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4. 如果$|-3(x-4)| = -3(x-4)$，则x的取值范围是
$x≤4$
.答案
4. $x≤4$
解析
【分析】
首先回忆绝对值的性质：绝对值的结果是非负数，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数是非负数，即满足$\vert a\vert=a$时，$a≥0$。观察题目给出的等式，我们可以把$-3(x-4)$看作整体$a$，代入上述性质得到关于$x$的一元一次不等式，解不等式即可求出$x$的取值范围，解不等式时注意两边同时除以负数要改变不等号方向。
【解析】
根据绝对值的性质：若$\vert a\vert=a$，则$a≥0$。
本题中$a=-3(x-4)$，因此可得不等式：
$-3(x-4) ≥ 0$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：
$x-4 ≤ 0$
移项得：
$x ≤ 4$
【答案】
$x≤4$
【知识点】
绝对值的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握绝对值的非负性，明确绝对值等于它本身的数是非负数，求解一元一次不等式时要注意系数化为1时，若系数为负，不等号方向需要改变，避免漏写等号或不等号方向出错。
【难度系数】
0.75
首先回忆绝对值的性质：绝对值的结果是非负数，若一个数的绝对值等于它本身，则这个数是非负数，即满足$\vert a\vert=a$时，$a≥0$。观察题目给出的等式，我们可以把$-3(x-4)$看作整体$a$，代入上述性质得到关于$x$的一元一次不等式，解不等式即可求出$x$的取值范围，解不等式时注意两边同时除以负数要改变不等号方向。
【解析】
根据绝对值的性质：若$\vert a\vert=a$，则$a≥0$。
本题中$a=-3(x-4)$，因此可得不等式：
$-3(x-4) ≥ 0$
不等式两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：
$x-4 ≤ 0$
移项得：
$x ≤ 4$
【答案】
$x≤4$
【知识点】
绝对值的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握绝对值的非负性，明确绝对值等于它本身的数是非负数，求解一元一次不等式时要注意系数化为1时，若系数为负，不等号方向需要改变，避免漏写等号或不等号方向出错。
【难度系数】
0.75
5.要使代数式$\frac{3(x-2)}{2}$的值大于代数式$\frac{2}{3}(x-1)$的值，则x的最小整数值是
3
.答案
5.3
解析
【分析】
首先根据题目中两个代数式的大小关系，列出一元一次不等式；再按照解一元一次不等式的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求出不等式的解集；最后在解集范围内找出符合要求的最小整数值即可。
【解析】
根据题意列不等式：
$\frac{3(x-2)}{2}＞\frac{2}{3}(x-1)$
去分母（两边同时乘6，不等号方向不变）：
$9(x-2)＞4(x-1)$
去括号：
$9x-18＞4x-4$
移项：
$9x-4x＞-4+18$
合并同类项：
$5x＞14$
系数化为1：
$x＞\frac{14}{5}=2.8$
大于2.8的最小整数是3，因此x的最小整数值为3。
【答案】
3
【知识点】
列一元一次不等式；解一元一次不等式；不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确将文字表述的大小关系转化为不等式，求解过程中注意去分母、移项的运算规则，避免符号出错，确定整数解时要结合解集范围准确判断。
【难度系数】
0.7
首先根据题目中两个代数式的大小关系，列出一元一次不等式；再按照解一元一次不等式的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求出不等式的解集；最后在解集范围内找出符合要求的最小整数值即可。
【解析】
根据题意列不等式：
$\frac{3(x-2)}{2}＞\frac{2}{3}(x-1)$
去分母（两边同时乘6，不等号方向不变）：
$9(x-2)＞4(x-1)$
去括号：
$9x-18＞4x-4$
移项：
$9x-4x＞-4+18$
合并同类项：
$5x＞14$
系数化为1：
$x＞\frac{14}{5}=2.8$
大于2.8的最小整数是3，因此x的最小整数值为3。
【答案】
3
【知识点】
列一元一次不等式；解一元一次不等式；不等式的整数解
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确将文字表述的大小关系转化为不等式，求解过程中注意去分母、移项的运算规则，避免符号出错，确定整数解时要结合解集范围准确判断。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 解不等式 $ m(x - m) ＜ x - 1 $，其中 $ m $ 是常数。
1. 解不等式 $ m(x - m) ＜ x - 1 $，其中 $ m $ 是常数。
答案
1. 当$m = 1$时,无解;当$m ＞ 1$时,$x ＜ m + 1$;当$m ＜ 1$时,$x ＞ m + 1$
解析
【分析】
本题是含参数的一元一次不等式，解题时先将不等式化简为$ax ＜ b$的标准形式，再根据$x$的系数的取值情况分类讨论：首先要考虑系数是否为0（此时需判断不等式是否成立），再考虑系数正负，因为不等式两边同时除以负数时不等号方向要改变，除以正数时方向不变，分三种情况求解即可。
【解析】
解：对不等式$m(x - m) ＜ x - 1$进行变形：
1. 去括号，得：$mx - m^2 ＜ x - 1$
2. 移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，得：$mx - x ＜ m^2 - 1$
3. 合并同类项，得：$(m - 1)x ＜ m^2 - 1$
接下来分三种情况讨论：
① 当$m - 1 = 0$，即$m=1$时，不等式变为$0· x ＜ 1^2 - 1$，也就是$0 ＜ 0$，显然不成立，此时不等式无解；
② 当$m - 1 ＞ 0$，即$m＞1$时，不等式两边同时除以正数$(m-1)$，不等号方向不变，化简得$x ＜ m + 1$；
③ 当$m - 1 ＜ 0$，即$m＜1$时，不等式两边同时除以负数$(m-1)$，不等号方向改变，化简得$x ＞ m + 1$。
【答案】
当$m = 1$时,无解;当$m ＞ 1$时,$x ＜ m + 1$;当$m ＜ 1$时,$x ＞ m + 1$
【知识点】
含参一元一次不等式求解，不等式的基本性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易遗漏参数的分类情况，尤其是忽略系数为0的特殊情况，同时要注意不等式两边同除以负数时不等号方向需要改变，熟练掌握不等式的性质和分类讨论的逻辑是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
本题是含参数的一元一次不等式，解题时先将不等式化简为$ax ＜ b$的标准形式，再根据$x$的系数的取值情况分类讨论：首先要考虑系数是否为0（此时需判断不等式是否成立），再考虑系数正负，因为不等式两边同时除以负数时不等号方向要改变，除以正数时方向不变，分三种情况求解即可。
【解析】
解：对不等式$m(x - m) ＜ x - 1$进行变形：
1. 去括号，得：$mx - m^2 ＜ x - 1$
2. 移项，将含$x$的项移到左边，常数项移到右边，得：$mx - x ＜ m^2 - 1$
3. 合并同类项，得：$(m - 1)x ＜ m^2 - 1$
接下来分三种情况讨论：
① 当$m - 1 = 0$，即$m=1$时，不等式变为$0· x ＜ 1^2 - 1$，也就是$0 ＜ 0$，显然不成立，此时不等式无解；
② 当$m - 1 ＞ 0$，即$m＞1$时，不等式两边同时除以正数$(m-1)$，不等号方向不变，化简得$x ＜ m + 1$；
③ 当$m - 1 ＜ 0$，即$m＜1$时，不等式两边同时除以负数$(m-1)$，不等号方向改变，化简得$x ＞ m + 1$。
【答案】
当$m = 1$时,无解;当$m ＞ 1$时,$x ＜ m + 1$;当$m ＜ 1$时,$x ＞ m + 1$
【知识点】
含参一元一次不等式求解，不等式的基本性质，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易遗漏参数的分类情况，尤其是忽略系数为0的特殊情况，同时要注意不等式两边同除以负数时不等号方向需要改变，熟练掌握不等式的性质和分类讨论的逻辑是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.6
2.如图,点A,B均在数轴上,点B在点A的右侧,点A对应的数字是-2,点B对应的数字是m,且AB=10.
(1)求m的值;
(2)一个光点从点A出发,沿数轴向右运动到点C时,到点A,B的距离之和大于30个单位长度,求此时点C对应的数n的最小整数值.
(1)求m的值;
(2)一个光点从点A出发,沿数轴向右运动到点C时,到点A,B的距离之和大于30个单位长度,求此时点C对应的数n的最小整数值.
答案
2. (1) $m = 8$ (2)19
解析
【分析】
(1) 求解m的值时，可利用数轴两点距离规律：数轴上右侧点对应的数减去左侧点对应的数等于两点间的距离。已知A对应-2，B在A右侧，AB长度为10，代入规律列方程即可求出m。
(2) 求点C对应n的最小整数值时，首先明确光点向右运动，因此n≥-2；先分析n在A、B之间的情况：此时AC+BC的和就是AB的长度10，小于30，不符合要求，因此n一定在B的右侧，再根据“距离和大于30”列不等式，解不等式后取最小整数即可。
【解析】
(1) 因为点B在点A右侧，数轴两点距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，因此：
$AB = m - (-2) = 10$
即$m+2=10$，解得$m=8$。
(2) 设点C对应的数为n，光点从A向右运动，因此$n≥-2$：
① 当$-2≤ n≤8$时，$AC+BC=AB=10$，$10＜30$，不符合距离和大于30的要求；
② 当$n＞8$时，$AC = n - (-2) = n+2$，$BC = n - 8$，
根据题意列不等式：$(n+2)+(n-8) ＞ 30$
化简得：$2n - 6 ＞ 30$
移项得：$2n ＞ 36$
解得：$n＞18$
大于18的最小整数是19，因此n的最小整数值为19。
【答案】
(1) $m=8$
(2) $19$
【知识点】
数轴两点距离计算；一元一次不等式的应用；数轴动点问题
【点评】
本题是数轴基础综合题型，解题的核心是掌握数轴两点距离的计算方法，对动点的位置分类讨论排除不符合条件的情况，再结合不等式求解，能有效锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.7
(1) 求解m的值时，可利用数轴两点距离规律：数轴上右侧点对应的数减去左侧点对应的数等于两点间的距离。已知A对应-2，B在A右侧，AB长度为10，代入规律列方程即可求出m。
(2) 求点C对应n的最小整数值时，首先明确光点向右运动，因此n≥-2；先分析n在A、B之间的情况：此时AC+BC的和就是AB的长度10，小于30，不符合要求，因此n一定在B的右侧，再根据“距离和大于30”列不等式，解不等式后取最小整数即可。
【解析】
(1) 因为点B在点A右侧，数轴两点距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数，因此：
$AB = m - (-2) = 10$
即$m+2=10$，解得$m=8$。
(2) 设点C对应的数为n，光点从A向右运动，因此$n≥-2$：
① 当$-2≤ n≤8$时，$AC+BC=AB=10$，$10＜30$，不符合距离和大于30的要求；
② 当$n＞8$时，$AC = n - (-2) = n+2$，$BC = n - 8$，
根据题意列不等式：$(n+2)+(n-8) ＞ 30$
化简得：$2n - 6 ＞ 30$
移项得：$2n ＞ 36$
解得：$n＞18$
大于18的最小整数是19，因此n的最小整数值为19。
【答案】
(1) $m=8$
(2) $19$
【知识点】
数轴两点距离计算；一元一次不等式的应用；数轴动点问题
【点评】
本题是数轴基础综合题型，解题的核心是掌握数轴两点距离的计算方法，对动点的位置分类讨论排除不符合条件的情况，再结合不等式求解，能有效锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.7
