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3. 如图所示,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AD//BC,AB=BC,E是AB的中点,CE⊥BD。
(1)求证:AD=BE;
(2)求证:直线AC是线段ED的垂直平分线;
(3)△DBC是等腰三角形吗?请说明理由。
(1)求证:AD=BE;
(2)求证:直线AC是线段ED的垂直平分线;
(3)△DBC是等腰三角形吗?请说明理由。
答案
3.(1)证明:
∵ ∠ABC = 90°, BD ⊥ EC,
∴ ∠ECB + ∠DBC = 90°, ∠ABD + ∠DBC = 90°。
∴ ∠ECB = ∠ABD。
∵ AD//BC,
∴ ∠BAD + ∠ABC = 180°。
∴ ∠BAD = ∠CBE = 90°。又
∵ BA = CB,
∴ △BAD≌△CBE(ASA)。
∴ AD = BE。
(2)证明:设AC与ED交于点M,
∵ E是AB的中点,
∴ EB = EA,
∵ AD = BE,
∴ AE = AD。
∵ AB = BC,∠ABC = 90°,
∴ ∠BAC = ∠ACB = 45°,
∵ AD//BC,
∴ ∠DAC = ∠ACB = 45°,
∴ ∠BAC = ∠DAC,又
∵ AD = AE,
∴ AM ⊥ DE 且 EM = DM,即直线AC是线段ED的垂直平分线。
(3)△DBC是等腰三角形。理由:由(2)得 CD = CE,由(1)中△BAD≌△CBE得 BD = CE,
∴ CD = BD,
∴ △DBC是等腰三角形。
∵ ∠ABC = 90°, BD ⊥ EC,
∴ ∠ECB + ∠DBC = 90°, ∠ABD + ∠DBC = 90°。
∴ ∠ECB = ∠ABD。
∵ AD//BC,
∴ ∠BAD + ∠ABC = 180°。
∴ ∠BAD = ∠CBE = 90°。又
∵ BA = CB,
∴ △BAD≌△CBE(ASA)。
∴ AD = BE。
(2)证明:设AC与ED交于点M,
∵ E是AB的中点,
∴ EB = EA,
∵ AD = BE,
∴ AE = AD。
∵ AB = BC,∠ABC = 90°,
∴ ∠BAC = ∠ACB = 45°,
∵ AD//BC,
∴ ∠DAC = ∠ACB = 45°,
∴ ∠BAC = ∠DAC,又
∵ AD = AE,
∴ AM ⊥ DE 且 EM = DM,即直线AC是线段ED的垂直平分线。
(3)△DBC是等腰三角形。理由:由(2)得 CD = CE,由(1)中△BAD≌△CBE得 BD = CE,
∴ CD = BD,
∴ △DBC是等腰三角形。
解析
【分析】
(1)要证AD=BE，可通过证明△BAD与△CBE全等来推导：先利用垂直关系得同角的余角相等，推出一组对应角相等，再结合平行线性质得两个直角，结合已知AB=BC，用ASA判定全等即可得到对应边相等。
(2)要证AC是ED的垂直平分线，可利用等腰三角形三线合一的性质推导：先由E是AB中点和(1)的结论得AE=AD，再结合等腰直角△ABC的性质和平行线性质推出AC平分∠EAD，即可证得AC垂直且平分ED。
(3)判断△DBC是否为等腰三角形，只需证两条边相等：由(2)中垂直平分线的性质得CD=CE，结合(1)中全等的对应边相等得BD=CE，等量代换即可得到CD=BD，判定三角形形状。
【解析】
(1)证明：
∵ ∠ABC = 90°, BD ⊥ EC,
∴ ∠ECB + ∠DBC = 90°, ∠ABD + ∠DBC = 90°,
∴ ∠ECB = ∠ABD。
∵ AD//BC,
∴ ∠BAD + ∠ABC = 180°,
∴ ∠BAD = ∠CBE = 90°。
又
∵ BA = CB,
∴ △BAD≌△CBE(ASA),
∴ AD = BE。
(2)证明：设AC与ED交于点M,
∵ E是AB的中点,
∴ EB = EA,
∵ AD = BE,
∴ AE = AD。
∵ AB = BC,∠ABC = 90°,
∴ ∠BAC = ∠ACB = 45°,
∵ AD//BC,
∴ ∠DAC = ∠ACB = 45°,
∴ ∠BAC = ∠DAC。
又
∵ AD = AE,
∴ AM ⊥ DE 且 EM = DM,即直线AC是线段ED的垂直平分线。
(3)△DBC是等腰三角形，理由如下：
由(2)中AC垂直平分ED，得CD = CE；由(1)中△BAD≌△CBE，得BD = CE,
∴ CD = BD,
∴ △DBC是等腰三角形。
【答案】
(1)AD=BE，得证；
(2)直线AC是线段ED的垂直平分线，得证；
(3)△DBC是等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定
【点评】
本题为几何综合证明题，三个小问逐层递进，前一问结论可作为后一问的推理依据，解题时需精准梳理边、角的等量关系，灵活运用相关几何性质，能有效训练逻辑推导的严谨性。
【难度系数】
0.6
(1)要证AD=BE，可通过证明△BAD与△CBE全等来推导：先利用垂直关系得同角的余角相等，推出一组对应角相等，再结合平行线性质得两个直角，结合已知AB=BC，用ASA判定全等即可得到对应边相等。
(2)要证AC是ED的垂直平分线，可利用等腰三角形三线合一的性质推导：先由E是AB中点和(1)的结论得AE=AD，再结合等腰直角△ABC的性质和平行线性质推出AC平分∠EAD，即可证得AC垂直且平分ED。
(3)判断△DBC是否为等腰三角形，只需证两条边相等：由(2)中垂直平分线的性质得CD=CE，结合(1)中全等的对应边相等得BD=CE，等量代换即可得到CD=BD，判定三角形形状。
【解析】
(1)证明：
∵ ∠ABC = 90°, BD ⊥ EC,
∴ ∠ECB + ∠DBC = 90°, ∠ABD + ∠DBC = 90°,
∴ ∠ECB = ∠ABD。
∵ AD//BC,
∴ ∠BAD + ∠ABC = 180°,
∴ ∠BAD = ∠CBE = 90°。
又
∵ BA = CB,
∴ △BAD≌△CBE(ASA),
∴ AD = BE。
(2)证明：设AC与ED交于点M,
∵ E是AB的中点,
∴ EB = EA,
∵ AD = BE,
∴ AE = AD。
∵ AB = BC,∠ABC = 90°,
∴ ∠BAC = ∠ACB = 45°,
∵ AD//BC,
∴ ∠DAC = ∠ACB = 45°,
∴ ∠BAC = ∠DAC。
又
∵ AD = AE,
∴ AM ⊥ DE 且 EM = DM,即直线AC是线段ED的垂直平分线。
(3)△DBC是等腰三角形，理由如下：
由(2)中AC垂直平分ED，得CD = CE；由(1)中△BAD≌△CBE，得BD = CE,
∴ CD = BD,
∴ △DBC是等腰三角形。
【答案】
(1)AD=BE，得证；
(2)直线AC是线段ED的垂直平分线，得证；
(3)△DBC是等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定
【点评】
本题为几何综合证明题，三个小问逐层递进，前一问结论可作为后一问的推理依据，解题时需精准梳理边、角的等量关系，灵活运用相关几何性质，能有效训练逻辑推导的严谨性。
【难度系数】
0.6
4. 如图,在△ABC中,AB边的垂直平分线$l_1$交BC于点D,AC边的垂直平分线$l_2$交BC于点E,$l_1$与$l_2$相交于点P,连接AD,AE,PB,PC。
(1)判断点P是否在BC的垂直平分线上,并说明理由；
(2)若$∠ BAC=100°$,求$∠ DAE$的度数。
(1)判断点P是否在BC的垂直平分线上,并说明理由；
(2)若$∠ BAC=100°$,求$∠ DAE$的度数。
答案
4.解:(1)点P在BC的垂直平分线上,理由:如图,连接AP,
∵ $l_1$是AB边的垂直平分线,
∴ PA = PB,
∵ $l_2$是AC边的垂直平分线,
∴ PA = PC,
∴ PB = PC,
∴ 点P在BC的垂直平分线上。
(2)
∵ ∠BAC = 100°,
∴ ∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC = 180° - 100° = 80°,
∵ $l_1$是AB边的垂直平分线,$l_2$是AC边的垂直平分线,
∴ DA = DB,EA = EC,
∴ ∠BAD = ∠ABC,∠EAC = ∠ACB,
∴ ∠BAD + ∠EAC = 80°,
∴ ∠DAE = ∠BAC - (∠BAD + ∠EAC) = 100° - 80° = 20°。
解析
【分析】
(1) 要判断点P是否在BC的垂直平分线上，依据线段垂直平分线的判定定理，只需证明PB=PC即可。已知P是AB、AC垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此可连接AP，先得到PA=PB、PA=PC，等量代换得到PB=PC，即可得出结论。
(2) 要求∠DAE的度数，已知∠BAC=100°，可先根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的和；再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB、EA=EC，利用等腰三角形等边对等角的性质，得到∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，进而求出∠BAD+∠EAC的度数，最后用∠BAC减去这两个角的和即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1) 点P在BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接AP，
∵ $ l_1 $ 是AB边的垂直平分线，
∴ PA = PB，
∵ $ l_2 $ 是AC边的垂直平分线，
∴ PA = PC，
∴ PB = PC，
∴ 点P在BC的垂直平分线上。
(2)
∵ ∠BAC = 100°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = $ 180° - ∠BAC = 180° - 100° = 80° $，
∵ $ l_1 $ 是AB边的垂直平分线，$ l_2 $ 是AC边的垂直平分线，
∴ DA = DB，EA = EC，
∴ ∠BAD = ∠ABC，∠EAC = ∠ACB，
∴ ∠BAD + ∠EAC = $ 80° $，
∴ ∠DAE = $ ∠BAC - (∠BAD + ∠EAC) = 100° - 80° = 20° $。
【答案】
(1) 点P在BC的垂直平分线上；
(2) $ 20° $
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础类典型考题，主要考查线段垂直平分线的性质与判定的综合应用，同时涉及等腰三角形等边对等角的性质，解题关键是利用线段垂直平分线的性质得到相等的线段，再转化为角的关系进行推导计算。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断点P是否在BC的垂直平分线上，依据线段垂直平分线的判定定理，只需证明PB=PC即可。已知P是AB、AC垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此可连接AP，先得到PA=PB、PA=PC，等量代换得到PB=PC，即可得出结论。
(2) 要求∠DAE的度数，已知∠BAC=100°，可先根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的和；再根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB、EA=EC，利用等腰三角形等边对等角的性质，得到∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，进而求出∠BAD+∠EAC的度数，最后用∠BAC减去这两个角的和即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1) 点P在BC的垂直平分线上，理由如下：
如图，连接AP，
∵ $ l_1 $ 是AB边的垂直平分线，
∴ PA = PB，
∵ $ l_2 $ 是AC边的垂直平分线，
∴ PA = PC，
∴ PB = PC，
∴ 点P在BC的垂直平分线上。
(2)
∵ ∠BAC = 100°，
∴ ∠ABC + ∠ACB = $ 180° - ∠BAC = 180° - 100° = 80° $，
∵ $ l_1 $ 是AB边的垂直平分线，$ l_2 $ 是AC边的垂直平分线，
∴ DA = DB，EA = EC，
∴ ∠BAD = ∠ABC，∠EAC = ∠ACB，
∴ ∠BAD + ∠EAC = $ 80° $，
∴ ∠DAE = $ ∠BAC - (∠BAD + ∠EAC) = 100° - 80° = 20° $。
【答案】
(1) 点P在BC的垂直平分线上；
(2) $ 20° $
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础类典型考题，主要考查线段垂直平分线的性质与判定的综合应用，同时涉及等腰三角形等边对等角的性质，解题关键是利用线段垂直平分线的性质得到相等的线段，再转化为角的关系进行推导计算。
【难度系数】
0.7
