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二、填空题
9. 如图，△ABC中，∠BCD = 30°，∠ACB = 80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是
9. 如图，△ABC中，∠BCD = 30°，∠ACB = 80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是
100°
°。答案
9.100°
解析
【分析】
要求∠AEB的度数，可利用三角形内角和定理逐步推导：首先根据CD是AB边上的高，结合已知∠BCD的度数求出∠B的度数；再在△ABC中用内角和定理求出∠CAB的度数；接着根据角平分线的性质得到∠BAE的度数；最后在△AEB中利用内角和定理即可算出∠AEB的度数。
【解析】
1. 因为CD是AB边上的高，所以$∠ CDB=90°$
2. 在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=30°$，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ B=90°-∠ BCD=90°-30°=60°$
3. 在$△ ABC$中，已知$∠ ACB=80°$，$∠ B=60°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ CAB=180°-∠ ACB-∠ B=180°-80°-60°=40°$
4. 因为AE是$∠ CAB$的平分线，所以$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×40°=20°$
5. 在$△ AEB$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AEB=180°-∠ B-∠ BAE=180°-60°-20°=100°$
【答案】
100
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是理清各角之间的关系，逐步推导未知角的度数，需要熟练掌握三角形相关的基础性质，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
要求∠AEB的度数，可利用三角形内角和定理逐步推导：首先根据CD是AB边上的高，结合已知∠BCD的度数求出∠B的度数；再在△ABC中用内角和定理求出∠CAB的度数；接着根据角平分线的性质得到∠BAE的度数；最后在△AEB中利用内角和定理即可算出∠AEB的度数。
【解析】
1. 因为CD是AB边上的高，所以$∠ CDB=90°$
2. 在$Rt△ BCD$中，$∠ BCD=30°$，根据直角三角形两锐角互余，可得：
$∠ B=90°-∠ BCD=90°-30°=60°$
3. 在$△ ABC$中，已知$∠ ACB=80°$，$∠ B=60°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ CAB=180°-∠ ACB-∠ B=180°-80°-60°=40°$
4. 因为AE是$∠ CAB$的平分线，所以$∠ BAE=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×40°=20°$
5. 在$△ AEB$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AEB=180°-∠ B-∠ BAE=180°-60°-20°=100°$
【答案】
100
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是理清各角之间的关系，逐步推导未知角的度数，需要熟练掌握三角形相关的基础性质，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
10.如图，直线$a// b$，直线$l⊥ a$，$∠ 1=120°$，则$∠ 2=\_\_\_\_\_\_{}°$。
答案
10.30
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①直线a平行于b，②直线l垂直于a，③∠1=120°。首先根据平行线的性质：如果一条直线垂直于一组平行线中的一条，那么它也垂直于另一条，可推出l垂直于b，得到l与b的夹角为90°。再观察∠1，它的邻补角和∠2共同构成上述90°的直角，因此先计算∠1的邻补角度数，再用90°减去邻补角的度数即可得到∠2的大小。
【解析】
解：
∵ 直线$a// b$，$l⊥ a$，
∴ $l⊥ b$（一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条），即l与b的夹角为$90°$。
∵ ∠1和它的邻补角之和为$180°$，
∴ ∠1的邻补角 = $180°-∠1=180°-120°=60°$。
又
∵ 该邻补角与∠2的和为$90°$，
∴ $∠2=90°-60°=30°$。
【答案】
30
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，邻补角计算
【点评】
本题是基础几何题，考察平行线、垂线与角度计算的综合应用，解题核心是利用平行线性质推导出l与b的垂直关系，结合角度和差计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：①直线a平行于b，②直线l垂直于a，③∠1=120°。首先根据平行线的性质：如果一条直线垂直于一组平行线中的一条，那么它也垂直于另一条，可推出l垂直于b，得到l与b的夹角为90°。再观察∠1，它的邻补角和∠2共同构成上述90°的直角，因此先计算∠1的邻补角度数，再用90°减去邻补角的度数即可得到∠2的大小。
【解析】
解：
∵ 直线$a// b$，$l⊥ a$，
∴ $l⊥ b$（一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条），即l与b的夹角为$90°$。
∵ ∠1和它的邻补角之和为$180°$，
∴ ∠1的邻补角 = $180°-∠1=180°-120°=60°$。
又
∵ 该邻补角与∠2的和为$90°$，
∴ $∠2=90°-60°=30°$。
【答案】
30
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，邻补角计算
【点评】
本题是基础几何题，考察平行线、垂线与角度计算的综合应用，解题核心是利用平行线性质推导出l与b的垂直关系，结合角度和差计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
11.如图,五边形ABCDE中,∠B=120°,∠C=110°,∠D=105°,则∠A+∠E=
205°
。答案
11.205°
解析
【分析】
要计算∠A+∠E的度数，首先运用多边形内角和公式求出五边形的总内角和，再用总内角和减去已知的∠B、∠C、∠D三个角的度数，就能得到∠A与∠E的度数之和。
【解析】
根据多边形内角和公式：n边形的内角和为$(n-2)×180°$。
五边形的边数n=5，因此五边形ABCDE的内角和为：
$(5-2)×180°=540°$
已知$∠ B=120°$，$∠ C=110°$，$∠ D=105°$，代入计算得：
$∠ A+∠ E=540°-∠ B-∠ C-∠ D$
$=540°-120°-110°-105°=205°$
【答案】
$205°$
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查多边形内角和公式的直接应用，解题的关键是牢记公式，计算时注意数值准确即可。
【难度系数】
0.9
要计算∠A+∠E的度数，首先运用多边形内角和公式求出五边形的总内角和，再用总内角和减去已知的∠B、∠C、∠D三个角的度数，就能得到∠A与∠E的度数之和。
【解析】
根据多边形内角和公式：n边形的内角和为$(n-2)×180°$。
五边形的边数n=5，因此五边形ABCDE的内角和为：
$(5-2)×180°=540°$
已知$∠ B=120°$，$∠ C=110°$，$∠ D=105°$，代入计算得：
$∠ A+∠ E=540°-∠ B-∠ C-∠ D$
$=540°-120°-110°-105°=205°$
【答案】
$205°$
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查多边形内角和公式的直接应用，解题的关键是牢记公式，计算时注意数值准确即可。
【难度系数】
0.9
12.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=2∠ C$,$AD⊥ BC$于点D。若$△ ABC$的周长为20,$CD=6$,则AC的长为
8
。答案
12.8
解析
【分析】
题中给出∠B=2∠C和AD⊥BC的条件，我们可以通过构造轴对称图形将二倍角关系转化为等角关系，进而得到等腰三角形简化计算。解题思路如下：1. 在CD上截取DE=BD，连接AE，利用AD垂直BC的性质可得AB=AE，∠B=∠AED；2. 结合∠B=2∠C和三角形外角性质，推导得出AE=EC，即AB=EC；3. 利用线段和的关系将三角形周长条件转化为与CD、AC相关的式子，即可求出AC的长度。
【解析】
解：在CD上截取DE=BD，连接AE。
∵ AD⊥BC，DE=BD
∴ AD垂直平分线段BE
∴ AB=AE，∠B=∠AED
已知∠B=2∠C，因此∠AED=2∠C
∵ ∠AED是△AEC的外角
∴ ∠AED=∠C + ∠EAC
代入∠AED=2∠C可得：2∠C=∠C + ∠EAC，即∠EAC=∠C
∴ AE=EC，结合AB=AE得AB=EC
∵ CD=DE + EC=6，且DE=BD，EC=AB
∴ BD + AB=6
已知△ABC周长为20，即AB + BC + AC=20
又
∵ BC=BD + CD=BD + 6
代入周长公式得：AB + BD + 6 + AC=20
将BD + AB=6代入上式：6 + 6 + AC=20
解得AC=8
【答案】
8
【知识点】
1.等腰三角形判定与性质
2.三角形外角定理
3.截长补短构造辅助线
【点评】
本题是三角形中二倍角关系的典型应用题型，解题的关键是结合垂直条件构造对称的等腰三角形，将分散的角、边条件整合，再结合周长的数量关系求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
题中给出∠B=2∠C和AD⊥BC的条件，我们可以通过构造轴对称图形将二倍角关系转化为等角关系，进而得到等腰三角形简化计算。解题思路如下：1. 在CD上截取DE=BD，连接AE，利用AD垂直BC的性质可得AB=AE，∠B=∠AED；2. 结合∠B=2∠C和三角形外角性质，推导得出AE=EC，即AB=EC；3. 利用线段和的关系将三角形周长条件转化为与CD、AC相关的式子，即可求出AC的长度。
【解析】
解：在CD上截取DE=BD，连接AE。
∵ AD⊥BC，DE=BD
∴ AD垂直平分线段BE
∴ AB=AE，∠B=∠AED
已知∠B=2∠C，因此∠AED=2∠C
∵ ∠AED是△AEC的外角
∴ ∠AED=∠C + ∠EAC
代入∠AED=2∠C可得：2∠C=∠C + ∠EAC，即∠EAC=∠C
∴ AE=EC，结合AB=AE得AB=EC
∵ CD=DE + EC=6，且DE=BD，EC=AB
∴ BD + AB=6
已知△ABC周长为20，即AB + BC + AC=20
又
∵ BC=BD + CD=BD + 6
代入周长公式得：AB + BD + 6 + AC=20
将BD + AB=6代入上式：6 + 6 + AC=20
解得AC=8
【答案】
8
【知识点】
1.等腰三角形判定与性质
2.三角形外角定理
3.截长补短构造辅助线
【点评】
本题是三角形中二倍角关系的典型应用题型，解题的关键是结合垂直条件构造对称的等腰三角形，将分散的角、边条件整合，再结合周长的数量关系求解，对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
