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一、选择题
1. 不等式$\dfrac{3 - x}{2} ＞ x$的解集为 （
A.$x ＜ 1$
B.$x ＜ -1$
C.$x ＞ 1$
D.$x ＞ -1$
1. 不等式$\dfrac{3 - x}{2} ＞ x$的解集为 （
A
）A.$x ＜ 1$
B.$x ＜ -1$
C.$x ＞ 1$
D.$x ＞ -1$
答案
1.A
解析
【分析】
本题考查一元一次不等式的求解，解题需遵循一元一次不等式的常规求解步骤：首先去分母消除分数形式，再通过移项将含未知数的项和常数项分别放在不等号两侧，合并同类项后将未知数的系数化为1即可得到解集，注意当未知数系数为负数时，系数化为1要改变不等号的方向。
【解析】
解不等式$\dfrac{3 - x}{2} ＞ x$：
1. 去分母：不等式两边同时乘2（2为正数，不等号方向不变），得$3 - x ＞ 2x$；
2. 移项：将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，移项要变号，得$-x - 2x ＞ -3$；
3. 合并同类项：得$-3x ＞ -3$；
4. 系数化为1：不等式两边同时除以$-3$（除数为负数，不等号方向改变），得$x ＜ 1$。
因此不等式的解集为$x ＜ 1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式的解法，不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查一元一次不等式的求解步骤，易错点为系数化为1时，忽略负系数需要改变不等号方向的规则，熟练掌握不等式的性质是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
本题考查一元一次不等式的求解，解题需遵循一元一次不等式的常规求解步骤：首先去分母消除分数形式，再通过移项将含未知数的项和常数项分别放在不等号两侧，合并同类项后将未知数的系数化为1即可得到解集，注意当未知数系数为负数时，系数化为1要改变不等号的方向。
【解析】
解不等式$\dfrac{3 - x}{2} ＞ x$：
1. 去分母：不等式两边同时乘2（2为正数，不等号方向不变），得$3 - x ＞ 2x$；
2. 移项：将含$x$的项移到不等号左侧，常数项移到右侧，移项要变号，得$-x - 2x ＞ -3$；
3. 合并同类项：得$-3x ＞ -3$；
4. 系数化为1：不等式两边同时除以$-3$（除数为负数，不等号方向改变），得$x ＜ 1$。
因此不等式的解集为$x ＜ 1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式的解法，不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查一元一次不等式的求解步骤，易错点为系数化为1时，忽略负系数需要改变不等号方向的规则，熟练掌握不等式的性质是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
2. 不等式组$\begin{cases}\dfrac{x - 1}{2} ≤ 1, \\ x - 2 ＜ 4(x + 1)\end{cases}$的正整数解有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.C
解析
【分析】要解决该问题，第一步需分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，第二步根据不等式组解集的确定规则找到两个解集的公共部分，第三步在公共解集中筛选出所有正整数，统计正整数的个数即可得到答案。解题时需注意：不等式两边同时乘或除以负数时，不等号方向要改变；正整数是大于0的整数，不要错把0纳入取值范围。
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式$\dfrac{x - 1}{2} ≤ 1$：
两边同时乘2得：$x-1 ≤ 2$，
移项得：$x ≤ 3$。
2. 解不等式$x - 2 ＜ 4(x + 1)$：
去括号得：$x-2 ＜ 4x + 4$，
移项、合并同类项得：$-3x ＜ 6$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：$x ＞ -2$。
因此不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 3$，
其中的正整数解为1、2、3，共3个。
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的解法；不等式组整数解求解
【点评】本题是不等式组的基础考察题型，核心是掌握一元一次不等式的求解规则和不等式组解集的确定方法，解题时注意不等号变向、正整数取值范围两个易错点即可正确作答。
【难度系数】0.7
【解析】
解：分别求解两个不等式：
1. 解不等式$\dfrac{x - 1}{2} ≤ 1$：
两边同时乘2得：$x-1 ≤ 2$，
移项得：$x ≤ 3$。
2. 解不等式$x - 2 ＜ 4(x + 1)$：
去括号得：$x-2 ＜ 4x + 4$，
移项、合并同类项得：$-3x ＜ 6$，
两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得：$x ＞ -2$。
因此不等式组的解集为$-2 ＜ x ≤ 3$，
其中的正整数解为1、2、3，共3个。
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的解法；不等式组整数解求解
【点评】本题是不等式组的基础考察题型，核心是掌握一元一次不等式的求解规则和不等式组解集的确定方法，解题时注意不等号变向、正整数取值范围两个易错点即可正确作答。
【难度系数】0.7
3. 下图表示的是一个不等式的解集,则这个不等式可以是 (
A.$\frac{1}{2}x ＞ -1$
B.$\frac{x + 3}{2} ≥ -3$
C.$x + 1 ≥ -1$
D.$-2x ＞ 4$
C
)A.$\frac{1}{2}x ＞ -1$
B.$\frac{x + 3}{2} ≥ -3$
C.$x + 1 ≥ -1$
D.$-2x ＞ 4$
答案
3.C
解析
【分析】
首先观察数轴：-2处是实心圆点，折线向右，因此该不等式的解集为$x≥ -2$。解题思路为依次求解四个选项中的一元一次不等式，将所得解集与$x≥ -2$对比，匹配的即为正确答案。解一元一次不等式时注意乘除负数时不等号方向要改变。
【解析】
第一步：确定数轴表示的解集
数轴上-2位置为实心点，且解集方向向右，因此该不等式的解集为$\boldsymbol{x≥ -2}$。
第二步：分别求解各选项的不等式
A. 解$\frac{1}{2}x ＞ -1$：
两边同乘2得：$x ＞ -2$，无等号，与题干解集不符，排除。
B. 解$\frac{x + 3}{2} ≥ -3$：
两边同乘2得：$x+3≥ -6$，移项得$x≥ -9$，与题干解集不符，排除。
C. 解$x + 1 ≥ -1$：
移项得$x≥ -1-1$，即$x≥ -2$，与题干解集一致，符合要求。
D. 解$-2x ＞ 4$：
两边同除以-2，不等号方向改变，得$x ＜ -2$，与题干解集不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 不等式解集的数轴表示
2. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查学生对不等式解集的数轴识别能力和一元一次不等式的求解能力，易错点为解不等式时乘除负数忘记改变不等号方向，解题时需注意细节。
【难度系数】
0.8
首先观察数轴：-2处是实心圆点，折线向右，因此该不等式的解集为$x≥ -2$。解题思路为依次求解四个选项中的一元一次不等式，将所得解集与$x≥ -2$对比，匹配的即为正确答案。解一元一次不等式时注意乘除负数时不等号方向要改变。
【解析】
第一步：确定数轴表示的解集
数轴上-2位置为实心点，且解集方向向右，因此该不等式的解集为$\boldsymbol{x≥ -2}$。
第二步：分别求解各选项的不等式
A. 解$\frac{1}{2}x ＞ -1$：
两边同乘2得：$x ＞ -2$，无等号，与题干解集不符，排除。
B. 解$\frac{x + 3}{2} ≥ -3$：
两边同乘2得：$x+3≥ -6$，移项得$x≥ -9$，与题干解集不符，排除。
C. 解$x + 1 ≥ -1$：
移项得$x≥ -1-1$，即$x≥ -2$，与题干解集一致，符合要求。
D. 解$-2x ＞ 4$：
两边同除以-2，不等号方向改变，得$x ＜ -2$，与题干解集不符，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 不等式解集的数轴表示
2. 一元一次不等式的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查学生对不等式解集的数轴识别能力和一元一次不等式的求解能力，易错点为解不等式时乘除负数忘记改变不等号方向，解题时需注意细节。
【难度系数】
0.8
4.若点$P(4 - m, m - 3)$在第二象限,则$m$的取值范围是 (
A.$m ＜ 3$
B.$m ＞ 4$
C.$3 ＜ m ＜ 4$
D.$3 ≤ m ≤ 4$
B
)A.$m ＜ 3$
B.$m ＞ 4$
C.$3 ＜ m ＜ 4$
D.$3 ≤ m ≤ 4$
答案
4.B
解析
【分析】
解题的关键是明确第二象限内点的坐标符号特征：横坐标为负，纵坐标为正。我们可根据该特征列出关于m的一元一次不等式组，再求解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0，点$P(4 - m, m - 3)$在第二象限
∴ 可列不等式组：
$\{\begin{array}{l}4 - m ＜ 0 ①\\m - 3 ＞ 0 ②\end{array} $
解不等式①：移项得$-m ＜ -4$，两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$m ＞ 4$
解不等式②：移项得$m ＞ 3$
取两个解集的公共部分，根据“同大取大”的原则，得不等式组的解集为$m ＞ 4$
【答案】
B
【知识点】
象限内点的坐标特征，解一元一次不等式组
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式的综合基础题，核心考查对各象限点坐标符号的记忆，以及一元一次不等式组的解法，解题时要注意解带负号的不等式时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
解题的关键是明确第二象限内点的坐标符号特征：横坐标为负，纵坐标为正。我们可根据该特征列出关于m的一元一次不等式组，再求解不等式组即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0，点$P(4 - m, m - 3)$在第二象限
∴ 可列不等式组：
$\{\begin{array}{l}4 - m ＜ 0 ①\\m - 3 ＞ 0 ②\end{array} $
解不等式①：移项得$-m ＜ -4$，两边同乘$-1$，不等号方向改变，得$m ＞ 4$
解不等式②：移项得$m ＞ 3$
取两个解集的公共部分，根据“同大取大”的原则，得不等式组的解集为$m ＞ 4$
【答案】
B
【知识点】
象限内点的坐标特征，解一元一次不等式组
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式的综合基础题，核心考查对各象限点坐标符号的记忆，以及一元一次不等式组的解法，解题时要注意解带负号的不等式时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于x的不等式$x - m ≥ 0$共有3个负整数解，则实数m的取值范围是 （
A.$-4 ≤ m ＜ -3$
B.$-4 ＜ m ＜ -3$
C.$-4 ≤ m ≤ -3$
D.$-4 ＜ m ≤ -3$
D
）A.$-4 ≤ m ＜ -3$
B.$-4 ＜ m ＜ -3$
C.$-4 ≤ m ≤ -3$
D.$-4 ＜ m ≤ -3$
答案
5.D
解析
【分析】
解题时首先求解一元一次不等式，得到x的取值范围；再根据“共有3个负整数解”的条件，确定这3个负整数解具体为-1、-2、-3；最后通过分析边界值的取舍规则确定m的取值范围，判断边界时可以结合数轴验证，避免漏判或错判端点。
【解析】
首先解不等式$x - m ≥ 0$，移项可得：$x ≥ m$。
已知该不等式共有3个负整数解，负整数从大到小依次为-1、-2、-3……，因此这3个负整数解只能是$\boldsymbol{-1、-2、-3}$。
接下来分析边界：
1. 若$m ≤ -4$，则$x≥m$会包含负整数-4，此时负整数解变为4个，不符合题意，因此$m ＞ -4$；
2. 若$m ＞ -3$，则$x≥m$不包含负整数-3，此时负整数解少于3个，不符合题意，因此$m ≤ -3$。
综上，实数m的取值范围是$-4 ＜ m ≤ -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式求解；不等式的整数解
【点评】
本题是不等式整数解的常考题型，核心易错点是边界值的取舍，解题时可借助数轴直观表示解集，能更清晰地判断端点是否可取，降低错误率。
【难度系数】
0.7
解题时首先求解一元一次不等式，得到x的取值范围；再根据“共有3个负整数解”的条件，确定这3个负整数解具体为-1、-2、-3；最后通过分析边界值的取舍规则确定m的取值范围，判断边界时可以结合数轴验证，避免漏判或错判端点。
【解析】
首先解不等式$x - m ≥ 0$，移项可得：$x ≥ m$。
已知该不等式共有3个负整数解，负整数从大到小依次为-1、-2、-3……，因此这3个负整数解只能是$\boldsymbol{-1、-2、-3}$。
接下来分析边界：
1. 若$m ≤ -4$，则$x≥m$会包含负整数-4，此时负整数解变为4个，不符合题意，因此$m ＞ -4$；
2. 若$m ＞ -3$，则$x≥m$不包含负整数-3，此时负整数解少于3个，不符合题意，因此$m ≤ -3$。
综上，实数m的取值范围是$-4 ＜ m ≤ -3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式求解；不等式的整数解
【点评】
本题是不等式整数解的常考题型，核心易错点是边界值的取舍，解题时可借助数轴直观表示解集，能更清晰地判断端点是否可取，降低错误率。
【难度系数】
0.7
6.若满足方程组$\begin{cases}x + 2y = 1, \\x - 2y = k\end{cases}$的$x,y$的值都不大于1,则$k$的取值范围是（ ）
A.$-3 ＜ k ＜ 1$
B.$-3 ≤ k ＜ 1$
C.$-3 ＜ k ≤ 1$
D.$-3 ≤ k ≤ 1$
A.$-3 ＜ k ＜ 1$
B.$-3 ≤ k ＜ 1$
C.$-3 ＜ k ≤ 1$
D.$-3 ≤ k ≤ 1$
答案
6.D
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先解给定的二元一次方程组，用加减消元法把x、y分别用含参数k的代数式表示；第二步根据“x、y的值都不大于1”的条件，明确“不大于”即“≤”，分别列出关于k的一元一次不等式；第三步解两个不等式，取解集的公共部分即可得到k的取值范围，对应选项选出答案。
【解析】
解方程组$\begin{cases}x + 2y = 1① \\x - 2y = k②\end{cases}$：
①+②得：$2x = 1 + k$，解得$x = \frac{1 + k}{2}$
①-②得：$4y = 1 - k$，解得$y = \frac{1 - k}{4}$
由题意x、y的值都不大于1，可得不等式组：
$\begin{cases}\frac{1 + k}{2} ≤ 1 \\ \frac{1 - k}{4} ≤ 1\end{cases}$
解第一个不等式：
两边同乘2得$1 + k ≤ 2$，移项得$k ≤ 1$
解第二个不等式：
两边同乘4得$1 - k ≤ 4$，移项得$-k ≤ 3$，两边同乘-1（不等号方向改变）得$k ≥ -3$
综上，k的取值范围是$-3 ≤ k ≤ 1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
解二元一次方程组；解一元一次不等式；不等式组解集确定
【点评】
本题是方程组与不等式的综合基础题，解题核心是先求出含参数的方程组的解，再根据限制条件列不等式求解，要注意解不等式时两边同时乘负数，不等号方向需要改变，同时“不大于”要对应不等号“≤”，不要漏了等号的情况。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步先解给定的二元一次方程组，用加减消元法把x、y分别用含参数k的代数式表示；第二步根据“x、y的值都不大于1”的条件，明确“不大于”即“≤”，分别列出关于k的一元一次不等式；第三步解两个不等式，取解集的公共部分即可得到k的取值范围，对应选项选出答案。
【解析】
解方程组$\begin{cases}x + 2y = 1① \\x - 2y = k②\end{cases}$：
①+②得：$2x = 1 + k$，解得$x = \frac{1 + k}{2}$
①-②得：$4y = 1 - k$，解得$y = \frac{1 - k}{4}$
由题意x、y的值都不大于1，可得不等式组：
$\begin{cases}\frac{1 + k}{2} ≤ 1 \\ \frac{1 - k}{4} ≤ 1\end{cases}$
解第一个不等式：
两边同乘2得$1 + k ≤ 2$，移项得$k ≤ 1$
解第二个不等式：
两边同乘4得$1 - k ≤ 4$，移项得$-k ≤ 3$，两边同乘-1（不等号方向改变）得$k ≥ -3$
综上，k的取值范围是$-3 ≤ k ≤ 1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
解二元一次方程组；解一元一次不等式；不等式组解集确定
【点评】
本题是方程组与不等式的综合基础题，解题核心是先求出含参数的方程组的解，再根据限制条件列不等式求解，要注意解不等式时两边同时乘负数，不等号方向需要改变，同时“不大于”要对应不等号“≤”，不要漏了等号的情况。
【难度系数】
0.8
7. 一次函数 $ y = kx + b $ 的图像如图所示，当 $ y ＜ 2 $ 时，$ x $ 的取值范围是 （
A.$ x ＜ 1 $
B.$ x ＞ 1 $
C.$ x ＜ 3 $
D.$ x ＞ 3 $
C
）A.$ x ＜ 1 $
B.$ x ＞ 1 $
C.$ x ＜ 3 $
D.$ x ＞ 3 $
答案
7.C
解析
【分析】
解题可从两种思路入手：第一种是数形结合法，先判断一次函数的增减性，再结合y=2对应的x值直接推导范围，更快捷；第二种是代数法，先利用图像上的两个已知点求出函数解析式，再列不等式求解，更直观。首先观察到函数图像从左到右上升，说明y随x的增大而增大，已知x=3时y=2，因此y小于2时对应的x就小于3，也可通过求解析式验证结果。
【解析】
方法一（图像法）：
观察图像可知，该一次函数从左到右上升，即y随x的增大而增大，且图像过点$(3,2)$，也就是$x=3$时$y=2$。根据增减性，当$y＜2$时，对应的x取值小于3，即$x＜3$。
方法二（代数法）：
将点$(2,1)$、$(3,2)$代入$y=kx+b$得方程组：
$\begin{cases}2k + b = 1 \\3k + b = 2\end{cases}$
两式相减得$k=1$，将$k=1$代入$2k+b=1$，解得$b=-1$，因此函数解析式为$y=x-1$。
令$y＜2$，即$x-1＜2$，解得$x＜3$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质，一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的基础题型，既可以通过数形结合快速得到结果，也可以通过求解析式解不等式求解，熟练掌握一次函数的增减性可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题可从两种思路入手：第一种是数形结合法，先判断一次函数的增减性，再结合y=2对应的x值直接推导范围，更快捷；第二种是代数法，先利用图像上的两个已知点求出函数解析式，再列不等式求解，更直观。首先观察到函数图像从左到右上升，说明y随x的增大而增大，已知x=3时y=2，因此y小于2时对应的x就小于3，也可通过求解析式验证结果。
【解析】
方法一（图像法）：
观察图像可知，该一次函数从左到右上升，即y随x的增大而增大，且图像过点$(3,2)$，也就是$x=3$时$y=2$。根据增减性，当$y＜2$时，对应的x取值小于3，即$x＜3$。
方法二（代数法）：
将点$(2,1)$、$(3,2)$代入$y=kx+b$得方程组：
$\begin{cases}2k + b = 1 \\3k + b = 2\end{cases}$
两式相减得$k=1$，将$k=1$代入$2k+b=1$，解得$b=-1$，因此函数解析式为$y=x-1$。
令$y＜2$，即$x-1＜2$，解得$x＜3$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质，一次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与不等式结合的基础题型，既可以通过数形结合快速得到结果，也可以通过求解析式解不等式求解，熟练掌握一次函数的增减性可提升解题效率。
【难度系数】
0.8
8.下表是某商场中十种类型机器人套装的价目表。儿童节期间,小明在这里看好了⑤号机器人套装,爸爸说:“今天有促销活动,八折优惠呢!你可以再选一套,但两套最终不能超过1500元。”
好学生暑假生活 八年级数学 BS
那么小明再买第二套机器人套装最多可选择的类型有 （
A.5种
B.8种
C.9种
D.6种
好学生暑假生活 八年级数学 BS
那么小明再买第二套机器人套装最多可选择的类型有 （
B
）A.5种
B.8种
C.9种
D.6种
答案
8.B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先计算⑤号机器人套装打八折后的实际花费；第二步根据两套总花费不超过1500元，算出第二套套装打折后的最高可花费金额；第三步通过折扣关系反推第二套套装的原价上限，最后对照价目表统计所有符合原价要求的型号数量即可。
【解析】
1. 计算⑤号机器人打折后的价格：
⑤号原价为675元，打八折后的价格为 $ 675 × 0.8 = 540 $ 元。
2. 计算第二套套装打折后的最高可花费金额：
两套总花费不超过1500元，因此第二套折后最多可花 $ 1500 - 540 = 960 $ 元。
3. 求第二套套装的原价上限：
设第二套套装原价为$ x $元，打八折后为$ 0.8x $，可列不等式：
$ 0.8x ≤ 960 $
解得 $ x ≤ 1200 $，即第二套原价不能超过1200元。
4. 统计符合要求的型号：
对照价目表，原价≤1200元的型号有③、④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩，共8种。
【答案】
B
【知识点】
折扣计算；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活促销场景考查数学知识的实际应用，解题核心是先推导第二套商品的原价上限，再逐一比对筛选，计算时注意折扣换算的准确性，统计型号时避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步先计算⑤号机器人套装打八折后的实际花费；第二步根据两套总花费不超过1500元，算出第二套套装打折后的最高可花费金额；第三步通过折扣关系反推第二套套装的原价上限，最后对照价目表统计所有符合原价要求的型号数量即可。
【解析】
1. 计算⑤号机器人打折后的价格：
⑤号原价为675元，打八折后的价格为 $ 675 × 0.8 = 540 $ 元。
2. 计算第二套套装打折后的最高可花费金额：
两套总花费不超过1500元，因此第二套折后最多可花 $ 1500 - 540 = 960 $ 元。
3. 求第二套套装的原价上限：
设第二套套装原价为$ x $元，打八折后为$ 0.8x $，可列不等式：
$ 0.8x ≤ 960 $
解得 $ x ≤ 1200 $，即第二套原价不能超过1200元。
4. 统计符合要求的型号：
对照价目表，原价≤1200元的型号有③、④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩，共8种。
【答案】
B
【知识点】
折扣计算；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合生活促销场景考查数学知识的实际应用，解题核心是先推导第二套商品的原价上限，再逐一比对筛选，计算时注意折扣换算的准确性，统计型号时避免漏数或多数。
【难度系数】
0.7
