1.如图,在△ABC中,点D是边AB上一点,点E是边AC的中点,过点C作CF//AB,交DE的延长线于点F。
(1)求证:△ADE≌△CFE;
(2)若AB=5,CF=3,求BD的长。

(1)证明:
∵ 点E是边AC的中点,
∴ AE = CE,
∵ CF // AB,
∴ ∠A = ∠FCE,∠ADE = ∠F。在△ADE 和△CFE 中,∠A = ∠FCE,∠ADE = ∠F,AE = CE,
∴ △ADE≌△CFE(AAS)。
(2)
∵ △ADE≌△CFE,CF = 3,
∴ AD = CF = 3,
∵ AB = 5,
∴ BD = AB - AD = 5 - 3 = 2。

【分析】
(1)要证明△ADE≌△CFE，先梳理已知条件：点E是AC中点，可得到一组相等的边AE=CE；再结合CF//AB的条件，根据平行线的内错角相等，能得到两组对应角相等，刚好满足AAS的全等判定条件，即可完成证明。
(2)要求BD的长度，已知AB的总长，只需求出AD的长度即可；根据全等三角形对应边相等的性质，可推出AD=CF，代入数值计算AB与AD的差就能得到BD的长度。
【解析】
(1)证明：
∵ 点E是边AC的中点，
∴ AE = CE，
∵ CF // AB，
∴ ∠A = ∠FCE，∠ADE = ∠F。
在△ADE 和△CFE 中，
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠FCE \\∠ADE = ∠F \\AE = CE\end{array} $
∴ △ADE≌△CFE(AAS)。
(2)解：
∵ △ADE≌△CFE，CF = 3，
∴ AD = CF = 3，
∵ AB = 5，
∴ BD = AB - AD = 5 - 3 = 2。
【答案】
(1)△ADE≌△CFE得证；(2)BD的长为2
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题型，解题核心是结合平行线性质和中点定义找到全等的判定条件，再利用全等性质求解线段长度，是全等三角形应用的常规典型题。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在△ABC中,点D在AC上,点E在BC的延长线上。求证:∠ADB ＞ ∠CDE。

证明:
∵ ∠DCB 是△DCE 的一个外角,
∴ ∠DCB ＞ ∠CDE,
∵ ∠ADB 是△BCD 的一个外角,
∴ ∠ADB ＞ ∠DCB,
∴ ∠ADB ＞ ∠CDE。

【分析】
要证明∠ADB＞∠CDE，可借助三角形外角的性质，通过中间量传递大小关系。首先观察图形，先找到∠DCB作为中间角：第一，∠DCB是△DCE的外角，根据外角性质可得∠DCB大于∠CDE；第二，∠ADB是△BCD的外角，根据外角性质可得∠ADB大于∠DCB，最后通过不等关系的传递即可得到要证的结论。
【解析】
证明：
∵ ∠DCB是△DCE的一个外角，
∴ 根据“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，可得∠DCB ＞ ∠CDE，
∵ ∠ADB是△BCD的一个外角，
∴ 同理可得∠ADB ＞ ∠DCB，
∴ 根据不等式的传递性，可推出∠ADB ＞ ∠CDE。
【答案】
证明:
∵ ∠DCB 是△DCE 的一个外角,
∴ ∠DCB ＞ ∠CDE,
∵ ∠ADB 是△BCD 的一个外角,
∴ ∠ADB ＞ ∠DCB,
∴ ∠ADB ＞ ∠CDE。
【知识点】
三角形外角的性质，不等式的传递性
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是准确识别三角形的外角，找到合适的中间角搭建大小关系的桥梁，熟练掌握三角形外角的性质就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8