3. 如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,DE//CB,点F是BD的中点。
(1)求证:△BDE是等腰三角形；
(2)若∠ABC=50°,求∠DEF的度数。

(1)证明:
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠DBC,
∵ DE//CB,
∴ ∠EDB = ∠DBC,
∴ ∠ABD = ∠EDB,
∴ EB = ED,
∴ △BDE 是等腰三角形。
(2)
∵ BD 平分∠ABC,∠ABC = 50°,
∴ ∠ABD = 1/2∠ABC = 25°。
∵ EB = ED,点F 是 BD 的中点,
∴ ∠BEF = ∠DEF,∠EFB = 90°,
∴ ∠DEF = ∠BEF = 90° - ∠ABD = 65°。

【分析】
（1）要证明△BDE是等腰三角形，核心思路是证明三角形中有两个内角相等：首先利用角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，再结合平行线的内错角相等性质得到∠EDB=∠DBC，通过等量代换得到∠ABD=∠EDB，即可推出EB=ED，证明△BDE为等腰三角形。
（2）求解∠DEF的度数时，先利用角平分线定义求出∠ABD的度数，再结合已证的等腰△BDE和F是BD中点的条件，利用等腰三角形三线合一的性质，可知EF平分∠BED且EF⊥BD，在直角三角形BEF中求出∠BEF的度数，即可得到∠DEF的度数。
【解析】
(1)证明:
∵ BD 平分∠ABC,
∴ ∠ABD = ∠DBC,
∵ DE//CB,
∴ ∠EDB = ∠DBC,
∴ ∠ABD = ∠EDB,
∴ EB = ED,
∴ △BDE 是等腰三角形。
(2)解:
∵ BD 平分∠ABC,∠ABC = 50°,
∴ ∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = 25°。
∵ EB = ED,点F 是 BD 的中点,
∴ ∠BEF = ∠DEF,∠EFB = 90°,
∴ ∠DEF = ∠BEF = 90° - ∠ABD = 65°。
【答案】
(1)△BDE是等腰三角形，证明成立；
(2)∠DEF=65°
【知识点】
角平分线定义、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，考查了多个基础几何性质的结合应用，解题关键是能通过角平分线和平行线的性质完成角的等量代换，再结合等腰三角形三线合一的性质求解，是三角形章节的常规考法。
【难度系数】
0.75

4.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,过点D作DE⊥AB,垂足为E。求证:∠BAC=2∠BDE。

证明:如图,连接AD,
∵ AB = AC,点D 是 BC 的中点,
∴ AD ⊥ BC,∠BAC = 2∠BAD,
∴ ∠ADE + ∠BDE = 90°,
∵ DE ⊥ AB,
∴ ∠BAD + ∠ADE = 90°,
∴ ∠BDE = ∠BAD,
∵ ∠BAC = 2∠BAD,
∴ ∠BAC = 2∠BDE。

【分析】
要证明∠BAC=2∠BDE，首先结合已知条件思考：△ABC是等腰三角形，D是底边BC的中点，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此先连接AD，可得AD平分∠BAC，即∠BAC=2∠BAD，此时问题转化为证明∠BDE=∠BAD。再结合DE⊥AB、AD⊥BC的直角条件，利用“同角的余角相等”即可证明两个单角相等，最后通过等量代换就能得到待证结论。
【解析】
证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，即∠BAC=2∠BAD，
∴∠ADB=90°，可得∠ADE + ∠BDE = 90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，可得∠BAD + ∠ADE = 90°，
根据同角的余角相等，可推出∠BDE=∠BAD，
又
∵∠BAC=2∠BAD，
∴通过等量代换可得∠BAC=2∠BDE。
【答案】
证明:如图,连接AD,
∵ AB = AC,点D 是 BC 的中点,
∴ AD ⊥ BC,∠BAC = 2∠BAD,
∴ ∠ADE + ∠BDE = 90°,
∵ DE ⊥ AB,
∴ ∠BAD + ∠ADE = 90°,
∴ ∠BDE = ∠BAD,
∵ ∠BAC = 2∠BAD,
∴ ∠BAC = 2∠BDE。
【知识点】
等腰三角形三线合一、同角的余角相等、等量代换
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用类题目，解题核心是熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线，将二倍角的证明转化为单角相等的证明，再结合直角三角形的余角性质完成推导，能有效锻炼学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7