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2. 如a,b,c都是大于-1的负数，那么abc的取值范围是
$-1 ＜ abc ＜ 0$
.答案
2. $-1 ＜ abc ＜ 0$
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：a、b、c均满足-1＜x＜0。第一步先根据有理数乘法的符号规律判断abc的符号：三个负数相乘，积为负数，可得abc＜0；第二步分析abc的绝对值范围：每个数的绝对值都小于1，多个小于1的正数相乘，积仍小于1，可得|abc|＜1，即-1＜abc＜1；最后结合符号结论合并范围即可得到结果。
【解析】
解：
∵a、b、c都是大于-1的负数
∴-1 ＜ a ＜ 0，-1 ＜ b ＜ 0，-1 ＜ c ＜ 0
①判断符号：根据有理数乘法法则，奇数个负数相乘，积为负数，可得abc ＜ 0
②判断绝对值范围：
∵|a| ＜ 1，|b| ＜ 1，|c| ＜ 1
∴|abc| = |a|·|b|·|c| ＜ 1×1×1 = 1
即|abc| ＜ 1，去绝对值得：-1 ＜ abc ＜ 1
结合①的结论abc ＜ 0，可得最终取值范围：-1 ＜ abc ＜ 0
【答案】
$-1 ＜ abc ＜ 0$
【知识点】
有理数乘法法则，绝对值的性质，不等式的性质
【点评】
本题重点考察有理数乘法的符号判定和绝对值的应用，解题时要先确定乘积的符号，再推导数值的取值范围，避免出现只计算数值范围忽略符号的常见错误。
【难度系数】
0.7
解题时先明确已知条件：a、b、c均满足-1＜x＜0。第一步先根据有理数乘法的符号规律判断abc的符号：三个负数相乘，积为负数，可得abc＜0；第二步分析abc的绝对值范围：每个数的绝对值都小于1，多个小于1的正数相乘，积仍小于1，可得|abc|＜1，即-1＜abc＜1；最后结合符号结论合并范围即可得到结果。
【解析】
解：
∵a、b、c都是大于-1的负数
∴-1 ＜ a ＜ 0，-1 ＜ b ＜ 0，-1 ＜ c ＜ 0
①判断符号：根据有理数乘法法则，奇数个负数相乘，积为负数，可得abc ＜ 0
②判断绝对值范围：
∵|a| ＜ 1，|b| ＜ 1，|c| ＜ 1
∴|abc| = |a|·|b|·|c| ＜ 1×1×1 = 1
即|abc| ＜ 1，去绝对值得：-1 ＜ abc ＜ 1
结合①的结论abc ＜ 0，可得最终取值范围：-1 ＜ abc ＜ 0
【答案】
$-1 ＜ abc ＜ 0$
【知识点】
有理数乘法法则，绝对值的性质，不等式的性质
【点评】
本题重点考察有理数乘法的符号判定和绝对值的应用，解题时要先确定乘积的符号，再推导数值的取值范围，避免出现只计算数值范围忽略符号的常见错误。
【难度系数】
0.7
3.横山小米色泽金黄、营养丰富，富含粗蛋白和多种微量元素，被誉为“小人参”，某超市以35元/袋的进价购进一批横山小米，出售时标价为60元/袋，超市现准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可打
七
折.答案
3. 七
解析
【分析】
本题是一元一次不等式的实际应用问题，解题思路如下：第一步明确销售问题中的核心公式：售价=标价×折扣数/10，利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%；第二步抓住“利润率不低于20%”的不等关系，即利润率≥20%；第三步设未知数列出不等式，求解后结合实际意义确定最大可打的折扣。
【解析】
设超市打$ x $折销售该小米，根据题意可得：
打折后的售价为$ 60×\frac{x}{10}=6x $元/袋
要保证利润率不低于20%，则满足不等式：
$ \frac{6x - 35}{35} ≥ 20\% $
不等式两边同乘35得：
$ 6x - 35 ≥ 35×0.2 $
计算得：
$ 6x - 35 ≥ 7 $
移项合并得：
$ 6x ≥ 42 $
解得：
$ x ≥ 7 $
即折扣数最小为7，也就是最多可打七折（折扣力度最大为七折，不能低于七折销售）。
【答案】
七
【知识点】
一元一次不等式应用、利润率计算、打折销售问题
【点评】
本题属于常见的销售类实际应用题，重点考查对不等关系的判断和销售公式的运用，解题时要注意“不低于”对应“≥”的不等号，同时准确理解打折的含义，避免因概念理解偏差出错。
【难度系数】
0.7
本题是一元一次不等式的实际应用问题，解题思路如下：第一步明确销售问题中的核心公式：售价=标价×折扣数/10，利润=售价-进价，利润率=利润÷进价×100%；第二步抓住“利润率不低于20%”的不等关系，即利润率≥20%；第三步设未知数列出不等式，求解后结合实际意义确定最大可打的折扣。
【解析】
设超市打$ x $折销售该小米，根据题意可得：
打折后的售价为$ 60×\frac{x}{10}=6x $元/袋
要保证利润率不低于20%，则满足不等式：
$ \frac{6x - 35}{35} ≥ 20\% $
不等式两边同乘35得：
$ 6x - 35 ≥ 35×0.2 $
计算得：
$ 6x - 35 ≥ 7 $
移项合并得：
$ 6x ≥ 42 $
解得：
$ x ≥ 7 $
即折扣数最小为7，也就是最多可打七折（折扣力度最大为七折，不能低于七折销售）。
【答案】
七
【知识点】
一元一次不等式应用、利润率计算、打折销售问题
【点评】
本题属于常见的销售类实际应用题，重点考查对不等关系的判断和销售公式的运用，解题时要注意“不低于”对应“≥”的不等号，同时准确理解打折的含义，避免因概念理解偏差出错。
【难度系数】
0.7
4.若$ab＜0$时，$(a-b)^2$与$(a+b)^2$的大小关系是
$(a-b)^2 ＞ (a+b)^2$
.答案
4. $(a-b)^2 ＞ (a+b)^2$
解析
【分析】
要比较两个代数式的大小，可采用作差法：若两个代数式的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大。本题可先将两个完全平方式展开，作差后化简，再结合已知条件$ab＜0$判断差的符号，即可得出两者的大小关系，也可代入符合条件的特殊值验证结果。
【解析】
解：用作差法比较大小：
$\begin{aligned}(a-b)^2 - (a+b)^2&=(a^2-2ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)\\&=a^2-2ab+b^2 - a^2 -2ab -b^2\\&=-4ab\end{aligned}$
已知$ab＜0$，则$-4ab＞0$，即$(a-b)^2 - (a+b)^2＞0$，
因此$(a-b)^2 ＞ (a+b)^2$。
【答案】
$(a-b)^2 ＞ (a+b)^2$
【知识点】
1. 作差法比较大小 2. 完全平方公式 3. 有理数乘法符号法则
【点评】
本题是比较代数式大小的基础题型，解题核心是熟练运用完全平方公式展开化简，结合已知条件判断作差后的结果符号即可快速求解，特殊值代入法也可作为验证结论的简便方法。
【难度系数】
0.8
要比较两个代数式的大小，可采用作差法：若两个代数式的差大于0，则被减数更大；若差小于0，则减数更大。本题可先将两个完全平方式展开，作差后化简，再结合已知条件$ab＜0$判断差的符号，即可得出两者的大小关系，也可代入符合条件的特殊值验证结果。
【解析】
解：用作差法比较大小：
$\begin{aligned}(a-b)^2 - (a+b)^2&=(a^2-2ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)\\&=a^2-2ab+b^2 - a^2 -2ab -b^2\\&=-4ab\end{aligned}$
已知$ab＜0$，则$-4ab＞0$，即$(a-b)^2 - (a+b)^2＞0$，
因此$(a-b)^2 ＞ (a+b)^2$。
【答案】
$(a-b)^2 ＞ (a+b)^2$
【知识点】
1. 作差法比较大小 2. 完全平方公式 3. 有理数乘法符号法则
【点评】
本题是比较代数式大小的基础题型，解题核心是熟练运用完全平方公式展开化简，结合已知条件判断作差后的结果符号即可快速求解，特殊值代入法也可作为验证结论的简便方法。
【难度系数】
0.8
三、解答题
1. 如图,写出x的取值范围,并由x的范围化简$\sqrt{x^2 + 2x + 1} - |2 - x|$.
1. 如图,写出x的取值范围,并由x的范围化简$\sqrt{x^2 + 2x + 1} - |2 - x|$.
答案
1. 当$x≤-1$时,原式= -3;当$x≥2$时原式=3
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步先根据数轴上解集的表示，确定x的取值范围；第二步将根号内的多项式变形为完全平方式，利用二次根式的性质将原式转化为含绝对值的式子；第三步分两种情况，分别判断绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去绝对值后化简计算即可。
【解析】
首先根据数轴可得x的取值范围为：$x ≤ -1$ 或 $x ≥ 2$。
先化简原式：$\sqrt{x^2+2x+1}=\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|$，因此原式可化为 $|x+1|-|2-x|$。
① 当 $x ≤ -1$ 时：
$x+1 ≤ 0$，$2-x ＞ 0$，
因此 $|x+1|=-(x+1)$，$|2-x|=2-x$，
代入得：
$\begin{aligned}原式&=-(x+1)-(2-x)\\&=-x-1-2+x\\&=-3\end{aligned}$
② 当 $x ≥ 2$ 时：
$x+1 ＞ 0$，$2-x ≤ 0$，
因此 $|x+1|=x+1$，$|2-x|=x-2$，
代入得：
$\begin{aligned}原式&=(x+1)-(x-2)\\&=x+1-x+2\\&=3\end{aligned}$
【答案】
当$x≤-1$时,原式= -3;当$x≥2$时原式=3
【知识点】
数轴表示解集、二次根式化简、绝对值运算
【点评】
本题综合考查了数轴、二次根式的性质和绝对值的化简，解题关键是先根据数轴确定未知数的取值范围，再结合绝对值的性质分情况去绝对值计算，注意实心点表示包含该端点，去绝对值时要先判断代数式的正负性。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步先根据数轴上解集的表示，确定x的取值范围；第二步将根号内的多项式变形为完全平方式，利用二次根式的性质将原式转化为含绝对值的式子；第三步分两种情况，分别判断绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去绝对值后化简计算即可。
【解析】
首先根据数轴可得x的取值范围为：$x ≤ -1$ 或 $x ≥ 2$。
先化简原式：$\sqrt{x^2+2x+1}=\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|$，因此原式可化为 $|x+1|-|2-x|$。
① 当 $x ≤ -1$ 时：
$x+1 ≤ 0$，$2-x ＞ 0$，
因此 $|x+1|=-(x+1)$，$|2-x|=2-x$，
代入得：
$\begin{aligned}原式&=-(x+1)-(2-x)\\&=-x-1-2+x\\&=-3\end{aligned}$
② 当 $x ≥ 2$ 时：
$x+1 ＞ 0$，$2-x ≤ 0$，
因此 $|x+1|=x+1$，$|2-x|=x-2$，
代入得：
$\begin{aligned}原式&=(x+1)-(x-2)\\&=x+1-x+2\\&=3\end{aligned}$
【答案】
当$x≤-1$时,原式= -3;当$x≥2$时原式=3
【知识点】
数轴表示解集、二次根式化简、绝对值运算
【点评】
本题综合考查了数轴、二次根式的性质和绝对值的化简，解题关键是先根据数轴确定未知数的取值范围，再结合绝对值的性质分情况去绝对值计算，注意实心点表示包含该端点，去绝对值时要先判断代数式的正负性。
【难度系数】
0.7
2. 已知关于$x$的方程$\frac{x+a}{2} + x -1 = -2a$.
(1) 求$x$的值(用含$a$的式子表示);
(2) 若关于$x$的方程$\frac{x+a}{2} + x -1 = -2a$的解不小于$-6$,求$a$的取值范围;
(3) 请直接写出满足(2)的条件的所有$a$的正整数值.
(1) 求$x$的值(用含$a$的式子表示);
(2) 若关于$x$的方程$\frac{x+a}{2} + x -1 = -2a$的解不小于$-6$,求$a$的取值范围;
(3) 请直接写出满足(2)的条件的所有$a$的正整数值.
答案
2. (1)$x = \frac{-5a + 2}{3}$
(2)$a≤4$
(3)1,2,3,4
(2)$a≤4$
(3)1,2,3,4
解析
【分析】
本题分三小问，解题思路如下：(1) 把a当作常数，按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、移项、合并同类项、系数化为1）求解x即可；(2) 题中“解不小于-6”即x≥-6，将第(1)问求得的x的表达式代入该不等式，按照解一元一次不等式的步骤求解，注意不等号两边乘除负数时要改变方向；(3) 在第(2)问求得的a的取值范围内，找出所有正整数即可。
【解析】
(1) 解方程$\frac{x+a}{2} + x -1 = -2a$：
去分母，两边同时乘2得：$x+a + 2x - 2 = -4a$
移项，将含x的项留在左边，其余项移到右边得：$x + 2x = -4a - a + 2$
合并同类项得：$3x = -5a + 2$
系数化为1得：$x = \frac{-5a + 2}{3}$
(2) 由题意知方程的解不小于-6，即$x ≥ -6$，将$x = \frac{-5a + 2}{3}$代入得：
$\frac{-5a + 2}{3} ≥ -6$
两边同时乘3得：$-5a + 2 ≥ -18$
移项计算得：$-5a ≥ -20$
两边同时除以-5，不等号方向改变，得：$a ≤ 4$
(3) 因为a为正整数且$a ≤ 4$，所以a的正整数值为1,2,3,4。
【答案】
(1)$x = \frac{-5a + 2}{3}$
(2)$a≤4$
(3)1,2,3,4
【知识点】
解含参数的一元一次方程；解一元一次不等式；正整数判定
【点评】
本题属于基础综合题，侧重考察一元一次方程和不等式的基础运算能力，解题时需注意解不等式两边同时除以负数时不等号方向要改变，求正整数解时注意不要遗漏符合要求的数值。
【难度系数】
0.8
本题分三小问，解题思路如下：(1) 把a当作常数，按照解一元一次方程的常规步骤（去分母、移项、合并同类项、系数化为1）求解x即可；(2) 题中“解不小于-6”即x≥-6，将第(1)问求得的x的表达式代入该不等式，按照解一元一次不等式的步骤求解，注意不等号两边乘除负数时要改变方向；(3) 在第(2)问求得的a的取值范围内，找出所有正整数即可。
【解析】
(1) 解方程$\frac{x+a}{2} + x -1 = -2a$：
去分母，两边同时乘2得：$x+a + 2x - 2 = -4a$
移项，将含x的项留在左边，其余项移到右边得：$x + 2x = -4a - a + 2$
合并同类项得：$3x = -5a + 2$
系数化为1得：$x = \frac{-5a + 2}{3}$
(2) 由题意知方程的解不小于-6，即$x ≥ -6$，将$x = \frac{-5a + 2}{3}$代入得：
$\frac{-5a + 2}{3} ≥ -6$
两边同时乘3得：$-5a + 2 ≥ -18$
移项计算得：$-5a ≥ -20$
两边同时除以-5，不等号方向改变，得：$a ≤ 4$
(3) 因为a为正整数且$a ≤ 4$，所以a的正整数值为1,2,3,4。
【答案】
(1)$x = \frac{-5a + 2}{3}$
(2)$a≤4$
(3)1,2,3,4
【知识点】
解含参数的一元一次方程；解一元一次不等式；正整数判定
【点评】
本题属于基础综合题，侧重考察一元一次方程和不等式的基础运算能力，解题时需注意解不等式两边同时除以负数时不等号方向要改变，求正整数解时注意不要遗漏符合要求的数值。
【难度系数】
0.8
3.一个两位数,个位上的数字比十位上的数字大2,如果这个两位数大于20而小于40,求这个两位数.
答案
3. 这个两位数为24或35
解析
【分析】
解题时首先要明确两位数的表示方法：两位数=10×十位数字+个位数字。我们可以先设十位上的数字为x，结合“个位上的数字比十位上的数字大2”的条件，用x表示出个位数字和整个两位数；再根据“两位数大于20而小于40”的取值范围列出关于x的不等式；最后结合数位上的数字为正整数的隐含要求，求出x的整数解，代入即可得到符合条件的两位数。
【解析】
设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+2$，这个两位数可表示为$10x + (x+2) = 11x + 2$。
根据题意得不等式：
$20 ＜ 11x + 2 ＜ 40$
分别解不等式两边：
左边：$20 - 2 ＜ 11x$，即$18 ＜ 11x$，解得$x ＞ \frac{18}{11} \approx 1.64$
右边：$11x ＜ 40 - 2$，即$11x ＜ 38$，解得$x ＜ \frac{38}{11} \approx 3.45$
因为$x$是十位上的数字，为正整数，所以$x$的取值为2或3。
当$x=2$时，个位数字为$2+2=4$，两位数为$24$；
当$x=3$时，个位数字为$3+2=5$，两位数为$35$。
【答案】
这个两位数为24或35
【知识点】
1. 两位数的表示
2. 一元一次不等式的应用
3. 整数解求解
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题型，核心是掌握数位的表示方法，结合题目给出的取值范围列不等式，解题时要注意数位上的数字为整数这一隐含条件，避免出现多余的错误解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两位数的表示方法：两位数=10×十位数字+个位数字。我们可以先设十位上的数字为x，结合“个位上的数字比十位上的数字大2”的条件，用x表示出个位数字和整个两位数；再根据“两位数大于20而小于40”的取值范围列出关于x的不等式；最后结合数位上的数字为正整数的隐含要求，求出x的整数解，代入即可得到符合条件的两位数。
【解析】
设这个两位数的十位数字为$x$，则个位数字为$x+2$，这个两位数可表示为$10x + (x+2) = 11x + 2$。
根据题意得不等式：
$20 ＜ 11x + 2 ＜ 40$
分别解不等式两边：
左边：$20 - 2 ＜ 11x$，即$18 ＜ 11x$，解得$x ＞ \frac{18}{11} \approx 1.64$
右边：$11x ＜ 40 - 2$，即$11x ＜ 38$，解得$x ＜ \frac{38}{11} \approx 3.45$
因为$x$是十位上的数字，为正整数，所以$x$的取值为2或3。
当$x=2$时，个位数字为$2+2=4$，两位数为$24$；
当$x=3$时，个位数字为$3+2=5$，两位数为$35$。
【答案】
这个两位数为24或35
【知识点】
1. 两位数的表示
2. 一元一次不等式的应用
3. 整数解求解
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题型，核心是掌握数位的表示方法，结合题目给出的取值范围列不等式，解题时要注意数位上的数字为整数这一隐含条件，避免出现多余的错误解。
【难度系数】
0.7
