1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A - ∠ B=10°$，则$∠ A$的度数为（）

A.$50°$
B.$60°$
C.$70°$
D.$80°$

1.A

【分析】
本题是直角三角形的角度计算问题，解题思路可分为两步：首先回忆直角三角形的核心性质，直角三角形的两个锐角之和为90°，由此得到∠A与∠B的和的关系；再结合题目给出的∠A与∠B的差的条件，联立两个等量关系，就可以通过和差运算或解方程组求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴$∠ A + ∠ B = 90°$（直角三角形两锐角互余）
又
∵$∠ A - ∠ B=10°$
将两个等式左右两边分别相加，可得：
$2∠ A = 90° + 10° = 100°$
解得$∠ A = 50°$
【答案】
A
【知识点】
1.直角三角形两锐角互余
2.二元一次方程组的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查直角三角形的基本性质，结合题目给出的角度差条件，通过简单的运算即可求解，熟练掌握基础几何性质是解这类题的核心。
【难度系数】
0.9

2. 如图,在△ABO 和△DCO 中,AB⊥BO,CD⊥CO,AO=DO,若用“HL”判定 Rt△ABO≌Rt△DCO,则需要添加的条件是 ()

A.AB=DC
B.∠A=∠D
C.∠AOB=∠DOC
D.OB=OD

第2题图 第3题图 第4题图 第5题图

2.A

【分析】
首先回忆“HL”判定直角三角形全等的适用条件：仅适用于直角三角形，需满足两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等。先梳理题干已知条件：△ABO和△DCO均为直角三角形，且已经给出斜边AO=DO，因此要使用HL判定全等，只需要再补充一组直角边对应相等的条件，再逐一判断选项是否符合要求即可。
【解析】
∵AB⊥BO，CD⊥CO，
∴∠B=∠C=90°，即△ABO和△DCO都是直角三角形。
根据“HL”判定定理，两个直角三角形全等需要满足斜边和一条直角边对应相等，已知斜边AO=DO，因此只需添加一组直角边对应相等：要么AB=DC，要么OB=OC。
逐一分析选项：
A选项：AB=DC，是一组直角边对应相等，结合已知斜边AO=DO，可通过HL判定Rt△ABO≌Rt△DCO，符合要求；
B选项：∠A=∠D，结合∠B=∠C、AO=DO，可通过AAS判定全等，不属于HL判定，不符合要求；
C选项：∠AOB=∠DOC，结合∠B=∠C、AO=DO，可通过AAS判定全等，不属于HL判定，不符合要求；
D选项：OB是Rt△ABO的直角边，OD是Rt△DCO的斜边，二者不是对应边，无法通过HL判定全等，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
HL判定定理；全等三角形的判定
【点评】
本题考查直角三角形全等的HL判定，解题时要注意HL是直角三角形特有的判定方法，必须满足斜边和一条直角边对应相等的要求，注意和一般三角形全等的判定方法区分，避免混淆判定依据。
【难度系数】
0.8

3.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,DE垂直平分AB交BC于点D,若$△ ACD$的周长为50 cm,则$AC+BC=$ ()

A.25 cm
B.45 cm
C.50 cm
D.55 cm

3.C

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。首先明确△ACD的周长由AC、CD、AD三条线段组成，我们需要将该周长和所求的AC+BC建立联系。已知DE是AB的垂直平分线，可推出AD=BD，将△ACD周长中的AD替换为BD后，周长就转化为AC+CD+BD，而CD与BD的和恰好是BC，因此可直接得到AC+BC与△ACD周长的等量关系，进而求出结果。
【解析】
解：
∵DE垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质可得：AD=BD。
已知△ACD的周长为$AC + CD + AD = 50\ \mathrm{cm}$，
将AD替换为BD，可得：$AC + CD + BD = 50\ \mathrm{cm}$，
又
∵$CD + BD = BC$，
∴$AC + BC = 50\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题重点考查线段垂直平分线性质的应用，解题核心是通过等量代换将三角形周长转化为所求的两条线段的和，解题思路直接，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8

4.如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$,$∠ A = 40°$,$DE$是$AB$的垂直平分线,分别交$AB$,$AC$于点$D$,$E$,则$∠ EBC$的度数为$\quad (\quad)$

A.$40°$
B.$35°$
C.$32°$
D.$30°$

4.D

【分析】
解题时首先结合已知条件AB=AC，利用等腰三角形两底角相等的性质，先算出底角∠ABC的度数；再根据DE是AB的垂直平分线，回忆垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，得到EA=EB，进而推出∠ABE=∠A；最后用∠ABC减去∠ABE即可求出∠EBC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=40°，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C，
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ ABC=(180°-∠ A)÷2=(180°-40°)÷2=70°$，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∴$∠ ABE=∠ A=40°$，
∴$∠ EBC=∠ ABC-∠ ABE=70°-40°=30°$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是将等腰三角形性质和线段垂直平分线性质结合运用，掌握基础几何性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

5.如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB于D，PD=2，则点P到OA的距离是（）

A.4
B.3
C.2
D.1

5.C

【分析】
首先观察题目条件，出现了角平分线OC，以及角平分线上的点P到角的一边OB的垂线段PD，要求点P到角另一边OA的距离。此时应联想到角平分线的核心性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们只需验证该性质的适用条件，即可直接推出点P到OA的距离和PD相等，快速得到结果。
【解析】
过点P作PE⊥OA，垂足为E。
∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得PE = PD。
已知PD=2，因此PE=2，即点P到OA的距离为2。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是熟练掌握角平分线的性质，无需复杂计算即可直接得出答案。
【难度系数】
0.9

6. 如图,为了促进旅游发展,某村要在三条公路围成的一块三角形平地(记作$△ ABC$)上修建一个度假村。要使这个度假村到三条公路的距离相等,则度假村应建在$△ ABC$的（）

A.三条中线的交点处
B.三条角平分线的交点处
C.三条高线的交点处
D.以上都不对

6.B

【分析】
要解决这道题，首先明确题目核心要求：度假村到三条公路（即△ABC的三边）的距离相等。首先回忆相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。由此推导，要到两条边距离相等，点就在这两条边夹角的角平分线上，那么到三条边都相等的点，就是三个内角角平分线的交点。同时区分三角形其他特殊线交点的性质：中线交点（重心）、高线交点（垂心）都不满足到三边距离相等的要求，即可确定答案。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等。
1. 若点到△ABC的AB、AC边距离相等，则该点在∠BAC的角平分线上；
2. 若点到△ABC的AB、BC边距离相等，则该点在∠ABC的角平分线上；
3. 上述两条角平分线的交点，同时也在∠ACB的角平分线上，该点到△ABC三边的距离均相等，符合度假村的选址要求。
选项A中三条中线的交点是重心，性质为分中线长度为2:1，与到三边距离相等无关；选项C中三条高线的交点是垂心，也不满足到三边距离相等的要求，因此排除A、C、D。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形特殊线段交点的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形不同特殊线段交点的性质，牢记角平分线的性质即可快速解题，这类题目也是几何中选址类问题的常见考法。
【难度系数】
0.8