一、选择题
1. 已知点$P(m,n)$在直线$y = -x + 4$上，且$2m - 5n ≥ 0$，则（）

A.$\frac{n}{m}$有最大值$\frac{2}{5}$
B.$\frac{n}{m}$有最小值$\frac{2}{5}$
C.$\frac{m}{n}$有最大值$\frac{5}{2}$
D.$\frac{m}{n}$有最小值$\frac{5}{2}$

1.A

【分析】
解题时首先利用“一次函数图象上的点坐标满足函数解析式”的性质，将n用含m的代数式表示，代入题给不等式求出m的取值范围，确定m的正负性，再根据不等式的性质变形得到所求比值的范围，进而判断最值即可。注意要关注分母的正负，避免不等号方向判断错误。
【解析】
1. 由点$P(m,n)$在直线$y=-x+4$上，将点坐标代入直线解析式得：$n = -m + 4$。
2. 将$n = -m + 4$代入$2m - 5n ≥ 0$，展开计算：
$2m - 5(-m + 4) ≥ 0$
$2m + 5m - 20 ≥ 0$
$7m ≥ 20$，解得$m ≥ \frac{20}{7} ＞ 0$，因此$m$恒为正数，$\frac{n}{m}$有意义。
3. 对$2m - 5n ≥ 0$移项得$2m ≥ 5n$，两边同时除以$5m$（$m＞0$，不等号方向不变），可得：
$\frac{2}{5} ≥ \frac{n}{m}$，即$\frac{n}{m} ≤ \frac{2}{5}$，当$2m=5n$时等号成立，因此$\frac{n}{m}$有最大值$\frac{2}{5}$。
4. 分析其余选项：
当$n＜0$时，$\frac{n}{m}$为负数，小于$\frac{2}{5}$，因此$\frac{n}{m}$无最小值，B错误；
对于$\frac{m}{n}$，当$n＞0$时可得$\frac{m}{n} ≥ \frac{5}{2}$，当$n＜0$时不等号方向改变，可得$\frac{m}{n} ≤ \frac{5}{2}$，$\frac{m}{n}$可取到负数，无固定最值，C、D错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数点坐标特征，不等式的性质，代数式最值判断
【点评】
本题将一次函数与不等式结合考查，解题核心是先通过一次函数解析式消元，推导参数的取值范围，再结合不等式的性质得到比值的范围，解题时要注意不等式两边乘除负数时不等号方向会改变，避免漏判情况导致错误。
【难度系数】
0.6

2. 若关于$x$的方程$(x - 2) + 3k = \frac{x + k}{3}$的根是负数，则$k$的取值范围是（）

A.$k ＞ \frac{3}{4}$
B.$k ≥ \frac{3}{4}$
C.$k ＜ \frac{3}{4}$
D.$k ≤ \frac{3}{4}$

2.A

【分析】
要解决这个问题，我们可以分两步思考：第一步，把k当作常数，解关于x的一元一次方程，用含k的代数式表示出x的值；第二步，根据“方程的根是负数”即x＜0，列出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
首先求解关于x的方程$(x - 2) + 3k = \frac{x + k}{3}$：
1. 去分母，方程两边同时乘3，得：$3(x-2) + 9k = x + k$
2. 去括号，得：$3x - 6 + 9k = x + k$
3. 移项，将含x的项移到左边，常数项移到右边，得：$3x - x = k + 6 - 9k$
4. 合并同类项，得：$2x = 6 - 8k$
5. 系数化为1，得：$x = 3 - 4k$
已知方程的根是负数，即$x ＜ 0$，代入得：
$3 - 4k ＜ 0$
移项得：$-4k ＜ -3$
不等式两边同时除以-4，不等号方向改变，解得：$k ＞ \frac{3}{4}$
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法，方程的根的定义
【点评】
本题是方程与不等式的综合基础题，解题关键是先把参数当作已知数求出方程的根，再结合根的限制条件列不等式求解，需要注意解不等式时两边同时除以负数，要改变不等号的方向，这是本题的常见易错点。
【难度系数】
0.7

3.有下列各数:①$-3$；②$-2$；③$0$；④$5$.其中能使不等式$|x-1| ＞ 3$成立的为 ()

A.①②③
B.①③
C.①④
D.②③④

3.C

【分析】
解这道题可以采用两种思路：第一种是先求出不等式$|x-1|＞3$的解集，再判断给出的4个数是否在解集范围内；第二种是将每个数分别代入不等式左边计算，验证结果是否大于3，两种方法都简单易懂，不容易出错。解题时要注意不等式是严格大于3，等于3的情况不满足要求。
【解析】
方法一：先求解不等式
根据绝对值的性质：若$|a|＞b$（$b＞0$），则$a＞b$或$a＜-b$，可得：
$x-1＞3$ 或 $x-1＜-3$
解$x-1＞3$，得$x＞4$；
解$x-1＜-3$，得$x＜-2$；
因此不等式的解集为$x＞4$或$x＜-2$。
逐一验证各数：
①$-3＜-2$，满足要求；②$-2=-2$，不满足；③$0$在$-2$和$4$之间，不满足；④$5＞4$，满足要求。
符合条件的是①和④。
方法二：逐一代入验证
①当$x=-3$时，$|x-1|=|-3-1|=4＞3$，不等式成立；
②当$x=-2$时，$|x-1|=|-2-1|=3$，不满足大于3，不等式不成立；
③当$x=0$时，$|x-1|=|0-1|=1＜3$，不等式不成立；
④当$x=5$时，$|x-1|=|5-1|=4＞3$，不等式成立。
因此能使不等式成立的是①和④，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；解绝对值不等式；不等式验证
【点评】
本题是绝对值不等式的基础应用题，两种解题方法都适用，代入验证法对基础较弱的同学更友好，解题时需注意区分“$＞$”和“$≥$”的要求，避免把等于3的情况误判为成立。
【难度系数】
0.8

4. 小唯准备用204元班费买小风扇和水杯，已知小风扇每个30元，水杯每个22元，她买了3个水杯。如果设小唯还可以买x个小风扇，那么可列不等式为（）

A.$3×22 + 30x ＜ 204$
B.$3×30 + 22x ≤ 204$
C.$3×30 + 22x ＜ 204$
D.$3×22 + 30x ≤ 204$

4.D

【分析】
解题时首先要明确总花费不能超过班费总额204元，先分别计算水杯和小风扇的总费用：①水杯买了3个，每个22元，先算水杯总花费；②小风扇买x个，每个30元，再算小风扇总花费。两者相加的总花费最多等于204元（可以刚好花完班费），因此不等号用“≤”，同时要注意不要搞混两种商品的单价和数量的对应关系，逐一排除错误选项即可。
【解析】
首先计算水杯的总费用：已知水杯单价22元，买了3个，总费用为$3×22$元；
再计算小风扇的总费用：已知小风扇单价30元，买x个，总费用为$30x$元；
因为班费总额为204元，总花费不能超过204元（可刚好花完），因此总费用满足：
$3×22 + 30x ≤ 204$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元一次不等式实际应用
2. 列不等式
3. 总价计算
【点评】
本题是不等式实际应用的基础题型，解题的核心是找准两个关键：一是不同商品的单价与数量的对应关系，二是明确“总花费不超过总金额”对应的不等号为“≤”，避免混淆不等号或对错单价、数量导致出错。
【难度系数】
0.8

二、填空题
1. 不等式$-3≤ x≤ 3.7$的全部整数解的和是。

1.0

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确解题步骤：第一步先找出满足不等式$-3≤x≤3.7$的所有整数，也就是既大于等于-3、又小于等于3.7的整数；第二步将找出的所有整数相加，即可得到最终结果。找整数解时要注意左端点-3是包含在内的，右端点3.7的整数部分是3，所以最大的整数解是3。
【解析】
第一步：确定不等式$-3≤x≤3.7$的全部整数解
符合取值范围的整数有：$-3、-2、-1、0、1、2、3$
第二步：计算上述整数的和
$\begin{aligned}&(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2+3\\=&[(-3)+3]+[(-2)+2]+[(-1)+1]+0\\=&0+0+0+0\\=&0\end{aligned}$
【答案】
0
【知识点】
不等式的整数解、有理数加法运算
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是准确枚举符合不等式范围的全部整数，注意不要遗漏端点的-3，也不要误将大于3.7的4纳入整数解，求和时利用互为相反数的两数和为0的性质可简化计算。
【难度系数】
0.9

2. 若方程$(m-2)x=3$有解$x=\dfrac{3}{m-2}$，则不等式$(m-2)x＞3$的解为。

2. 当$m ＞ 2$时,$x ＞ \dfrac{3}{m-2}$当$m ＜ 2$时,$x ＜ \dfrac{3}{m-2}$

【分析】
首先根据方程有解$x=\dfrac{3}{m-2}$，可推出分母$m-2≠0$，即$m≠2$。接下来解含参数的一元一次不等式时，要依据不等式的基本性质：不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘（或除以）同一个负数，不等号方向要改变，因此需要分$m-2＞0$和$m-2＜0$两种情况分类讨论求解。
【解析】
解：$\because$方程$(m-2)x=3$有解$x=\dfrac{3}{m-2}$
$\therefore m-2≠0$，即$m≠2$
对不等式$(m-2)x＞3$分两种情况讨论：
① 当$m-2＞0$，即$m＞2$时，不等式两边同时除以$m-2$，不等号方向不变，可得$x＞\dfrac{3}{m-2}$；
② 当$m-2＜0$，即$m＜2$时，不等式两边同时除以$m-2$，不等号方向改变，可得$x＜\dfrac{3}{m-2}$。
【答案】
当$m ＞ 2$时,$x ＞ \dfrac{3}{m-2}$；当$m ＜ 2$时,$x ＜ \dfrac{3}{m-2}$
【知识点】
不等式的基本性质、含参一元一次不等式求解、分式有意义的条件
【点评】
本题核心考查含参数一元一次不等式的解法，解题关键是要对未知数系数的正负性进行分类讨论，易错点是忽略系数为负的情况，未调整不等号方向导致错解。
【难度系数】
0.7

3. 在平面直角坐标系xOy中,点A(a,3)(a≠0),AB⊥x轴于点B,点P(0,t)是y轴负半轴上一动点,连接AP交x轴于点Q.若三角形OPQ的面积大于三角形ABQ的面积,则t的取值范围是.

3. $t ＜ -3$

【分析】
解题时先根据已知条件确定各点坐标，首先由AB⊥x轴得到点B的坐标，再用待定系数法求出直线AP的解析式，进而得到AP与x轴交点Q的坐标；接着分别表示出△OPQ和△ABQ的面积，根据面积大小关系列出不等式，结合t在y轴负半轴的限制求解即可。
【解析】
1. 确定点B坐标：
已知点A(a,3)，AB⊥x轴于点B，因此点B的横坐标与A相同，纵坐标为0，即$B(a,0)$。
2. 求直线AP的解析式：
设直线AP的一次函数表达式为$y=kx+b$，将$A(a,3)$、$P(0,t)$代入：
当$x=0$时，$y=t$，可得$b=t$；
将$A(a,3)$代入得$3=ka + t$，解得$k=\frac{3-t}{a}$，因此直线AP的解析式为$y=\frac{3-t}{a}x + t$。
3. 求交点Q的坐标：
Q是直线AP与x轴的交点，令$y=0$，代入解析式得：
$0=\frac{3-t}{a}x + t$，解得$x=-\frac{at}{3-t}$，即Q点坐标为$(-\frac{at}{3-t},0)$。
4. 利用面积关系列不等式求解：
△OPQ是直角三角形，直角边分别为$|OQ|$、$|OP|$，面积$S_{△ OPQ}=\frac{1}{2}×|OQ|×|OP|$；
△ABQ是直角三角形，直角边分别为$AB=3$、$|BQ|$，面积$S_{△ ABQ}=\frac{1}{2}×3×|BQ|$。
由$S_{△ OPQ}＞S_{△ ABQ}$，代入坐标化简后可得$t^2＞9$，即$|t|＞3$。
又因为点P在y轴负半轴，$t＜0$，因此$t＜-3$。
【答案】
$t ＜ -3$
【知识点】
一次函数解析式求解；三角形面积计算；解不等式
【点评】
本题综合考查了坐标与图形的性质、一次函数的应用以及不等式的求解，解题的关键是正确求出直线与x轴的交点坐标，结合面积关系建立不等式，同时要注意题目给出的动点的位置限制，避免多解。
【难度系数】
0.6