四、综合题
1.已知方程组$\begin{cases} x - y = 2a, \\ x + 3y = 1 - 5a \end{cases}$的解$x$与$y$的和是正数，求$a$的取值范围。

1. $a ＜ \dfrac{1}{3}$

【分析】
要确定a的取值范围，首先需要得到x与y的和的表达式。我们可以先观察方程组的特点，将两个方程直接相加，就能快速得到x+y关于a的代数式，再根据“x与y的和是正数”即x+y＞0，列出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求出a的取值范围。也可以先解方程组用含a的式子分别表示x、y，再相加列不等式求解，直接相加的方法更简便。
【解析】
解：将方程组中的两个方程编号：
$\begin{cases} x - y = 2a \quad \mathrm{①} \\ x + 3y = 1 - 5a \quad \mathrm{②} \end{cases}$
由①+②，得：
$2x + 2y = 1 - 3a$
两边同时除以2，可得：
$x + y = \frac{1 - 3a}{2}$
根据题意，x与y的和是正数，即$x + y ＞ 0$，代入得：
$\frac{1 - 3a}{2} ＞ 0$
不等式两边同时乘2，不等号方向不变：
$1 - 3a ＞ 0$
移项得：
$-3a ＞ -1$
不等式两边同时除以-3，不等号方向改变：
$a ＜ \frac{1}{3}$
【答案】
$a ＜ \dfrac{1}{3}$
【知识点】
二元一次方程组的解法；一元一次不等式的解法
【点评】
本题是二元一次方程组与一元一次不等式的基础综合题，解题时可灵活观察方程结构，无需单独求解x、y，直接将两式相加得到x+y的表达式可简化计算，解不等式时注意两边同时除以负数时，不等号方向要发生改变。
【难度系数】
0.7

2.某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下：

某顾客在该超市一次性购得标价为$x$元的商品.
(1)该顾客得到的优惠不超过18元.请列出不等式.
(2)该顾客得到的优惠超过30元.请列出不等式.

2. (1) 当$0 ＜ x≤200$时,$0. 1x≤18$;当$x ＞ 200$时,$0. 2x - 20≤18$
(2)$0. 2x - 20 ＞ 30$

【分析】
解题时首先明确优惠金额=商品标价-实际付款金额，需结合促销的分段规则，分情况推导不同购物金额区间对应的优惠表达式，再根据优惠的限制条件列不等式：
1. 先划分两个区间：购物金额不超过200元、超过200元，分别计算两个区间的优惠金额公式；
2. 第(1)问优惠不超过18元，对应两个区间分别列不等式；
3. 第(2)问优惠超过30元，先判断不超过200元时最大优惠仅20元，达不到30元，因此仅需针对超过200元的区间列不等式。
【解析】
(1) 分两种情况讨论：
① 当$0 ＜ x ≤ 200$时，商品全部九折，实付金额为$0.9x$，优惠金额为$x - 0.9x = 0.1x$，由优惠不超过18元，可得不等式：$0.1x ≤ 18$；
② 当$x ＞ 200$时，200元部分打九折，超过200元的部分打八折，实付金额为$200 × 0.9 + 0.8(x - 200) = 0.8x + 20$，优惠金额为$x - (0.8x + 20) = 0.2x - 20$，由优惠不超过18元，可得不等式：$0.2x - 20 ≤ 18$。
(2) 当$0 ＜ x ≤ 200$时，最大优惠为$x=200$时的$0.1 × 200 = 20$元，小于30元，因此仅考虑$x＞200$的情况：
此时优惠金额为$0.2x - 20$，由优惠超过30元，可得不等式：$0.2x - 20 ＞ 30$。
【答案】
(1) 当$0 ＜ x≤200$时,$0. 1x≤18$;当$x ＞ 200$时,$0. 2x - 20≤18$
(2)$0. 2x - 20 ＞ 30$
【知识点】
1. 分段计费问题
2. 列一元一次不等式
3. 不等式实际应用
【点评】
本题是生活中常见的促销打折类问题，解题核心是先结合分段规则推导不同区间的优惠金额表达式，再根据限制条件列不等式，注意要先判断区间内优惠的最值，可排除不符合要求的区间，简化解题过程。
【难度系数】
0.7