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一、选择题
1. 若 $ b = \frac{5}{6}a + \frac{1}{6}c $，且 $ a - c ＞ 2 $，则 $ b - c $ 的最小整数值为 （
A.0
B.1
C.2
D.3
1. 若 $ b = \frac{5}{6}a + \frac{1}{6}c $，且 $ a - c ＞ 2 $，则 $ b - c $ 的最小整数值为 （
C
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1.C
解析
【分析】
要计算$b-c$的最小整数值，首先需要将$b-c$用已知的$a-c$表示，因为题目给出了$a-c$的取值范围。第一步先把$b$的表达式代入$b-c$，通过代数变形整理成含有$a-c$的式子，再利用不等式的性质求出$b-c$的取值范围，最后在范围内找到最小的整数即可。
【解析】
解：将$b = \frac{5}{6}a + \frac{1}{6}c$代入$b - c$，得：
$\begin{aligned}b - c&=\frac{5}{6}a + \frac{1}{6}c - c\\&=\frac{5}{6}a - \frac{5}{6}c\\&=\frac{5}{6}(a - c)\end{aligned}$
已知$a - c ＞ 2$，根据不等式的性质，不等式两边同时乘正数$\frac{5}{6}$，不等号方向不变，因此：
$\frac{5}{6}(a - c) ＞ \frac{5}{6} × 2 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1.67$
即$b - c ＞ 1.67$，大于1.67的最小整数为2，因此$b-c$的最小整数值是2。
【答案】
C
【知识点】
代数式变形，不等式的性质，整数解求解
【点评】
本题解题的核心是通过代数变形将目标式转化为已知范围的整体形式，再结合不等式性质和整数的特征得到结果，是代数式与不等式结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要计算$b-c$的最小整数值，首先需要将$b-c$用已知的$a-c$表示，因为题目给出了$a-c$的取值范围。第一步先把$b$的表达式代入$b-c$，通过代数变形整理成含有$a-c$的式子，再利用不等式的性质求出$b-c$的取值范围，最后在范围内找到最小的整数即可。
【解析】
解：将$b = \frac{5}{6}a + \frac{1}{6}c$代入$b - c$，得：
$\begin{aligned}b - c&=\frac{5}{6}a + \frac{1}{6}c - c\\&=\frac{5}{6}a - \frac{5}{6}c\\&=\frac{5}{6}(a - c)\end{aligned}$
已知$a - c ＞ 2$，根据不等式的性质，不等式两边同时乘正数$\frac{5}{6}$，不等号方向不变，因此：
$\frac{5}{6}(a - c) ＞ \frac{5}{6} × 2 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \approx 1.67$
即$b - c ＞ 1.67$，大于1.67的最小整数为2，因此$b-c$的最小整数值是2。
【答案】
C
【知识点】
代数式变形，不等式的性质，整数解求解
【点评】
本题解题的核心是通过代数变形将目标式转化为已知范围的整体形式，再结合不等式性质和整数的特征得到结果，是代数式与不等式结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
2.某校机器人小组计划购买一套新的传感器模块用于备赛.小组已筹集到120元经费,并决定从本月起每月从社团经费中节省60元,直到经费不少于500元,设小组筹集的时间为$x$个月,则可列不等式为 (
A.$60x + 120 ≤ 500$
B.$60x + 120 ≥ 500$
C.$60(x + 120) ≥ 500$
D.$120x + 60 ≥ 500$
B
)A.$60x + 120 ≤ 500$
B.$60x + 120 ≥ 500$
C.$60(x + 120) ≥ 500$
D.$120x + 60 ≥ 500$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先要梳理题目中的数量关系：先明确已有经费和后续每月新增的经费，再根据“不少于500元”的要求确定不等号方向。第一步，先计算x个月能新增的经费总额；第二步，加上已筹集的120元得到总经费；第三步，“不少于”对应“≥”的不等关系，即可列出不等式。
【解析】
1. 计算x个月新增的经费：每月节省60元，x个月共节省$60x$元；
2. 计算x个月后总的经费：已有120元加上新增的$60x$元，总经费为$60x + 120$元；
3. 题目要求总经费不少于500元，“不少于”即大于或等于，因此可列不等式：$60x + 120 ≥ 500$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式实际应用
2. 不等号含义
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题型，核心考查学生从实际场景中提取数量关系、正确理解不等关键词的能力，解题的关键是准确表示总经费的表达式，明确“不少于”对应的不等关系。
【难度系数】
0.9
解题时首先要梳理题目中的数量关系：先明确已有经费和后续每月新增的经费，再根据“不少于500元”的要求确定不等号方向。第一步，先计算x个月能新增的经费总额；第二步，加上已筹集的120元得到总经费；第三步，“不少于”对应“≥”的不等关系，即可列出不等式。
【解析】
1. 计算x个月新增的经费：每月节省60元，x个月共节省$60x$元；
2. 计算x个月后总的经费：已有120元加上新增的$60x$元，总经费为$60x + 120$元；
3. 题目要求总经费不少于500元，“不少于”即大于或等于，因此可列不等式：$60x + 120 ≥ 500$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次不等式实际应用
2. 不等号含义
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题型，核心考查学生从实际场景中提取数量关系、正确理解不等关键词的能力，解题的关键是准确表示总经费的表达式，明确“不少于”对应的不等关系。
【难度系数】
0.9
3.若$0 ＜ x ＜ 1$,则$x, x^2, \frac{1}{x}$的大小关系是（
A.$x ＞ x^2 ＞ \frac{1}{x}$
B.$x^2 ＞ \frac{1}{x} ＞ x$
C.$\frac{1}{x} ＞ x ＞ x^2$
D.$x^2 ＞ x ＞ \frac{1}{x}$
C
）A.$x ＞ x^2 ＞ \frac{1}{x}$
B.$x^2 ＞ \frac{1}{x} ＞ x$
C.$\frac{1}{x} ＞ x ＞ x^2$
D.$x^2 ＞ x ＞ \frac{1}{x}$
答案
3.C
解析
【分析】
要比较0＜x＜1时x、$x^2$、$\frac{1}{x}$的大小，我们可以用选择题常用的简便方法特殊值法：选取一个在0到1范围内的具体数值代入三个代数式，分别计算出结果后直接比较大小即可；也可以结合不等式的性质推导：大于0小于1的正数，乘平方后数值小于本身，倒数大于本身，据此也能快速排序。
【解析】
方法一（特殊值法）：
∵0＜x＜1，取符合取值范围的数值$x=\frac{1}{2}$
则$x^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
∵$2＞\frac{1}{2}＞\frac{1}{4}$
∴大小关系为$\frac{1}{x}＞x＞x^2$。
方法二（性质推导法）：
∵0＜x＜1
1. 给不等式$0＜x＜1$两边同时乘正数$x$，不等号方向不变，得$0＜x^2＜x$；
2. 给不等式$0＜x＜1$两边同时除以正数$x$，不等号方向不变，得$0＜1＜\frac{1}{x}$，即$\frac{1}{x}＞1$，结合$x＜1$可得$\frac{1}{x}＞x$。
综上可得$\frac{1}{x}＞x＞x^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较；不等式的性质；倒数的性质
【点评】
本题是代数式大小比较的基础题型，特殊值法是解决这类带取值范围的选择题的高效方法，计算量小、准确率高，也可以通过不等式的性质推导结果，两种方法都建议熟练掌握。
【难度系数】
0.85
要比较0＜x＜1时x、$x^2$、$\frac{1}{x}$的大小，我们可以用选择题常用的简便方法特殊值法：选取一个在0到1范围内的具体数值代入三个代数式，分别计算出结果后直接比较大小即可；也可以结合不等式的性质推导：大于0小于1的正数，乘平方后数值小于本身，倒数大于本身，据此也能快速排序。
【解析】
方法一（特殊值法）：
∵0＜x＜1，取符合取值范围的数值$x=\frac{1}{2}$
则$x^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，$\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$
∵$2＞\frac{1}{2}＞\frac{1}{4}$
∴大小关系为$\frac{1}{x}＞x＞x^2$。
方法二（性质推导法）：
∵0＜x＜1
1. 给不等式$0＜x＜1$两边同时乘正数$x$，不等号方向不变，得$0＜x^2＜x$；
2. 给不等式$0＜x＜1$两边同时除以正数$x$，不等号方向不变，得$0＜1＜\frac{1}{x}$，即$\frac{1}{x}＞1$，结合$x＜1$可得$\frac{1}{x}＞x$。
综上可得$\frac{1}{x}＞x＞x^2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较；不等式的性质；倒数的性质
【点评】
本题是代数式大小比较的基础题型，特殊值法是解决这类带取值范围的选择题的高效方法，计算量小、准确率高，也可以通过不等式的性质推导结果，两种方法都建议熟练掌握。
【难度系数】
0.85
4. $6 ＜ a ＜ 10,\frac{a}{2} ≤ b ≤ 2a,c = a + b$,则有（
A.$9 ≤ c ≤ 30$
B.$15 ＜ c ＜ 30$
C.$9 ＜ c ≤ 18$
D.$9 ＜ c ＜ 30$
D
）A.$9 ≤ c ≤ 30$
B.$15 ＜ c ＜ 30$
C.$9 ＜ c ≤ 18$
D.$9 ＜ c ＜ 30$
答案
4.D
解析
【分析】
要确定$c=a+b$的取值范围，我们可以利用不等式的性质，先结合$a$的取值范围，分别推导$c$的下界和上界，同时注意$a$的范围是开区间，判断边界值能否取到，最终得到$c$的完整范围。
【解析】
已知$6 ＜ a ＜ 10$，$\frac{a}{2} ≤ b ≤ 2a$，$c=a+b$：
1. 求$c$的下界：
因为$b ≥ \frac{a}{2}$，所以$c = a + b ≥ a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}$。
又因为$a＞6$，代入得$\frac{3a}{2} ＞ \frac{3×6}{2}=9$，所以$c＞9$。
2. 求$c$的上界：
因为$b ≤ 2a$，所以$c = a + b ≤ a + 2a = 3a$。
又因为$a＜10$，代入得$3a ＜ 3×10=30$，所以$c＜30$。
综上可得$9 ＜ c ＜ 30$。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质，代数式取值范围求解
【点评】
本题考查不等式性质的应用，解题关键是结合已知的不等关系推导目标式的上下界，需注意原不等式中$a$无法取到端点值，因此$c$的范围也不包含端点，避免误选含等号的选项。
【难度系数】
0.7
要确定$c=a+b$的取值范围，我们可以利用不等式的性质，先结合$a$的取值范围，分别推导$c$的下界和上界，同时注意$a$的范围是开区间，判断边界值能否取到，最终得到$c$的完整范围。
【解析】
已知$6 ＜ a ＜ 10$，$\frac{a}{2} ≤ b ≤ 2a$，$c=a+b$：
1. 求$c$的下界：
因为$b ≥ \frac{a}{2}$，所以$c = a + b ≥ a + \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}$。
又因为$a＞6$，代入得$\frac{3a}{2} ＞ \frac{3×6}{2}=9$，所以$c＞9$。
2. 求$c$的上界：
因为$b ≤ 2a$，所以$c = a + b ≤ a + 2a = 3a$。
又因为$a＜10$，代入得$3a ＜ 3×10=30$，所以$c＜30$。
综上可得$9 ＜ c ＜ 30$。
【答案】
D
【知识点】
不等式的基本性质，代数式取值范围求解
【点评】
本题考查不等式性质的应用，解题关键是结合已知的不等关系推导目标式的上下界，需注意原不等式中$a$无法取到端点值，因此$c$的范围也不包含端点，避免误选含等号的选项。
【难度系数】
0.7
5.合肥市在“2026年央视春晚合肥分会场”活动期间，组织义卖以春晚分会场元素为主题的明信片.每套售价15元，成本为4元.活动主办方希望总利润不低于8000元，且预计销售过程中会有不超过10%的损耗(无法售出).若已印制2000套，问至少需要卖出多少套才能达标？（
A.727
B.728
C.1800
D.1801
C
）A.727
B.728
C.1800
D.1801
答案
解：设需要卖出$x$套才能达标。
总利润的计算逻辑为：总销售额减去印制2000套的总成本，需满足总利润不低于8000元，同时结合损耗不超过10%的限制，可列不等式：
$15x - 4×2000 ≥ 8000$
整理不等式得：
$15x ≥ 16000$
解得：
$x ≥ \frac{16000}{15} \approx 1066.67$
同时印制2000套的最大允许损耗为$2000×10\%=200$套，即最多有200套无法售出，可售出的数量下限为$2000-200=1800$套。
由于需要同时满足利润要求和损耗限制，因此至少需要卖出1800套才能达标。
答案：C
总利润的计算逻辑为：总销售额减去印制2000套的总成本，需满足总利润不低于8000元，同时结合损耗不超过10%的限制，可列不等式：
$15x - 4×2000 ≥ 8000$
整理不等式得：
$15x ≥ 16000$
解得：
$x ≥ \frac{16000}{15} \approx 1066.67$
同时印制2000套的最大允许损耗为$2000×10\%=200$套，即最多有200套无法售出，可售出的数量下限为$2000-200=1800$套。
由于需要同时满足利润要求和损耗限制，因此至少需要卖出1800套才能达标。
答案：C
解析
【分析】
这是一道结合实际场景的一元一次不等式应用题，解题时需先明确题目中的两个限制要求：一是总利润不低于8000元，二是销售损耗不超过10%。首先设卖出的套数为x，先根据“总利润=总销售额-印制总成本”的公式列不等式，求出满足利润要求的x的最小值；再根据损耗不超过10%的要求，计算出最多允许无法售出的套数，得到满足损耗要求的x的最小值；最后两个最小值取较大的那个，就是同时满足两个条件的最少售出套数。
【解析】
解：设需要卖出$x$套才能达标。
首先根据总利润不低于8000元列不等式，总成本为印制2000套的固定成本，总销售额为卖出$x$套的收入：
$15x - 4×2000 ≥ 8000$
整理不等式得：
$15x ≥ 16000$
解得：
$x ≥ \frac{16000}{15} \approx 1066.67$，即满足利润要求最少需要卖出1067套。
再考虑损耗限制：印制2000套，最多允许无法售出的套数为$2000×10\%=200$套，因此满足损耗要求最少需要售出$2000-200=1800$套。
需同时满足两个要求，因此取两个最小值中更大的1800套。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式应用，利润问题计算
【点评】
本题属于不等式实际应用的典型题型，解题核心是审题时找全所有限制条件，容易遗漏损耗不超过10%的要求，仅根据利润条件计算得到错误结果，多个不等关系需同时满足时，要取最严格的限制结果。
【难度系数】
0.6
这是一道结合实际场景的一元一次不等式应用题，解题时需先明确题目中的两个限制要求：一是总利润不低于8000元，二是销售损耗不超过10%。首先设卖出的套数为x，先根据“总利润=总销售额-印制总成本”的公式列不等式，求出满足利润要求的x的最小值；再根据损耗不超过10%的要求，计算出最多允许无法售出的套数，得到满足损耗要求的x的最小值；最后两个最小值取较大的那个，就是同时满足两个条件的最少售出套数。
【解析】
解：设需要卖出$x$套才能达标。
首先根据总利润不低于8000元列不等式，总成本为印制2000套的固定成本，总销售额为卖出$x$套的收入：
$15x - 4×2000 ≥ 8000$
整理不等式得：
$15x ≥ 16000$
解得：
$x ≥ \frac{16000}{15} \approx 1066.67$，即满足利润要求最少需要卖出1067套。
再考虑损耗限制：印制2000套，最多允许无法售出的套数为$2000×10\%=200$套，因此满足损耗要求最少需要售出$2000-200=1800$套。
需同时满足两个要求，因此取两个最小值中更大的1800套。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式应用，利润问题计算
【点评】
本题属于不等式实际应用的典型题型，解题核心是审题时找全所有限制条件，容易遗漏损耗不超过10%的要求，仅根据利润条件计算得到错误结果，多个不等关系需同时满足时，要取最严格的限制结果。
【难度系数】
0.6
二、填空题
1. 枸杞芽茶是近年来深受消费者喜爱的茶叶，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以200元/罐的价格购进一批枸杞芽茶，并在进价的基础上提价30%进行售卖，设售出数量为x罐，要使总销售额不低于13万元，可列不等式为
1. 枸杞芽茶是近年来深受消费者喜爱的茶叶，具有生津止渴、清心明目等多种功效，某商家以200元/罐的价格购进一批枸杞芽茶，并在进价的基础上提价30%进行售卖，设售出数量为x罐，要使总销售额不低于13万元，可列不等式为
$200(1 + 30\% )x≥130000$
。答案
1. $200(1 + 30\% )x≥130000$
解析
【分析】
遇到这类列不等式的实际问题，可按以下思路思考：第一步先确定单件商品的售价，题目已知进价为200元/罐，提价30%后，售价为进价乘(1+提价百分比)；第二步回忆总销售额的计算公式：总销售额=销售单价×销售数量，代入对应量可表示出总销售额；第三步统一单位，题目中“13万元”的单位和进价单位不一致，需换算为130000元；第四步抓关键词“不低于”，对应不等号为“≥”，组合各部分即可得到不等式。
【解析】
1. 计算单罐售价：进价200元，提价30%后，单罐售价为$200×(1+30\%)$元；
2. 表示总销售额：售出数量为x罐，总销售额为单价乘销量，即$200(1+30\%)x$元；
3. 统一单位并明确不等关系：13万元=130000元，“不低于”即大于等于，对应不等号为“≥”；
4. 列出不等式：$200(1 + 30\% )x≥130000$。
【答案】
$200(1 + 30\% )x≥130000$
【知识点】
列一元一次不等式、销售问题数量关系、不等关系识别
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题，解题的关键是准确梳理销售类问题的数量关系，注意单位统一，同时正确理解“不低于”“至少”这类关键词对应的不等符号，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.8
遇到这类列不等式的实际问题，可按以下思路思考：第一步先确定单件商品的售价，题目已知进价为200元/罐，提价30%后，售价为进价乘(1+提价百分比)；第二步回忆总销售额的计算公式：总销售额=销售单价×销售数量，代入对应量可表示出总销售额；第三步统一单位，题目中“13万元”的单位和进价单位不一致，需换算为130000元；第四步抓关键词“不低于”，对应不等号为“≥”，组合各部分即可得到不等式。
【解析】
1. 计算单罐售价：进价200元，提价30%后，单罐售价为$200×(1+30\%)$元；
2. 表示总销售额：售出数量为x罐，总销售额为单价乘销量，即$200(1+30\%)x$元；
3. 统一单位并明确不等关系：13万元=130000元，“不低于”即大于等于，对应不等号为“≥”；
4. 列出不等式：$200(1 + 30\% )x≥130000$。
【答案】
$200(1 + 30\% )x≥130000$
【知识点】
列一元一次不等式、销售问题数量关系、不等关系识别
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题，解题的关键是准确梳理销售类问题的数量关系，注意单位统一，同时正确理解“不低于”“至少”这类关键词对应的不等符号，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.8
