登录
1.如图所示,已知AD,AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高,如果AD=AF,AC=AE。
(1)求证:BC=BE;
(2)若∠DBF=∠BAC=30°,AC=2,求AD的长。
(1)求证:BC=BE;
(2)若∠DBF=∠BAC=30°,AC=2,求AD的长。
答案
1.(1)略
(2)$AD = \sqrt{2}$
(2)$AD = \sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 要证BC=BE，可通过线段和差推导：先利用HL证明Rt△ADC和Rt△AFE全等得到CD=EF，再证明Rt△ABD和Rt△ABF全等得到BD=BF，最后通过BD-CD=BF-EF即可得证。
(2) 先由全等三角形性质得AB平分∠DBF，求出∠ABC的度数，再结合三角形外角性质求出∠ACD的度数，最后在Rt△ADC中利用等腰直角三角形性质和勾股定理求AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD、AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，
∴∠D=∠F=90°，
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF\\AC=AE\end{array} $
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL），
∴$CD=EF$。
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF\\AB=AB\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL），
∴$BD=BF$。
∵$BD-CD=BF-EF$，
∴$BC=BE$。
(2) 解：
∵Rt△ABD≌Rt△ABF，
∴∠ABD=∠ABF，
∵∠DBF=30°，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ DBF=15°$，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴$∠ ACD=∠ ABD+∠ BAC=15°+30°=45°$，
在Rt△ADC中，∠D=90°，∠ACD=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，即$AD=CD$，
又
∵$AC=2$，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，
即$2AD^2=4$，解得$AD=\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根）。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $AD=\sqrt{2}$
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形性质，勾股定理
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是灵活运用HL证明直角三角形全等，结合三角形外角性质和特殊三角形的性质求解，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 要证BC=BE，可通过线段和差推导：先利用HL证明Rt△ADC和Rt△AFE全等得到CD=EF，再证明Rt△ABD和Rt△ABF全等得到BD=BF，最后通过BD-CD=BF-EF即可得证。
(2) 先由全等三角形性质得AB平分∠DBF，求出∠ABC的度数，再结合三角形外角性质求出∠ACD的度数，最后在Rt△ADC中利用等腰直角三角形性质和勾股定理求AD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AD、AF分别是钝角△ABC和钝角△ABE的高，
∴∠D=∠F=90°，
在Rt△ADC和Rt△AFE中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF\\AC=AE\end{array} $
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL），
∴$CD=EF$。
在Rt△ABD和Rt△ABF中，
$\{\begin{array}{l}AD=AF\\AB=AB\end{array} $
∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL），
∴$BD=BF$。
∵$BD-CD=BF-EF$，
∴$BC=BE$。
(2) 解：
∵Rt△ABD≌Rt△ABF，
∴∠ABD=∠ABF，
∵∠DBF=30°，
∴$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ DBF=15°$，
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴$∠ ACD=∠ ABD+∠ BAC=15°+30°=45°$，
在Rt△ADC中，∠D=90°，∠ACD=45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，即$AD=CD$，
又
∵$AC=2$，由勾股定理得$AD^2+CD^2=AC^2$，
即$2AD^2=4$，解得$AD=\sqrt{2}$（长度为正，舍去负根）。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $AD=\sqrt{2}$
【知识点】
直角三角形全等判定，全等三角形性质，勾股定理
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质的综合应用，解题关键是灵活运用HL证明直角三角形全等，结合三角形外角性质和特殊三角形的性质求解，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
2. 如图所示，$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，若点$P$从点$A$出发以每秒$1\ \mathrm{cm}$的速度向点$C$运动，设运动时间为$t$秒。
(1)若点$P$恰好在$∠ ABC$的平分线上，求出此时$t$的值；
(2)若点$P$使得$PB + PC = AC$，求出此时$t$的值。
(1)若点$P$恰好在$∠ ABC$的平分线上，求出此时$t$的值；
(2)若点$P$使得$PB + PC = AC$，求出此时$t$的值。
答案
2.(1)此时$t$的值为5。
(2)此时$t$的值为$\frac{25}{4}$。
(2)此时$t$的值为$\frac{25}{4}$。
解析
【分析】
首先利用勾股定理求出Rt△ABC中AC的长度，作为后续计算的基础。(1)问中，点P在∠ABC的平分线上，根据角平分线的性质，过P作AB的垂线可得点P到AB的距离等于PC的长度，再通过全等三角形求出AD的长度，最后在Rt△APD中利用勾股定理列方程求解t；(2)问中，先根据PB+PC=AC的关系转化得到PB与t的表达式，再在Rt△PBC中利用勾股定理列方程求解t即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{cm}$。
(1)过点P作$PD⊥ AB$于点D，
∵BP平分∠ABC，∠C=90°，$PD⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质得$PD=PC$。
已知$AP=t\ \mathrm{cm}$，则$PC=(8-t)\ \mathrm{cm}$，即$PD=(8-t)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△BPD和Rt△BPC中，$\begin{cases} BP=BP \\ PD=PC \end{cases}$，
∴$Rt△ BPD≌ Rt△ BPC(\mathrm{HL})$，
∴$BD=BC=6\ \mathrm{cm}$，
∴$AD=AB-BD=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
在Rt△APD中，由勾股定理得$AP^2=AD^2+PD^2$，
即$t^2=4^2+(8-t)^2$，
展开得$t^2=16+64-16t+t^2$，
化简得$16t=80$，解得$t=5$。
(2)
∵$PB+PC=AC$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，
∴$PB=8-PC$，
又
∵$PC=AC-AP=8-t$，
∴$PB=8-(8-t)=t\ \mathrm{cm}$。
在Rt△PBC中，∠C=90°，由勾股定理得$PB^2=PC^2+BC^2$，
即$t^2=(8-t)^2+6^2$，
展开得$t^2=64-16t+t^2+36$，
化简得$16t=100$，解得$t=\frac{25}{4}$。
【答案】
(1)$t$的值为5；(2)$t$的值为$\frac{25}{4}$
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查直角三角形相关性质的应用，解题的核心是结合几何性质建立关于运动时间t的方程，很好地体现了方程思想在几何动态计算中的应用。
【难度系数】
0.6
首先利用勾股定理求出Rt△ABC中AC的长度，作为后续计算的基础。(1)问中，点P在∠ABC的平分线上，根据角平分线的性质，过P作AB的垂线可得点P到AB的距离等于PC的长度，再通过全等三角形求出AD的长度，最后在Rt△APD中利用勾股定理列方程求解t；(2)问中，先根据PB+PC=AC的关系转化得到PB与t的表达式，再在Rt△PBC中利用勾股定理列方程求解t即可。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\ \mathrm{cm}$。
(1)过点P作$PD⊥ AB$于点D，
∵BP平分∠ABC，∠C=90°，$PD⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质得$PD=PC$。
已知$AP=t\ \mathrm{cm}$，则$PC=(8-t)\ \mathrm{cm}$，即$PD=(8-t)\ \mathrm{cm}$。
在Rt△BPD和Rt△BPC中，$\begin{cases} BP=BP \\ PD=PC \end{cases}$，
∴$Rt△ BPD≌ Rt△ BPC(\mathrm{HL})$，
∴$BD=BC=6\ \mathrm{cm}$，
∴$AD=AB-BD=10-6=4\ \mathrm{cm}$。
在Rt△APD中，由勾股定理得$AP^2=AD^2+PD^2$，
即$t^2=4^2+(8-t)^2$，
展开得$t^2=16+64-16t+t^2$，
化简得$16t=80$，解得$t=5$。
(2)
∵$PB+PC=AC$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，
∴$PB=8-PC$，
又
∵$PC=AC-AP=8-t$，
∴$PB=8-(8-t)=t\ \mathrm{cm}$。
在Rt△PBC中，∠C=90°，由勾股定理得$PB^2=PC^2+BC^2$，
即$t^2=(8-t)^2+6^2$，
展开得$t^2=64-16t+t^2+36$，
化简得$16t=100$，解得$t=\frac{25}{4}$。
【答案】
(1)$t$的值为5；(2)$t$的值为$\frac{25}{4}$
【知识点】
勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查直角三角形相关性质的应用，解题的核心是结合几何性质建立关于运动时间t的方程，很好地体现了方程思想在几何动态计算中的应用。
【难度系数】
0.6
