x^2+y^2=3$.
(2)设$a^2-b^2=t$,
则$(t+1)(t-1)=63$,
$\therefore t^2=64$,
$\therefore t=\pm8$,
$\therefore (a+b)(a-b)=a^2-b^2=t=\pm8$.
$\therefore (m+3)(m-3)=27$,
$\therefore m^2-9=27$,即$m^2=36$,
$\therefore m=\pm6$.
$\because x^2+y^2≥0,\therefore x^2+y^2=3$.
(2)设$a^2-b^2=t$,
则$(t+1)(t-1)=63$,
$\therefore t^2=64$,
$\therefore t=\pm8$,
$\therefore (a+b)(a-b)=a^2-b^2=t=\pm8$.
解析
【分析】
这两道题都是整体换元思想的典型应用，解题思路如下：①观察式子结构，可发现相乘的两个括号中都含有相同的整体代数式，将这个整体设为新的未知数，能大幅简化原式；②原式符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，展开后即可求出新设未知数的值；③结合代数式的隐含取值范围（平方数非负），舍去不符合要求的解，最终求出目标式的值，其中第(2)问的目标式刚好就是我们设的整体，可直接得出结果。
【解析】
(1)设$2x^2+2y^2=m$，
$\therefore (m+3)(m-3)=27$，
由平方差公式展开得：$m^2-9=27$，即$m^2=36$，
解得$m=\pm6$。
$\because x^2≥0，y^2≥0$，$\therefore 2x^2+2y^2≥0$，即$m≥0$，
$\therefore m=6$，即$2(x^2+y^2)=6$，
$\therefore x^2+y^2=3$。
(2)设$a^2-b^2=t$，
则$(t+1)(t-1)=63$，
由平方差公式展开得：$t^2-1=63$，即$t^2=64$，
解得$t=\pm8$。
由平方差公式可知$(a+b)(a-b)=a^2-b^2=t$，
$\therefore (a+b)(a-b)$的值为$\pm8$。
【答案】
(1)$x^2+y^2=3$；(2)$(a+b)(a-b)=\pm8$
【知识点】
1.平方差公式 2.换元法 3.平方的非负性
【点评】
本题侧重考查整体思想的运用，通过换元将复杂的整式运算转化为简单的一元方程求解，降低了运算难度，解题时要注意挖掘式子隐含的取值范围，避免出现多解漏舍的错误。
【难度系数】
0.7
这两道题都是整体换元思想的典型应用，解题思路如下：①观察式子结构，可发现相乘的两个括号中都含有相同的整体代数式，将这个整体设为新的未知数，能大幅简化原式；②原式符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，展开后即可求出新设未知数的值；③结合代数式的隐含取值范围（平方数非负），舍去不符合要求的解，最终求出目标式的值，其中第(2)问的目标式刚好就是我们设的整体，可直接得出结果。
【解析】
(1)设$2x^2+2y^2=m$，
$\therefore (m+3)(m-3)=27$，
由平方差公式展开得：$m^2-9=27$，即$m^2=36$，
解得$m=\pm6$。
$\because x^2≥0，y^2≥0$，$\therefore 2x^2+2y^2≥0$，即$m≥0$，
$\therefore m=6$，即$2(x^2+y^2)=6$，
$\therefore x^2+y^2=3$。
(2)设$a^2-b^2=t$，
则$(t+1)(t-1)=63$，
由平方差公式展开得：$t^2-1=63$，即$t^2=64$，
解得$t=\pm8$。
由平方差公式可知$(a+b)(a-b)=a^2-b^2=t$，
$\therefore (a+b)(a-b)$的值为$\pm8$。
【答案】
(1)$x^2+y^2=3$；(2)$(a+b)(a-b)=\pm8$
【知识点】
1.平方差公式 2.换元法 3.平方的非负性
【点评】
本题侧重考查整体思想的运用，通过换元将复杂的整式运算转化为简单的一元方程求解，降低了运算难度，解题时要注意挖掘式子隐含的取值范围，避免出现多解漏舍的错误。
【难度系数】
0.7
9.已知$(a-b-c)^2=11$ ①，$(a+b+c)^2=35$ ②，求$a^2+b^2+c^2+2cb$的值。
答案
9.解:由①得$a^2+b^2+c^2-2a(b+c)+2cb=11$,
由②得$a^2+b^2+c^2+2a(b+c)+2cb=35$,
$\therefore 2(a^2+b^2+c^2)+4bc=46$,
$\therefore a^2+b^2+c^2+2cb=23$.
由②得$a^2+b^2+c^2+2a(b+c)+2cb=35$,
$\therefore 2(a^2+b^2+c^2)+4bc=46$,
$\therefore a^2+b^2+c^2+2cb=23$.
解析
【分析】
本题已知两个关于a、b、c的完全平方等式，要求特定代数式的值。解题时首先利用完全平方公式将两个已知等式展开，观察展开后的式子特征，发现两式中含a(b+c)的项互为相反数，将两式相加即可消去该部分，整理后就能直接得到所求代数式的值，无需单独求解每个字母的取值，运用整体思想简化计算。
【解析】
先利用完全平方公式展开两个已知等式：
由①得：$(a-b-c)^2=[a-(b+c)]^2=a^2-2a(b+c)+(b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2a(b+c)+2cb=11$
由②得：$(a+b+c)^2=[a+(b+c)]^2=a^2+2a(b+c)+(b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2a(b+c)+2cb=35$
将上述两个等式左右两边分别相加，得：
$[a^2+b^2+c^2-2a(b+c)+2cb]+[a^2+b^2+c^2+2a(b+c)+2cb]=11+35$
合并同类项，消去互为相反数的$-2a(b+c)$和$+2a(b+c)$，可得：
$2(a^2+b^2+c^2)+4bc=46$
等式两边同时除以2，得：
$a^2+b^2+c^2+2cb=23$
【答案】
23
【知识点】
1.完全平方公式 2.整式加减运算 3.整体代入求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，解题核心是通过观察已知式子的结构特征，采用两式相加的方法消去多余的交叉项，直接得到所求代数式的相关表达式，体现了整体思想在整式运算中的应用，避免了不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.7
本题已知两个关于a、b、c的完全平方等式，要求特定代数式的值。解题时首先利用完全平方公式将两个已知等式展开，观察展开后的式子特征，发现两式中含a(b+c)的项互为相反数，将两式相加即可消去该部分，整理后就能直接得到所求代数式的值，无需单独求解每个字母的取值，运用整体思想简化计算。
【解析】
先利用完全平方公式展开两个已知等式：
由①得：$(a-b-c)^2=[a-(b+c)]^2=a^2-2a(b+c)+(b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2a(b+c)+2cb=11$
由②得：$(a+b+c)^2=[a+(b+c)]^2=a^2+2a(b+c)+(b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2a(b+c)+2cb=35$
将上述两个等式左右两边分别相加，得：
$[a^2+b^2+c^2-2a(b+c)+2cb]+[a^2+b^2+c^2+2a(b+c)+2cb]=11+35$
合并同类项，消去互为相反数的$-2a(b+c)$和$+2a(b+c)$，可得：
$2(a^2+b^2+c^2)+4bc=46$
等式两边同时除以2，得：
$a^2+b^2+c^2+2cb=23$
【答案】
23
【知识点】
1.完全平方公式 2.整式加减运算 3.整体代入求值
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，解题核心是通过观察已知式子的结构特征，采用两式相加的方法消去多余的交叉项，直接得到所求代数式的相关表达式，体现了整体思想在整式运算中的应用，避免了不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.7
