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1. 在$△ ABC$中，$∠ A: ∠ B: ∠ C=2:3:4$，则$△ ABC$是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
A
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不确定
答案
1.A
解析
【分析】
要判断三角形的类型，需先确定三角形最大内角的度数。本题已知三个内角的度数比，结合三角形内角和为180°的性质，我们可以通过设参数的方式求出每个内角的度数，再根据最大角的类别判断三角形类型：若最大角小于90°为锐角三角形，等于90°为直角三角形，大于90°为钝角三角形。
【解析】
设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x。
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
$2x + 3x + 4x = 180°$
合并同类项得：$9x = 180°$
解得：$x = 20°$
因此三个内角的度数分别为：
$∠ A=2×20°=40°$，$∠ B=3×20°=60°$，$∠ C=4×20°=80°$
三角形最大内角为80°，是锐角，因此△ABC的三个内角都是锐角，属于锐角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础题型，解题核心是利用三角形内角和定理结合角度比例求出各内角度数，只要掌握三角形内角和性质以及按角分类的标准，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断三角形的类型，需先确定三角形最大内角的度数。本题已知三个内角的度数比，结合三角形内角和为180°的性质，我们可以通过设参数的方式求出每个内角的度数，再根据最大角的类别判断三角形类型：若最大角小于90°为锐角三角形，等于90°为直角三角形，大于90°为钝角三角形。
【解析】
设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x。
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
$2x + 3x + 4x = 180°$
合并同类项得：$9x = 180°$
解得：$x = 20°$
因此三个内角的度数分别为：
$∠ A=2×20°=40°$，$∠ B=3×20°=60°$，$∠ C=4×20°=80°$
三角形最大内角为80°，是锐角，因此△ABC的三个内角都是锐角，属于锐角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础题型，解题核心是利用三角形内角和定理结合角度比例求出各内角度数，只要掌握三角形内角和性质以及按角分类的标准，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 放风筝是人们喜爱的户外活动之一。在如图所示的“风筝”图案中，$∠ B = ∠ D$，$AB = AD$，$BC = DE$，可以直接判定（
A.$△ ABC ≌ △ AEG$
B.$△ ACF ≌ △ AEG$
C.$△ ABF ≌ △ ADG$
D.$△ ABC ≌ △ ADE$
D
）A.$△ ABC ≌ △ AEG$
B.$△ ACF ≌ △ AEG$
C.$△ ABF ≌ △ ADG$
D.$△ ABC ≌ △ ADE$
答案
2.D
解析
【分析】
首先梳理题干给出的已知条件：$∠ B=∠ D$，$AB=AD$，$BC=DE$，题目要求找出可直接判定的全等三角形。“直接判定”意味着不需要额外推导其他边角相等，只用题干给出的条件即可证明全等。首先回忆三角形全等的判定定理，观察各选项的三角形，找到边角对应关系和题干已知条件匹配的组合：$AB$、$∠ B$、$BC$是$△ ABC$的边和夹角，$AD$、$∠ D$、$DE$是$△ ADE$的边和夹角，刚好符合SAS全等判定的条件，其余选项的三角形均无法仅用题干给出的三个条件直接证明全等。
【解析】
解：逐一分析选项：
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD(已知)\\∠ B=∠ D(已知)\\BC=DE(已知)\end{cases}$
根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS），可得$△ ABC ≌ △ ADE$。
其余选项：
A选项$△ ABC$和$△ AEG$没有对应相等的边角条件，无法直接判定全等；
B选项$△ ACF$和$△ AEG$没有足够的已知对应相等的边角，无法直接判定全等；
C选项$△ ABF$和$△ ADG$需要先推导其他角相等，不能直接用题干给出的条件判定全等。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
SAS判定三角形全等
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要注意题干“直接判定”的要求，优先用题干给出的已知条件匹配对应三角形的边角，熟练掌握全等三角形的各判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
首先梳理题干给出的已知条件：$∠ B=∠ D$，$AB=AD$，$BC=DE$，题目要求找出可直接判定的全等三角形。“直接判定”意味着不需要额外推导其他边角相等，只用题干给出的条件即可证明全等。首先回忆三角形全等的判定定理，观察各选项的三角形，找到边角对应关系和题干已知条件匹配的组合：$AB$、$∠ B$、$BC$是$△ ABC$的边和夹角，$AD$、$∠ D$、$DE$是$△ ADE$的边和夹角，刚好符合SAS全等判定的条件，其余选项的三角形均无法仅用题干给出的三个条件直接证明全等。
【解析】
解：逐一分析选项：
在$△ ABC$和$△ ADE$中：
$\begin{cases}AB=AD(已知)\\∠ B=∠ D(已知)\\BC=DE(已知)\end{cases}$
根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS），可得$△ ABC ≌ △ ADE$。
其余选项：
A选项$△ ABC$和$△ AEG$没有对应相等的边角条件，无法直接判定全等；
B选项$△ ACF$和$△ AEG$没有足够的已知对应相等的边角，无法直接判定全等；
C选项$△ ABF$和$△ ADG$需要先推导其他角相等，不能直接用题干给出的条件判定全等。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
SAS判定三角形全等
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要注意题干“直接判定”的要求，优先用题干给出的已知条件匹配对应三角形的边角，熟练掌握全等三角形的各判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.如图,在$△ ABC$中,D是AB边上一点,连接CD。下列角中,大小等于$∠ B + ∠ BCD$的是(
A.$∠ ADC$
B.$∠ BDC$
C.$∠ A$
D.$∠ ACB$
A
)A.$∠ ADC$
B.$∠ BDC$
C.$∠ A$
D.$∠ ACB$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。首先确定∠B、∠BCD都属于△BCD的内角，我们需要找到△BCD中与这两个角都不相邻的外角即可。观察图形，AB边上的点D把AB分成BD和DA两段，∠ADC是边CD与DA的夹角，属于△BCD的外角，符合外角性质的应用条件，即可得出对应结论。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
由图可知，∠ADC是△BCD的外角，∠B和∠BCD是△BCD中与∠ADC不相邻的两个内角，因此：
$∠ ADC = ∠ B + ∠ BCD$
因此符合要求的角是∠ADC。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题考查三角形外角性质的基础应用，解题关键是准确识别出三角形的外角，理清外角和对应不相邻内角的关系，属于基础类型的题目。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。首先确定∠B、∠BCD都属于△BCD的内角，我们需要找到△BCD中与这两个角都不相邻的外角即可。观察图形，AB边上的点D把AB分成BD和DA两段，∠ADC是边CD与DA的夹角，属于△BCD的外角，符合外角性质的应用条件，即可得出对应结论。
【解析】
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
由图可知，∠ADC是△BCD的外角，∠B和∠BCD是△BCD中与∠ADC不相邻的两个内角，因此：
$∠ ADC = ∠ B + ∠ BCD$
因此符合要求的角是∠ADC。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题考查三角形外角性质的基础应用，解题关键是准确识别出三角形的外角，理清外角和对应不相邻内角的关系，属于基础类型的题目。
【难度系数】
0.9
4. 已知一个多边形的内角和为$2160°$,这个多边形的边数是（
A.12
B.13
C.14
D.15
C
）A.12
B.13
C.14
D.15
答案
4.C
解析
【分析】
解决本题首先需要回忆多边形内角和的计算公式，n边形的内角和与边数n的关系为：内角和=(n-2)×180°。已知内角和的数值，我们可以将其代入公式，列出关于边数n的一元一次方程，求解得到正整数n的值就是多边形的边数，再对应选项选出答案即可。
【解析】
设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2) × 180° = 2160°$
方程两边同时除以$180°$，得：
$n - 2 = 12$
移项计算得：
$n = 14$
即该多边形的边数为14。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查多边形内角和公式的应用，只要牢记公式，计算时细心就可以顺利得到正确答案，是对多边形基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
解决本题首先需要回忆多边形内角和的计算公式，n边形的内角和与边数n的关系为：内角和=(n-2)×180°。已知内角和的数值，我们可以将其代入公式，列出关于边数n的一元一次方程，求解得到正整数n的值就是多边形的边数，再对应选项选出答案即可。
【解析】
设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2) × 180° = 2160°$
方程两边同时除以$180°$，得：
$n - 2 = 12$
移项计算得：
$n = 14$
即该多边形的边数为14。
【答案】
C
【知识点】
多边形内角和公式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查多边形内角和公式的应用，只要牢记公式，计算时细心就可以顺利得到正确答案，是对多边形基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.8
5.若等腰三角形的一个内角是120°,则它的另外两个内角的度数分别是 (
A.60°和30°
B.30°和30°
C.120°和120°
D.120°和30°
B
)A.60°和30°
B.30°和30°
C.120°和120°
D.120°和30°
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先回忆等腰三角形和三角形内角和的相关知识：1.等腰三角形的两个底角度数相等；2.三角形的内角和为180°。首先需要判断已知的120°内角是顶角还是底角：由于三角形内角和最多180°，如果120°是底角，两个底角之和就会超过180°，不符合定理，因此120°只能是顶角。最后用内角和减去顶角度数，再除以2就能得到两个底角的度数。
【解析】
已知该三角形是等腰三角形，因此两个底角度数相等，且三角形内角和为180°：
1. 假设120°为底角，则两个底角的和为120°×2=240°＞180°，不符合三角形内角和定理，该假设不成立；
2. 因此120°只能是等腰三角形的顶角，剩余两个角为相等的底角，单个底角的度数为：(180°-120°)÷2=30°，即另外两个内角都是30°。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，解题关键是先判断已知钝角的所属类型（只能为顶角），避免忽略内角和限制出现错解，掌握核心性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆等腰三角形和三角形内角和的相关知识：1.等腰三角形的两个底角度数相等；2.三角形的内角和为180°。首先需要判断已知的120°内角是顶角还是底角：由于三角形内角和最多180°，如果120°是底角，两个底角之和就会超过180°，不符合定理，因此120°只能是顶角。最后用内角和减去顶角度数，再除以2就能得到两个底角的度数。
【解析】
已知该三角形是等腰三角形，因此两个底角度数相等，且三角形内角和为180°：
1. 假设120°为底角，则两个底角的和为120°×2=240°＞180°，不符合三角形内角和定理，该假设不成立；
2. 因此120°只能是等腰三角形的顶角，剩余两个角为相等的底角，单个底角的度数为：(180°-120°)÷2=30°，即另外两个内角都是30°。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的基础题型，解题关键是先判断已知钝角的所属类型（只能为顶角），避免忽略内角和限制出现错解，掌握核心性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6.如图,在等边$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,$BE ⊥ AC$,$AD$,$BE$交于点$F$,则$∠ AFE$的度数是 (
A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$30°$
A
)A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$30°$
答案
6.A
解析
【分析】
要计算∠AFE的度数，可结合已知的垂直条件，将其放在直角三角形中利用内角和求解：首先回忆等边三角形的性质，等边三角形每个内角为60°，且底边上的高同时是顶角的角平分线；先求出∠EAF的度数，再结合BE⊥AC得到△AEF是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠AFE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC。
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°。
又
∵BE⊥AC，
∴∠AEF=90°。
在Rt△AEF中，∠AFE + ∠EAF = 90°，
∴∠AFE=90°-30°=60°。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形三线合一，直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，主要考察特殊三角形的性质应用，解题关键是熟练运用三线合一得到角的度数，整体计算量小，思路较直接。
【难度系数】
0.8
要计算∠AFE的度数，可结合已知的垂直条件，将其放在直角三角形中利用内角和求解：首先回忆等边三角形的性质，等边三角形每个内角为60°，且底边上的高同时是顶角的角平分线；先求出∠EAF的度数，再结合BE⊥AC得到△AEF是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠AFE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC。
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°。
又
∵BE⊥AC，
∴∠AEF=90°。
在Rt△AEF中，∠AFE + ∠EAF = 90°，
∴∠AFE=90°-30°=60°。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形三线合一，直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，主要考察特殊三角形的性质应用，解题关键是熟练运用三线合一得到角的度数，整体计算量小，思路较直接。
【难度系数】
0.8
7. 下列条件中,可以判定$△ ABC$是等腰三角形的是 (
A.$∠ A=20°,∠ B=100°$
B.$a:b:c=1:1:2$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$
D.$∠ A=∠ B+∠ C$
C
)A.$∠ A=20°,∠ B=100°$
B.$a:b:c=1:1:2$
C.$∠ A:∠ B:∠ C=1:1:2$
D.$∠ A=∠ B+∠ C$
答案
7.C
解析
【分析】
解题核心依据为三角形内角和定理、三角形三边关系以及等腰三角形的判定规则（有两个内角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形）。解题时逐个对选项验证：先判断选项给出的条件能否构成三角形，再看是否存在相等的边或角，即可选出正确答案。
【解析】
我们结合相关定理逐一分析选项：
1. 分析选项A：
根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-20°-100°=60°，三个角度数分别为20°、100°、60°，没有相等的角，不是等腰三角形，排除A。
2. 分析选项B：
设三边长分别为$k、k、2k（k＞0）$，根据三角形三边关系，任意两边之和需大于第三边，而$k+k=2k$，不满足三边关系，无法构成三角形，排除B。
3. 分析选项C：
设三个角分别为$x、x、2x$，由内角和定理得$x+x+2x=180°$，解得$x=45°$，三个角度数为45°、45°、90°，有两个相等的角，属于等腰三角形，符合要求。
4. 分析选项D：
将$∠A=∠B+∠C$代入内角和公式得$∠A+∠A=180°$，解得$∠A=90°$，仅能判定是直角三角形，无法确定∠B和∠C是否相等，不一定是等腰三角形，排除D。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形判定、三角形内角和定理、三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，易错点是容易忽略三角形三边构成条件直接误选B，解题时要先判断能否构成合法三角形，再验证等腰的判定条件。
【难度系数】
0.7
解题核心依据为三角形内角和定理、三角形三边关系以及等腰三角形的判定规则（有两个内角相等或两条边相等的三角形是等腰三角形）。解题时逐个对选项验证：先判断选项给出的条件能否构成三角形，再看是否存在相等的边或角，即可选出正确答案。
【解析】
我们结合相关定理逐一分析选项：
1. 分析选项A：
根据三角形内角和为180°，可得∠C=180°-∠A-∠B=180°-20°-100°=60°，三个角度数分别为20°、100°、60°，没有相等的角，不是等腰三角形，排除A。
2. 分析选项B：
设三边长分别为$k、k、2k（k＞0）$，根据三角形三边关系，任意两边之和需大于第三边，而$k+k=2k$，不满足三边关系，无法构成三角形，排除B。
3. 分析选项C：
设三个角分别为$x、x、2x$，由内角和定理得$x+x+2x=180°$，解得$x=45°$，三个角度数为45°、45°、90°，有两个相等的角，属于等腰三角形，符合要求。
4. 分析选项D：
将$∠A=∠B+∠C$代入内角和公式得$∠A+∠A=180°$，解得$∠A=90°$，仅能判定是直角三角形，无法确定∠B和∠C是否相等，不一定是等腰三角形，排除D。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形判定、三角形内角和定理、三角形三边关系
【点评】
本题考查等腰三角形的判定，易错点是容易忽略三角形三边构成条件直接误选B，解题时要先判断能否构成合法三角形，再验证等腰的判定条件。
【难度系数】
0.7
8.如图所示,在等边三角形ABC中,O是三个内角平分线的交点,OD//AB,OE//AC,则图中等腰三角形的个数是 (
A.7
B.6
C.5
D.4
A
)A.7
B.6
C.5
D.4
答案
8.A
解析
【分析】
要解决本题，需结合等腰三角形“等角对等边”的判定方法，依次结合等边三角形性质、角平分线性质、平行线的性质逐一排查图形中的等腰三角形，注意等边三角形是特殊的等腰三角形，计数时不要遗漏。解题步骤：①先识别大的等边三角形本身；②再识别由角平分线交点得到的三个等腰三角形；③结合平行线的性质，推导角相等，找到剩下的等腰三角形。
【解析】
我们逐个判定等腰三角形：
1. △ABC是等边三角形，等边三角形属于特殊的等腰三角形，为第1个；
2. O是等边△ABC三个内角平分线的交点，因此∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=30°，可得OA=OB=OC，因此△AOB、△BOC、△AOC都是等腰三角形，共3个，累计4个；
3. 因为OD//AB，所以∠BOD=∠ABO=30°，又∠DBO=30°，因此∠DBO=∠BOD，可得BD=OD，△BDO是等腰三角形，累计5个；
4. 同理，OE//AC，所以∠COE=∠ACO=30°，又∠ECO=30°，因此∠ECO=∠COE，可得CE=OE，△CEO是等腰三角形，累计6个；
5. 因为OD//AB，OE//AC，所以∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，因此△ODE是等边三角形，属于特殊的等腰三角形，累计7个。
综上共有7个等腰三角形。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定、等边三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题需要学生熟练掌握各类几何图形的基础性质，计数时要细心，不要遗漏等边三角形这一特殊的等腰三角形，避免因粗心漏数导致出错。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合等腰三角形“等角对等边”的判定方法，依次结合等边三角形性质、角平分线性质、平行线的性质逐一排查图形中的等腰三角形，注意等边三角形是特殊的等腰三角形，计数时不要遗漏。解题步骤：①先识别大的等边三角形本身；②再识别由角平分线交点得到的三个等腰三角形；③结合平行线的性质，推导角相等，找到剩下的等腰三角形。
【解析】
我们逐个判定等腰三角形：
1. △ABC是等边三角形，等边三角形属于特殊的等腰三角形，为第1个；
2. O是等边△ABC三个内角平分线的交点，因此∠OAB=∠OBA=∠OAC=∠OCA=∠OBC=∠OCB=30°，可得OA=OB=OC，因此△AOB、△BOC、△AOC都是等腰三角形，共3个，累计4个；
3. 因为OD//AB，所以∠BOD=∠ABO=30°，又∠DBO=30°，因此∠DBO=∠BOD，可得BD=OD，△BDO是等腰三角形，累计5个；
4. 同理，OE//AC，所以∠COE=∠ACO=30°，又∠ECO=30°，因此∠ECO=∠COE，可得CE=OE，△CEO是等腰三角形，累计6个；
5. 因为OD//AB，OE//AC，所以∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°，因此△ODE是等边三角形，属于特殊的等腰三角形，累计7个。
综上共有7个等腰三角形。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的判定、等边三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题需要学生熟练掌握各类几何图形的基础性质，计数时要细心，不要遗漏等边三角形这一特殊的等腰三角形，避免因粗心漏数导致出错。
【难度系数】
0.7
