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二、填空题
7. 已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和$2\sqrt{2}$,则其斜边的长为
7. 已知一个直角三角形两直角边的长分别为1和$2\sqrt{2}$,则其斜边的长为
3
。答案
7.3
解析
【分析】
本题是已知直角三角形的两条直角边求斜边，解题核心是运用勾股定理。思考步骤：首先回忆勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；接着将已知的两条直角边的长度代入公式，先计算两条直角边的平方，求和后再开算术平方根（因为边长为正数，所以只取正根），就能得到斜边的长度。
【解析】
解：设该直角三角形的斜边长为$ c $，两条直角边分别为$ a=1 $，$ b=2\sqrt{2} $。
根据勾股定理可得：
$ c^2 = a^2 + b^2 $
代入数值计算：
$ c^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 4×2 = 1 + 8 = 9 $
因为三角形边长为正数，所以$ c = \sqrt{9} = 3 $。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础题，直接考查勾股定理的应用，计算时注意正确计算含二次根式的平方，避免运算错误即可。
【难度系数】
0.9
本题是已知直角三角形的两条直角边求斜边，解题核心是运用勾股定理。思考步骤：首先回忆勾股定理的内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；接着将已知的两条直角边的长度代入公式，先计算两条直角边的平方，求和后再开算术平方根（因为边长为正数，所以只取正根），就能得到斜边的长度。
【解析】
解：设该直角三角形的斜边长为$ c $，两条直角边分别为$ a=1 $，$ b=2\sqrt{2} $。
根据勾股定理可得：
$ c^2 = a^2 + b^2 $
代入数值计算：
$ c^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 4×2 = 1 + 8 = 9 $
因为三角形边长为正数，所以$ c = \sqrt{9} = 3 $。
【答案】
3
【知识点】
勾股定理；二次根式的运算
【点评】
本题属于基础题，直接考查勾股定理的应用，计算时注意正确计算含二次根式的平方，避免运算错误即可。
【难度系数】
0.9
8. 如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的高,E是AD上一点,且$DE = DC,AC = BE$,若$BD = 4$,则$AD =$
4
。答案
8.4
解析
【分析】
首先由AD是BC边上的高，可得∠BDE和∠ADC都是直角，再结合已知条件DE=DC、AC=BE，可判定两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等的性质，就能得到AD和已知线段BD的等量关系，代入数值即可求出AD的长度。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中：
$\begin{cases} BE=AC \\ DE=DC \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴AD=BD，
又
∵BD=4，
∴AD=4。
【答案】
4
【知识点】
HL判定全等、全等三角形的性质、三角形高的定义
【点评】
本题属于基础几何题，核心是通过已知条件找到全等的直角三角形，利用全等性质建立待求线段和已知线段的关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
首先由AD是BC边上的高，可得∠BDE和∠ADC都是直角，再结合已知条件DE=DC、AC=BE，可判定两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等的性质，就能得到AD和已知线段BD的等量关系，代入数值即可求出AD的长度。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴∠BDE=∠ADC=90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中：
$\begin{cases} BE=AC \\ DE=DC \end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴AD=BD，
又
∵BD=4，
∴AD=4。
【答案】
4
【知识点】
HL判定全等、全等三角形的性质、三角形高的定义
【点评】
本题属于基础几何题，核心是通过已知条件找到全等的直角三角形，利用全等性质建立待求线段和已知线段的关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
9.如图,在$△ ABC$中,AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点F,交AC于点G,连接AD,AF。若$BC=6$,$BD=2$,$∠ DAF=90°$,则$DF$的长为
$\frac{5}{2}$
。答案
9.$\frac{5}{2}$
解析
【分析】
解题时先利用线段垂直平分线的性质，得到AD=BD、AF=FC，将AD、AF的长度用已知量和未知的DF表示，再结合∠DAF=90°的条件，在直角三角形ADF中运用勾股定理建立关于DF的方程，解方程即可求出DF的长度。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点D在DE上
∴AD = BD = 2
∵FG是AC的垂直平分线，点F在FG上
∴AF = FC
∵BC = BD + DF + FC = 6
∴FC = BC - BD - DF = 6 - 2 - DF = 4 - DF，即AF = 4 - DF
又
∵∠DAF = 90°，
∴△ADF是直角三角形
根据勾股定理得：$AD^2 + AF^2 = DF^2$
代入数值：$2^2 + (4 - DF)^2 = DF^2$
展开计算：$4 + 16 - 8DF + DF^2 = DF^2$
化简得：$20 = 8DF$
解得：$DF = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过垂直平分线的性质完成线段的等量转换，再结合勾股定理构建方程求解，能很好地考查学生对基础几何性质的应用能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用线段垂直平分线的性质，得到AD=BD、AF=FC，将AD、AF的长度用已知量和未知的DF表示，再结合∠DAF=90°的条件，在直角三角形ADF中运用勾股定理建立关于DF的方程，解方程即可求出DF的长度。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，点D在DE上
∴AD = BD = 2
∵FG是AC的垂直平分线，点F在FG上
∴AF = FC
∵BC = BD + DF + FC = 6
∴FC = BC - BD - DF = 6 - 2 - DF = 4 - DF，即AF = 4 - DF
又
∵∠DAF = 90°，
∴△ADF是直角三角形
根据勾股定理得：$AD^2 + AF^2 = DF^2$
代入数值：$2^2 + (4 - DF)^2 = DF^2$
展开计算：$4 + 16 - 8DF + DF^2 = DF^2$
化简得：$20 = 8DF$
解得：$DF = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过垂直平分线的性质完成线段的等量转换，再结合勾股定理构建方程求解，能很好地考查学生对基础几何性质的应用能力和方程思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
10.如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点M，点M到BE的距离为4。若AB=7，BC=9，则四边形ABCM的面积为
32
。答案
10.32
解析
【分析】
遇到角平分线相关的求面积问题，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中M是两个外角∠DAC、∠ACE的角平分线交点，我们可以过M分别向AB、AC、BE所在直线作垂线，利用角平分线性质得到三条垂线段长度相等，已知M到BE的距离为4，可得三条高均为4。再将四边形ABCM的面积拆分为△ABM和△BCM的面积之和，两个三角形的高均为4，底分别为已知的AB和BC，代入三角形面积公式计算后求和即可。
【解析】
过点M作MF⊥AB，交BA的延长线于点F，作MG⊥AC于点G，作MH⊥BE于点H。
∵ AM平分∠DAC，MF⊥AD（BA的延长线），MG⊥AC
∴ MF = MG（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵ CM平分∠ACE，MG⊥AC，MH⊥CE（BE的延长线）
∴ MG = MH
∴ MF = MG = MH
已知点M到BE的距离MH=4，因此MF=MG=4。
四边形ABCM的面积可拆分为△ABM和△BCM的面积之和：
$\begin{aligned}S_{四边形ABCM}&=S_{△ ABM}+S_{△ BCM}\\&=\frac{1}{2}× AB× MF + \frac{1}{2}× BC× MH\\&=\frac{1}{2}×7×4 + \frac{1}{2}×9×4\\&=14 + 18\\&=32\end{aligned}$
【答案】
32
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，图形面积拆分
【点评】
本题是角平分线性质与面积计算结合的典型题型，解题核心是灵活运用角平分线的性质得到相等的高，再通过拆分不规则四边形为两个规则的三角形结合已知边长计算面积，遇到角平分线相关问题时，作垂线构造相等的高是常用解题技巧。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线相关的求面积问题，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中M是两个外角∠DAC、∠ACE的角平分线交点，我们可以过M分别向AB、AC、BE所在直线作垂线，利用角平分线性质得到三条垂线段长度相等，已知M到BE的距离为4，可得三条高均为4。再将四边形ABCM的面积拆分为△ABM和△BCM的面积之和，两个三角形的高均为4，底分别为已知的AB和BC，代入三角形面积公式计算后求和即可。
【解析】
过点M作MF⊥AB，交BA的延长线于点F，作MG⊥AC于点G，作MH⊥BE于点H。
∵ AM平分∠DAC，MF⊥AD（BA的延长线），MG⊥AC
∴ MF = MG（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∵ CM平分∠ACE，MG⊥AC，MH⊥CE（BE的延长线）
∴ MG = MH
∴ MF = MG = MH
已知点M到BE的距离MH=4，因此MF=MG=4。
四边形ABCM的面积可拆分为△ABM和△BCM的面积之和：
$\begin{aligned}S_{四边形ABCM}&=S_{△ ABM}+S_{△ BCM}\\&=\frac{1}{2}× AB× MF + \frac{1}{2}× BC× MH\\&=\frac{1}{2}×7×4 + \frac{1}{2}×9×4\\&=14 + 18\\&=32\end{aligned}$
【答案】
32
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，图形面积拆分
【点评】
本题是角平分线性质与面积计算结合的典型题型，解题核心是灵活运用角平分线的性质得到相等的高，再通过拆分不规则四边形为两个规则的三角形结合已知边长计算面积，遇到角平分线相关问题时，作垂线构造相等的高是常用解题技巧。
【难度系数】
0.6
三角形趣解距离问题
古时候,有两家人分别住在一个池塘的两端(A、B),他们想用绳子测量一下两家之间的距离,但绳子不够长。这时,一家的小孩想出了这样一个主意,先在地上取一个可以直接到达两家的一个点(C点),并用绳子连接两家与这个点,并延长同样长的一段。(如图)
这样,他测量一下另一端(线段DE)的距离,就是两家的距离了。同学们,你知道为什么吗?
【分析】 这个测量方法实际用到了全等三角形的知识,用绳子连接并延长同样长的距离的目的是构造全等三角形,两条边相等,中间是对顶角,根据SAS是全等的,而没法测量的两家距离就可以通过测量另一个三角形的对应边知道。根据全等三角形对应边相等,两个三角形是全等的。我们只需要测量能测量的下面这条线段就知道上面的长度了。也就是两家的距离了。
古时候,有两家人分别住在一个池塘的两端(A、B),他们想用绳子测量一下两家之间的距离,但绳子不够长。这时,一家的小孩想出了这样一个主意,先在地上取一个可以直接到达两家的一个点(C点),并用绳子连接两家与这个点,并延长同样长的一段。(如图)
这样,他测量一下另一端(线段DE)的距离,就是两家的距离了。同学们,你知道为什么吗?
【分析】 这个测量方法实际用到了全等三角形的知识,用绳子连接并延长同样长的距离的目的是构造全等三角形,两条边相等,中间是对顶角,根据SAS是全等的,而没法测量的两家距离就可以通过测量另一个三角形的对应边知道。根据全等三角形对应边相等,两个三角形是全等的。我们只需要测量能测量的下面这条线段就知道上面的长度了。也就是两家的距离了。
答案
证明：
由题意可得：$AC = DC$，$BC = EC$，
在$△ ABC$和$△ DEC$中，
$\{\begin{array}{l}AC = DC \\∠ ACB = ∠ DCE \\BC = EC\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DEC$（SAS）
$\therefore AB = DE$（全等三角形的对应边相等）
因此测量得到的线段$DE$的长度，就是A、B两家之间的距离。
由题意可得：$AC = DC$，$BC = EC$，
在$△ ABC$和$△ DEC$中，
$\{\begin{array}{l}AC = DC \\∠ ACB = ∠ DCE \\BC = EC\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DEC$（SAS）
$\therefore AB = DE$（全等三角形的对应边相等）
因此测量得到的线段$DE$的长度，就是A、B两家之间的距离。
解析
【分析】
要说明DE的长度等于A、B之间的距离，核心是证明AB=DE，我们可以通过证明AB、DE所在的三角形全等来推导。首先根据题中的操作，可得到AC=DC、BC=EC；同时∠ACB和∠DCE是对顶角，二者相等，满足全等三角形的SAS判定条件，可证△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等，就能得到AB=DE，因此测量DE的长度就能得到A、B两家的距离。
【解析】
证明：由题意可得：$AC = DC$，$BC = EC$，
在$△ ABC$和$△ DEC$中，
$\{\begin{array}{l}AC = DC \\∠ ACB = ∠ DCE \\BC = EC\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DEC$（SAS）
$\therefore AB = DE$（全等三角形的对应边相等）
因此测量得到的线段$DE$的长度，就是A、B两家之间的距离。
【答案】
线段DE的长度就是A、B两家之间的距离。
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形的性质、对顶角相等
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，通过构造全等三角形将无法直接测量的线段长度转化为便于测量的线段长度，充分体现了数学知识的实用性，解题的关键是准确找到三角形全等的判定条件。
【难度系数】
0.8
要说明DE的长度等于A、B之间的距离，核心是证明AB=DE，我们可以通过证明AB、DE所在的三角形全等来推导。首先根据题中的操作，可得到AC=DC、BC=EC；同时∠ACB和∠DCE是对顶角，二者相等，满足全等三角形的SAS判定条件，可证△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等，就能得到AB=DE，因此测量DE的长度就能得到A、B两家的距离。
【解析】
证明：由题意可得：$AC = DC$，$BC = EC$，
在$△ ABC$和$△ DEC$中，
$\{\begin{array}{l}AC = DC \\∠ ACB = ∠ DCE \\BC = EC\end{array} $
$\therefore △ ABC ≌ △ DEC$（SAS）
$\therefore AB = DE$（全等三角形的对应边相等）
因此测量得到的线段$DE$的长度，就是A、B两家之间的距离。
【答案】
线段DE的长度就是A、B两家之间的距离。
【知识点】
SAS判定全等、全等三角形的性质、对顶角相等
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，通过构造全等三角形将无法直接测量的线段长度转化为便于测量的线段长度，充分体现了数学知识的实用性，解题的关键是准确找到三角形全等的判定条件。
【难度系数】
0.8
